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1、第六章 焊接结构的P-S-N曲线预测6.1 构件的P-S-N曲线 S-N曲线是对构件进行疲劳寿命预测的前提和基础。由于疲劳试验数据的离散性，使得疲劳应力-寿命间的曲线，并不是一一对应的单值关系，而是与存活率P紧密相连。前面提到的S-N曲线是中值疲劳寿命曲线，也就是存活率P为50%的S-N曲线。在许多情况下，尤其是构件的可靠性设计中，根据实际要求，需要不同存活率的S-N曲线。要表达这些不同存活率的疲劳寿命曲线，就必须使用P-S-N曲线。 对于给定的构件，在不同应力水平下，各进行一组疲劳试验，从而可得各应力水平下，疲劳寿命的概率分布曲线。一般认为，疲劳寿命在次以内，疲劳寿命服从对数正态分布和威布尔
2、分布。这样，即可求得给定存活率P时的对数疲劳寿命，将不同应力水平下具有相同存活率的各点相连所得曲线，就是构件的P-S-N曲线。如图6.1所示。 由于P-S-N曲线全面地反映了构件的应力-寿命关系，因而在工程实际中比S-N曲线具有更广泛的用途。 焊接结构的P-S-N曲线的测定可以按照构件的P-S-N曲线测定方法进行。一般可选5级应力水平，在每一应力水平下试验一组焊接结构，每组的焊接结构试件个数不少于6个。 焊接结构给定盈利水平下的疲劳寿命服从对数正态分布时，由试验确定的P-S-N曲线方程式由（6.1）表示为： （6.1）式中是用存活率表示的疲劳寿命。而常数，分别由以下两式表示： （6.2） （6
3、.3）式中是所加应力水平的级数；是第j级应力水平的应力幅；是第j级盈利水平下具有指定存活率p的对数疲劳寿命，它有(6.4)式计算： （6.4）上式中n为第j级应力水平下焊接结构试件的个数；是在第j级应力水平下第个试件的疲劳寿命；是与存活率p有关的标准正态偏量。可通过标准正态偏量表查得。 P-S-N曲线能否由（6.1）式表示，要用相关系数来检验。6.2 P-S-N曲线预测的一点法 由疲劳试验获取P-S-N曲线需要大量的试验数据，尤其是要获得各种影响因素下焊接结构的P-S-N曲线是相当麻烦的，具体实施会受到很大的限制。目前，还不能完全不需要试验，从理论上直接预测结构的P-S-N曲线。因此，利用较少
4、的疲劳试验，来获取焊接结构的P-S-N曲线，对于工程应用，节省经费开支具有重要的意义。 作者建立了焊接结构P-S-N曲线预测的一点法。该方法的基本思路是：在作者已建立的焊接结构S-N曲线预测方法的基础上，在某一较高应力水平上适当增加几个试件的疲劳试验，并按照一点法的基本思想，可以建立具有任意存活率时焊接结构的P-S-N曲线预测方法。具体做法如下： 上一章中理论预测焊接结构的S-N曲线，是中值S-N曲线。而存活率为p的S-N曲线方程可用（6.1）式表示。 我们假定：具有不同存活率时的P-S-N曲线的值相等，即认为，对于同一特定焊接结构，在不同存活率时的P-S-N曲线相互平行。如图6.2所示。 这
5、个假定与S-N曲线预测中的一点法的基本假定有些类似，但这里的假定条件并不要求同一类型的S-N曲线相互平行，而只是要求特定焊接结构在不同存活率时的S-N曲线相互平行。这主要是考虑到焊接结构的P-S-N曲线对值并不敏感的缘故。 按照上述假定，焊接结构的P-S-N曲线表达式（6.1）可写为： （6.9） 这就确定了常数。M的预测理论请参见第五章内容。为了确定常数，我们在较高应力水平下，补做一组试验，如图6.3所示。 设在应力幅下得到的疲劳寿命分别为，。由于在恒定应力水平下试件的对数疲劳寿命服从正态分布，因而有： （6.10）式中是应力幅作用下对数疲劳寿命的均方差。其大小由式（6.11）式确定： （6
6、.11）式中n是补做试验的试件个数。 将中值S-N曲线表达式（5.1）代入（6.10）式可得： （6.12） 比较式（6.9）和（6.12）可得： （6.13）而上式中的常数C可按第五章中有关S-N曲线预测方法所得公式确定。若已有通过试验获得的S-N曲线，则（6.13）式中常数C和（6.9）式中的常数m可取试验值。 这样，对于给定的存活率p，可得标准正态偏量，从而可以确定P-S-N曲线中的常数。至此，我们就可以只要少量疲劳试验而预测焊接结构的P-S-N曲线了。为了说明焊接结构P-S-N曲线预测方法的应用，我们预测低合金钢制成的错位板接头（错位量）。在对称循环时的P-S-N曲线。根据我们提出的焊
