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1、高中数学之三角函数类型题高中数学之三角函数类型题: 1(已知tanx=2，求sinx，cosx的值( sinx22解:因为，又sinx，cosx=1， tanx,2cosxsinx,2cosx,联立得 ，,22sinx，cosx,1,2525sinx,sinx,55,.解这个方程组得 ,55,cosx,cosx,55,tan(,120)cos(210)sin(,480)2(求的值( ,tan(,690)sin(,150)cos(330)解:原式 ,tan(,120，180)cos(180，30)sin(,360,120), ,o,tan(,720，30)sin(,150)cos(360,30)
2、,tan60(,cos30)(,sin120) ,33.,tan30(,sin150)cos30sinx,cosx3(若，求sinxcosx的值( ,2,sinx，cosxsinx,cosx解:法一:因为 ,2,sinx，cosx所以sinx,cosx=2(sinx，cosx)， 22得到sinx=,3cosx，又sinx，cosx=1，联立方程组，解得 ,310310sinx,sinx,1010， ,1010,cosx,cosx,1010,3所以 sinxcosx,10sinx,cosx法二:因为 ,2,sinx，cosx所以sinx,cosx=2(sinx，cosx)， 22所以(sinx
3、,cosx)=4(sinx，cosx)， 所以1,2sinxcosx=4，8sinxcosx， 3所以有 sinxcosx,1022224(求证:tanx?sinx=tanx,sinx( 222222222证明:法一:右边,tanx,sinx=tanx,(tanx?cosx)=tanx(1,cosx)=tanx?sinx，问题得证( 222222222法二:左边=tanx?sinx=tanx(1,cosx)=tanx,tanx?cosx=tanx,sinx，问题得证( x5(求函数在区间0，2, 上的值域( y,2sin(，)26xx7解:因为0?x?2，所以由正弦函数的图象， 0,，,262
4、66x1得到 sin(，),1,262所以y?,1，2( 6(求下列函数的值域( 2(1)y,sinx,cosx+2; (2)y,2sinxcosx,(sinx，cosx)( 222解:(1)y=sinx,cosx，2,1,cosx,cosx，2=,(cosx，cosx)，3， 113113222令t=cosx，则 t,1,1,y,(t，t)，3,(t，)，,(t，)，,242413利用二次函数的图象得到 y,1,.42(2)y,2sinxcosx,(sinx，cosx)=(sinx，cosx),1,(sinx，cosx)，令t=sinx，cosx，,252，则则，利用二次函数的图象得到 y,
5、t,t,1,sin(x，)t,2,2y,1，2.447(若函数y=Asin(x+)(,0，,0)的图象的一个最高点为，它到其相邻的最(2,2)低点之间的图象与x轴交于(6，0)，求这个函数的一个解析式( 解:由最高点为，得到，最高点和最低点间隔是半个周期，从而与x轴(2,2)A,21T交点的间隔是个周期，这样求得，T=16，所以 ,4844又由，得到可以取 2,2sin(，2，,),.？y,2sin(x，).8484448(已知函数f(x)=cosx,2sinxcosx,sinx( (?)求f(x)的最小正周期; (?)若求f(x)的最大值、最小值( x,0,21,sinxy,数的值域( 3,
6、cosx42222解:(?)因为f(x)=cosx,2sinxcosx,sin4x,(cosx,sinx)(cosx，sinx),sin2x 22 ,(cosx,sinx),sin2x,cos2x,sin2x,2sin(,2x),2sin(2x,)44所以最小正周期为( 3(?)若，则，所以当x=0时，f(x)取最大值为x,0,(2x,),2sin(,),1;244443当时，f(x)取最小值为 x,2.8,cos，sin221( 已知，求(1);(2)的值. tan,2sin,sin,.cos,，2cos,cos,sin,sin1，,cos，sin1，tan1，2,cos,3,22解:(1)
7、; ,sincos,，sin,1,tan,1,21,cos,22sin,sin,cos,，2cos,22 (2) sin,sin,cos,，2cos,22sin,，cos,2,sinsin,，22,，,22242,coscos, . 2,sin，213，12,cos说明:利用齐次式的结构特点(如果不具备，通过构造的办法得到)，进行弦、切互化，就会使解题过程简化。 22( 求函数的值域。 yxxxx,，1sincos(sincos)解:设，则原函数可化为 txxx,，,，,sincos2sin()22，41322，因为，所以 t,22，yttt,，,，1()2413当时，当时， y,，32t,2
