最新高中数学三角函数总复习题解答优秀名师资料.doc

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1、高中数学三角函数总复习题解答高中数学教案 第三章 三角函数 王新敞 三角函数总复习题解答, A组 ,79,S,，2k,k,1.解:(1)Z， ,4444,22410,S,，2k,k,(2)Z， ,3333,128212,S,，2k,k,(3)Z，, ,5555S,2k,k,(4)Z,，,2，0，2 评述:这一题目要求我们首先要准确写出集合S，并判断k可取何值时，能使集合S中角又属于所要求的范围. 54:39l,，15,，15,2.解:由l,r得 ,180:1029, cm C,l，2r,，30,442,1191352 cm S,lr,，15,1.1，1022242 答:周长约44 cm，面积约

2、1(1?10 cm评述:这一题需先将54?换算为弧度数，然后分别用公式进行计算. 3.(1)sin4,0;(2)cos5,0;(3)tan8,0;(4)tan(,3),0( 评述:先判断角所属象限，然后确定其三角函数的符号. 1,cos,4.解:由4,22,sin，cos,1,15,得sin, 41由cos,，0,知,为第一或第四象限角.41515当为第一象限角时，sin,，tan,; ,41515当为第四象限角时，sin,，tan,. ,4新疆奎屯市一中 第 1页(共15页) 高中数学教案 第三章 三角函数 王新敞 评述:先由已知条件确定角所属象限，然后结合同角三角函数基本关系式，求出另外的

3、三角函数值. 5.解:由sinx,2cosx，得tanx,2 ?x为第一象限或第三象限角 当x为第一象限角时 55125tanx,2，cotx,，cosx,，secx,，sinx,，cscx, 55252当x为第三象限角时 5125tanx,2，cotx,，cosx,，secx,，sinx,，cscx55525, 22(sin10:,cos10:)1,2sin10:cos10:6.解:,2cos10:,sin170:cos10:,1,cos170: sin10:,cos10:cos10:,sin10:,1cos10:,sin10:cos10:,sin10:评述:注意灵活使用同角三角函数的基本关

4、系式的变形式，即“1”的妙用，这也是三角函数式化简过程中常用的技巧之一，另外，注意及时使用诱导公式,和三角函数图象和性质:当?,0,)时，sin,cos. 442222227.解:sin,sin，cos,sin(sin,1)，cos,(1,cos22)(,cos)，cos 2424,cos，cos，cos,cos 22评述:注意使用sin，cos,1及变形式. 8.证明:(1)左边,2(1,sin)(1，cos),2(1,sin，cos,sincos) ,2,2sin，2cos,sin2 22右边,(1,sin，cos),1,(sin,cos), 2,1,2(sin,cos)，(sin,cos

5、) 22,1,2sin，2cos，sin，cos,2sincos ,2,2sin，2cos,sin2 ?左边,右边 即原式得证. 222222(2)左边,sin，sin,sin?sin，cos?cos 22222,sin(1,sin)，cos?cos，sin 22222,sin?cos，cos?cos，sin 2222,cos(sin，cos)，sin,1,右边 新疆奎屯市一中 第 2页(共15页) 高中数学教案 第三章 三角函数 王新敞 ?原式得证 评述:三角恒等式的证明一般遵循由繁到简的原则. sin,4,24sin,2cos,4tan,2cos,9.解:(1) sin,5cos,，3si

6、n,5，3tan,5，3cos,5将tan,3代入得，原式, .711323(2)sincos,tan?cos,tan? ,，,22101tan,13，382(3)(sin，cos),1，2sincos,1，2? ,105评述:注意挖掘已知条件与所求结论中的三角函数的关系. 252525,10.解:(1)sin，cos，tan(,),sin，cos,6346311,tan= ，,1,0422(2)sin2，cos3，tan4?1(0777 评述:注意灵活应用诱导公式化简后再求值. 111.解:(1)?sin(，),sin 21?sin, 2321sin?cos(2,),cos,? ,23当为第

7、一象限时，cos, 23当为第二象限时，cos, 2(2)tan(,7),tan(7,),tan 3当为第一象限时，tan, 33当为第二象限时，tan, 3评述:要注意讨论角的范围. 12.解:(1)sin378?21,sin18?21,0(3148 (2)sin(,879?),sin(159?),sin21?,0(3584 (3)sin3,0(1409 新疆奎屯市一中 第 3页(共15页) 高中数学教案 第三章 三角函数 王新敞 评述:要用诱导公式将其转化为锐角三角函数值问题. 13.解:设0,x,2 x 7,3,5,4,7,11, 644346sinx ,112, , 222322 22