7、接结构对称循环时的P-S-N曲线预测方法，其预测方程为： （6.14）在应力幅处补充一组试验数据，设疲劳寿命分别为：。根据（6.11）式可计算标准差：当存活率p=95%时，。由(6.13)式可得：而，所以，存活率为95%时的P-S-N曲线为： (6.15)对于非对称循环时焊接结构的P-S-N曲线预测，可以首先预测有效应力集中系数，然后按非对称循环时S-N曲线的预测公式，计算中值S-N曲线方程，最后按照与这里完全相同的方法，可以预测具有任意存活率时焊接结构的P-S-N曲线。6.3 利用均方差曲线预测P-S-N曲线 影响焊接结构P-S-N曲线的因素很多。一般来说P-S-N曲线中的也不一定是常数，它
8、与存活率是有关系的。为了减少疲劳试验，节省经费和时间，作者提出了利用均方差曲线和中值S-N曲线来预测焊接结构的P-S-N曲线的方法。 大量的试验表明，焊接结构在应力幅作用下对数疲劳寿命的均方差与应力幅之间存在下列关系式： （6.16）式中为常数。上式也称为寿命均方差曲线。 因为当疲劳寿命服从正态分布时，任意存活率p时，疲劳寿命与中值疲劳寿命之间满足下列关系： （6.17）若能确定寿命均方差曲线，则由式（5.1）和（6.17）可得： （6.18） 比较式（6.1）和（6.18）可得，任意存活率时P-S-N曲线中的，常数可由以下二式决定： （6.19） （6.20）其中m，c是中值S-N曲线表达式
9、中的常数。从式（6.19）和（6.20）可知，均与存活率p有关。 为了确定(6.16)式中的常数，可以在二个较高应力水平，根据置信度和相对误差的要求，确定最小试件数，补做试验，试件安排如图6.4所示。 若在应力幅，下对数疲劳寿命的均方差由(6.11)式计算分别为和，则有： （6.21） （6.22）由上面两式得： （6.23） （6.24） 因此，通过两组在较高应力水平下的疲劳试验数据，可以由上面两式计算。再由（6.19），（6.20）式求得指定存活率的，从而可得焊接结构的P-S-N曲线。 由于在高应力水平下，疲劳寿命相对较短，因而补做的疲劳试验所花费的时间相对较少。 如果已知某焊接结构的中值
10、S-N曲线，则由式（6.19），（6.20）求P-S-N曲线时，m，C值可取试验值，由于我们已建立了完整的预测焊接结构中值S-N曲线的方法，所以，也可以在式（6.19）和（6.20）中，取m，C为理论预测值。 值得指出的是，对于非对称循环的P-S-N曲线预测，也可以采用这种只需要少量疲劳试验的方法。6.4 P-S-N曲线预测的极大似然法 按照我们在本章第1节介绍的由实验测定焊接结构P-S-N曲线的方法，需要大量的试件，花费的时间多。下面，介绍作者建立的根据中值S-N曲线及少量疲劳试验而获得P-S-N曲线的极大似然法。 因为具有任意存活率的P-S-N曲线可由方程（6.1）表示，在任一给定应力幅下
11、的对数疲劳寿命服从正态分布，因而有方程（6.17）成立，现将（6.17）式变形为： （6.29） 当已知P-S-N曲线上某一应力幅的疲劳寿命时，则由（6.1）式可得： （6.30）即 （6.31） 将式（6.1），（6.5）代入式（6.29）可得： （6.32）将（6.31）式代入（6.32）式可得： （6.33）因为任一应力幅下的对数疲劳寿命服从正态分布。故其概率密度函数为： （6.34）式中是应力幅下对数疲劳寿命的均方差；是应力幅下对数疲劳寿命的均值。 因此，我们有似然函数 （6.35）将上式两边取自然对数可得： （6.36） 当已知两个应力幅下的两组疲劳寿命和中值S-N曲线时，（6.36
12、）式中只有为待定常数。要是似然函数为极大值，则 （6.37）则由（6.33），（6.36）和（6.37）式可得 （6.40） 由上式可求出，然后将值代入（6.31）式可求出，因而可求得焊接结构的P-S-N曲线。 在应用上述方法确定焊接结构的P-S-N曲线时，首先预测S-N曲线，然后在两个较高应力幅下各安排一组试验。根据其中应力幅为时所得的一组疲劳寿命试验结果可确定任意存活率时的疲劳寿命，从而可有（6.40）和（6.31）式确定和。 由于疲劳试验是在高应力幅下完成的，所以试验所花时间较少，而且P-S-N曲线是在S-N曲线的基础上建立起来的，有了焊接结构S-N曲线的预测理论，只要少量的疲劳试验就可以获得它们的P-S-N曲线。对于工程应用是十分有意义的。当然，对于某些焊接结构，若已由试验获得了S-N曲线，用这里所介绍的方法预测其P-S-N曲线时，也可以用试验S-N曲线为基础，在这种情况下，利用极大似然法预测焊接结构的P-S-N曲线，比本章第一节中介绍的常规方法所需要的试验也少的多，所以，它是一种有效获取焊接结构P-S-N曲线的方法。