8、2cosx ,132 , 222322 222tanx ,1 1 ,1 ,3 3 33 393,14.解:?cos,且, 4124040?sin,，?tan, 419401,1,tan,31,9,?tan(,), 401，tan,4941，9评述:仔细分析题目，要做到有的放矢. 25515.解:?sin,，为锐角 ?cos, 5510310又?sin,，为锐角 ?cos, 10102?cos(，),coscos,sinsin, 2,又?0,，,，?，, 423,说明:若先求出sin(，),，则需否定，,. 24评述:一般地，若所求角在(0，)上，则一般取此角的余弦较为简便;若,所求角在(,，)

9、上，则一般取此角的正弦较为简便. 22新疆奎屯市一中 第 4页(共15页) 高中数学教案 第三章 三角函数 王新敞 ,16.(1)证明:? A，B,4tanA，tanB,?tan(A，B),tan,1, 1,tanAtanB4即:tanA，tanB,1,tanAtanB ?tanA，tanB，tanAtanB,1 ?(1，tanA)(1，tanB),1，tanA，tanB，tanAtanB ?(1，tanA)(1，tanB),2 (2)证明:由(1，tanA)(1，tanB),2得 tanA，tanB,1,tanAtanB ,又?0,A,，0,B, 22?tanA，tanB,0 tanA，ta

10、nB 即tan(A，B),1 ？,11,tanAtanB又?0,A，B, ,?A，B, 4(3)解:由上述解答过程可知: 两锐角之和为直角之半的充要条件是(1，tanA)(1，tanB),2不可以说“两,个角A、B之和为的充要条件是(1，tanA)(1，tanB),2”因为在(2)小题中要4求A、B都是锐角. 17.证明:设正方形的边长为1 11则tan,，tan, 23,tan，tan,1?tan(，), ,1,tantan,又?0,，,，?，, 4评述:要紧扣三角函数定义. ,18.证明:?0,，, 2111且tan,1，tan,1，tan,1 258,?0,，, 4新疆奎屯市一中 第 5

11、页(共15页) 高中数学教案 第三章 三角函数 王新敞 又?tan(，),1 3,0,，, 4?，,45? 319.解:(1)由cos2, 5得3442222sincos(sincos)(sincos)cos2 ,，,5225272(2) cos22cos111x,x,276251tan，x21()，242(3)由sin，cos, 34222得(sin，cos),sin，2sincos，cos,1，sin2, 95?sin2, 92892(4)?(sin，cos),1，2sin?cos, ,16949(sin,cos)2,1,2sin?cos, ,169,又?, ,42177?sin，cos,

12、 sin,cos, ,1313125?sin,，cos, ,131320.解:设?ABC的底为a，则腰长为2, 15aa115AA22,?sin, cos, ,2a42a422AA15?sinA,2sincos, 822A1572cosA,2cos,1,1, 28815tanA,( 7新疆奎屯市一中 第 6页(共15页) 高中数学教案 第三章 三角函数 王新敞 ,21.证明:P,sin,?,sin(,，),sin,cos,21,sin2, ,222.证明:由题意可知: ,R,rsin, R，r222，(R，r),R,r,2Rr,cos, R，rR，r2,R,r4(R,r)Rr2Rr?sin,2

13、sincos,2?, 2(R，r)R，r22R，r23.解:由教科书图412，可知: 当为某一象限角时，有: ,sin,MP,，,cos,OM, ?,MP,，,OM,OP,1， ?,sin,，,cos,1 当的终边落在坐标轴上时，有,sin,，,cos,1( 因此，角的正弦绝对值与余弦绝对值之和不小于1. 评述:要注意数形结合这种重要的数学思想的利用. 24.解:(1)由1,tanx?0，得tanx?1 ,?x?k，且x?k，k?Z 421?函数y,的定义域为: 1,tanx,x,x?k，且x?k，k?Z, 42,x(2)由?k，得x?2k，k?Z 22x?y,tan的定义域为,x,x?2k，

14、k?Z, 221.525.解:(1)由cosx,1(5，得cosx,? ,1.5又?,1，1, 2?cosx,1(5不能成立. 新疆奎屯市一中 第 7页(共15页) 高中数学教案 第三章 三角函数 王新敞 ,(2)由sinx,cosx,sin(x,)?,，, 2224?sinx,cosx,2(5不能成立 ,(3)当x,时，tanx,1 41?tanx，,2有可能成立 tanx,33(4)由sinx,得sinx,?,1，1, 44,3?sinx,成立. 4评述:要注意三角函数的有界性. ,26.解:(1)当sinx,1时，即x,2k，k?Z时, 2sinxy,，取得最大值. 2,sinx1?y,

15、，的最大值为，. 22,使y取得最大值的x的集合为,x,x,，2k，k?Z,. 2,当sinx,1时，即x,，2k时. 2sinxy,，取得最小值. 2,sinx1?y,，的最小值为,. 22,使y取得最小值的x的集合为,x,x,，2k，k?Z,. 2(2)当cosx,1即x,(2k，1)时, y,3,2cosx取得最大值, ?y,3,2cosx的最大值为5. 使y取得最大值的x的集合为,x,x,2k，k?Z,. 当cosx,1，即x,2k时 y,3,2cosx取得最小值 ?y,3,2cosx的最小值为1 使y取得最小值的x的集合为,x,x,2k，k?Z, 新疆奎屯市一中 第 8页(共15页)

16、 高中数学教案 第三章 三角函数 王新敞 ,27.解:(1)y,sinx,cosx(x?R),2sin(x,)， 36?y,2，y,2 maxmin,(2)y,sinx，cosx,sin(x，)，(x?R) 24,=,?y，y 22maxmin28.解:当0?x?2时，由图象可知: 3(1)当x?,，2,时，角x的正弦函数、余弦函数都是增函数. ,2,(2)当x?,，,时，角x的正弦函数、余弦函数都是减函数. 2,(3)当x?,0，,时，角x的正弦函数是增函数，而余弦函数是减函数. 23(4)当x?,，,时，角x的正弦函数是减函数，而余弦函数是增函,2数. 2229.解:(1)由f(,x),(

17、,x)，cos(,x),x，cosx,f(x) 2得y,x，cosx，x?R是偶函数 (2)由y,2sinx,2sin(,x), 得y,2sinx,，x?R是偶函数 22(3)由y,tanx,tan(,x) ,2，k,得y,tanx，x?(k?Z)是偶函数 222(4)由y,xsinx,(,x)sin(,x) 2得y,xsinx，x?R是奇函数 ,130.(1)y,sin(3x,)，x?R 23,(2)y,2sin(x，)，x?R 4新疆奎屯市一中 第 9页(共15页) 高中数学教案 第三章 三角函数 王新敞 ,(3)y,1,sin(2x,)，x?R 5,(4)y,3sin(,)，x?R 63

18、31.(1)略 (2)解:由sin(,x),sinx，可知函数y,sinx，x?,0，,的图象关,于直线x,对称，据此可得出函数y,sinx，x?,，,的图象;又由22sin(2,x),sinx，可知函数y,sinx，x?,0，2,的图象关于点(，0)对 称，据此可得出函数y,sinx，x?,，2,的图象. (3)解:把y轴向右(当,0时)或向左(当,0时,平行移动,个单,位长度，再把x轴向下(当k,0时)或向上(当k,0时,平移,k,个单位长度，就可得出函数y,sin(x，)，k的图象. ,232.解:(1)y,sin(5x，)，x?R振幅是1，周期是，初相是 566,把正弦曲线向左平行移动

19、个单位长度，可以得出函数y,sin(x，)，661x?R的图象;再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，5,就可得出函数y,sin(5x，)，x?R的图象. 61(2)y,2sinx，x?R 6振幅是2，周期是12，初相是0 把正弦曲线上所有点的横坐标伸长到原来的6倍(纵坐标不变)，可以得出1函数y,sinx，x?R的图象;再把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的612倍(横坐标不变)，就可得出函数y,2sinx，x?R的图象. 6,33.解:(1)由,2sin(,，)，,?,0，?) 4新疆奎屯市一中 第 10页(共15页) 高中数学教案 第三章 三角函数 王新敞 得,0时

20、，, cm 2即:小球开始振动时的位置在离平衡位置 cm处. 2,(2)当sin(,，),1时，,2sin(,，),1时，,2 maxmax44即:小球最高、最低点与平衡位置的距离都是2 ;,. ,2(3)由T,得T,2s ,即:经过2s，小球往复振动一次. 11(4)f, T2,1即:小球每1 s往复振动次. 2,34.解:(1)由sinx,0，x?,0，2, 得x,0，2 (2)由cosx,0(6124，x?,0，2, 得x,0(71，1(29或arccos(,0(6124)，2,arccos(,0(6124) (3)由cosx,0，x?,0，2, ,3,得x,， 22(4)由sinx,0

21、(1011，x?,0，2, 得x,0(03，1(97或arcsin0(1011，,arcsin0(1011( (5)由tanx,4，x?,0，2, 得x,0(58，1(58或，arctan(,4)，2，arctan(,4) (6)由cosx,1，x?,0，2, 得x,0，2 B组 1.解:由已知是第四象限角 3,得2k，,2k，2，(k?Z) 23,(1)?k，,k， ?的终边在第二或第四象限 4222k,k,2,2(2) ，,， 33233,即:90?，k?120?,30?，90?，k?120? 3,?的终边在第二、第三或第四象限 3新疆奎屯市一中 第 11页(共15页) 高中数学教案 第三

22、章 三角函数 王新敞 (3)4k，3,2,4k，4 即:2的终边在第三或第四象限，也可在y轴的负半轴上. ,l,r,5,2.解:由题意知 ,1S,lr,5,2,5解之得,弧度 2答:扇形中心角度数约为143? ,1,sin1,cos3.解:cos，sin,cos1，sin,1，cos,22,(1,sin)(1,cos),?，sin 22cos,sin,1,sin1,cos,，sin,cos?,cos(,cos,sin,1,sin1,cos(为第二象限角) )，sin,sin,cos,cossin,14.解:由tan, 31,，2,sin，2costan，253(1) ,15cos,sin,5,

23、tan,165,(,)3111(2),2222,2sincoscos2costancoscos(2tan1)，2,11tan10，,12tan,13，(2tan1)，,21tan，,1，sin，2sincos5.证明:左边, 1，sin,，cos,22,sin，2sincos，cos，sin，cos, 1，sin,，cos,新疆奎屯市一中 第 12页(共15页) 高中数学教案 第三章 三角函数 王新敞 2,(sin，cos)，(sin，cos), 1，sin,，cos,(sin，cos)，(1，sin，cos), 1，sin,，cos,sin，cos,右边 6.证明:?xcos,a，ycot,

24、b，(a?0，,?0) 222222,yyxx1sin1,sin ？,1222222222abx,y,coscotcoscoscos2sinA1，2221，tanAsinAcosA27.证明:(1)左边, ,tanA2221，cotAcosAcosA1，2sinAsinA1,1,tanAsinA2222cosA(),(),(),tanA右边, cosA1,cotAcosA1,sinA21，tanA1,tanA2? ,()21，cotA1,cotA(2)左边,sin(A,B)sinAsinB,tanA,tanBsinAsinBtanBcosAcosBcosAcosB,tanA,tanB,右边co

25、sBcosAsin(A,B)cotB,cotAcosAcosBcotA,sinBsinAsinAsinB8.证明:由tan，sin,a，tan,sin, 22222222得(,),(,)(,，,),(2sin)(2tan),16sin?tan2 216ab,16(tan，sin)(tan,sin),16(tan,sin) 22,1,cos12222,16sin(,1),16sin,16sintan 22cos,cos,222?(,),16, 9.证明:由3sin,sin(2，) 得3sin,(，),sin,(，)，, ,3sin(，)cos,3cos(，)sin 新疆奎屯市一中 第 13页(共

26、15页) 高中数学教案 第三章 三角函数 王新敞 ,sin(，)cos，cos(，)sin ?2sin(，)cos=4cos(，)sin ?tan(，),2tan 评述:等式两边主要是角的差异，应从变换条件中的角入手. ,717510.解:由已知cos(，x),，,x, 34412,7得:cos2(，x),2cos2(，x),1,cos(，2x),sin2x, 25442,74?sin2x,，sin(，x), 25544,2sin22sin1tan728x，x，x,5sin2sin2tan()？,x,x,，x,31tan1tan42575,x,x5,11(解:(1)当2k?2x,?2k，(k?

27、Z) 3,2即k，?x?k，时 36,y,3cos(2x,)是减函数 3,3,(2)当2k，?,3x，?2k，(k?Z) 224k,k,2,2即,，?x?，时 12433,y,sin(,3x，)是减函数 4,cos(2x,)，0,12.解:由 3,tanx,1,0,5,得,，k,x,，k或，k,x,，k(k?Z) 121244,lgcos(2x,)3y,?函数的定义域为: tanx,1,5,(,，k，k)?(，k，k)，k?Z 121244新疆奎屯市一中 第 14页(共15页) 高中数学教案 第三章 三角函数 王新敞 2213.解:y,sinx，2sinxcosx，3cosx(x?R) 2,1

28、，sin2x，2cosx,2，sin2x，cos2x ,2，sin(2x，) 24,2(1)周期T, 2,(2)当2k,?2x，?2k，k?Z 2423,即,，k?x?，k时，原函数为增函数 883,?函数在,，k，k,上是增函数 88,(3)图象可以由函数y,sin2x，x?R的图象向左平行移动个单位长28度，再向上平行移动2个单位长度而得到 14.证明:由sin,sin(2，) 得sin,(，),=,?sin,(，)，, 即sin(，)cos,cos(，)sin ,sin(，)cos，cos(，)sin, ,(1,)?sin(，)cos ,(1+,)?cos(，)sin k,?,?1，?，?，k(k?Z) 221，m?tan(，),tan 1,m评述:此方法是综合法，利用综合法证明恒等式时，必须有分析的基础，此证法是观察到结论中的角构造:,(，),;2，,(，)，证明时有的放矢，顺利完成证明. 新疆奎屯市一中 第 15页(共15页)