8、y,t,maxmin423所以，函数的值域为。 y,，32，423(已知函数。 fxxxxR()4sin2sin22,，,，(1)求的最小正周期、的最大值及此时x的集合; fx()fx()(2)证明:函数的图像关于直线对称。 x,fx()822解: fxxxxx()4sin2sin222sin2(12sin),，, ,2sin22cos222sin(2)xxx4(1)所以的最小正周期，因为， fx()T,xR,3所以，当，即时，最大值为; fx()2222xk,，xk,，428(2)证明:欲证明函数的图像关于直线x,对称，只要证明对任意，有fx()xR,8成立， fxfx()(),，88因为，
9、 fxxxx()22sin2()22sin(2)22cos2,8842， fxxxx()22sin2()22sin(2)22cos2,，,，,，,8842所以成立，从而函数的图像关于直线对称。 x,fx()fxfx()(),，8883124( 已知函数y=cosx+sinx?cosx+1 (x?R), 22(1)当函数y取得最大值时，求自变量x的集合; (2)该函数的图像可由y=sinx(x?R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到, 3311122解:(1)y=cosx+sinx?cosx+1= (2cosx,1)+ +(2sinx?cosx)+1 2244431515,=cos2x+sin2
10、x+=(cos2x?sin+sin2x?cos)+ 444266415,=sin(2x+)+ 264,所以y取最大值时，只需2x+=+2k,(k?Z)，即 x=+k,(k?Z)。 626,所以当函数y取最大值时，自变量x的集合为x|x=+k,k?Z 6(2)将函数y=sinx依次进行如下变换: ,(i)把函数y=sinx的图像向左平移，得到函数y=sin(x+)的图像; 661(ii)把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到函数2,y=sin(2x+)的图像; 61(iii)把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的倍(横坐标不变)，得到函数21,y=sin(2x+)的图像; 26
11、515,(iv)把得到的图像向上平移个单位长度，得到函数y=sin(2x+)+的图像。 4246312综上得到y=cosx+sinxcosx+1的图像。 22历年高考综合题 一，选择题 21.(08全国一6)是 ( ) yxx,(sincos)1A(最小正周期为的偶函数 B(最小正周期为的奇函数 22C(最小正周期为的偶函数 D(最小正周期为的奇函数 ,2.(08全国一9)为得到函数的图象，只需将函数的图像( ) yx,sinyx,，cos,3,A(向左平移个长度单位 B(向右平移个长度单位 6655C(向左平移个长度单位 D(向右平移个长度单位 66若且是，则是 ( ) 3.(08全国二1)
12、,sin0,tan0,A(第一象限角 B( 第二象限角 C( 第三象限角 D( 第四象限角 4.(08全国二10)(函数的最大值为 ( ) f(x),sinx,cosxA(1 B( C( D(2 23,5.(08安徽卷8)函数图像的对称轴方程可能是 ( ) yx,，sin(2)3,A( B( C( D( xxxx,612612,6.(08福建卷7)函数y=cosx(x?R)的图象向左平移个单位后，得到函数y=g(x)的图象，2则g(x)的解析式为 ( ) A.-sinx B.sinx C.-cosx D.cosx 27.(08广东卷5)已知函数，则是 ( ) fxxxxR()(1cos2)si
13、n,，,fx(),A、最小正周期为的奇函数 B、最小正周期为的奇函数 ,2,C、最小正周期为的偶函数 D、最小正周期为的偶函数 ,28.(08海南卷11)函数的最小值和最大值分别为 ( ) fxxx()cos22sin,，33A. ,3，1 B. ,2，2 C. ,3， D. ,2， 22,9.(08湖北卷7)将函数的图象F向右平移个单位长度得到图象F，若yx,sin(),3,F的一条对称轴是直线则的一个可能取值是 ( ) ,x,1551111 A. B. C. D. ,12121212sinx10.(08江西卷6)函数是 ( ) fx(),xsin2sinx，2A(以为周期的偶函数 B(以为
14、周期的奇函数 4,2,C(以为周期的偶函数 D(以为周期的奇函数 2,4,11.若动直线与函数和的图像分别交于两点，则xa,fxx()sin,gxx()cos,MN，的最大值为 ( ) MNA(1 B( C( D(2 2347,08山东卷10)已知，则的值是( ) 12.(,，,，cossin3sin,656,232344A( B( C( D( ,555513.(08陕西卷1)等于 ( ) sin330:3311A( B( C( D( ,2222208四川卷4) ( ) 14.(tancotcosxxx，,，,. ,. ,. ,. cosxsinxtanxcotx,15.(08天津卷6)把函数
15、的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，yxx,sin()R31再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函2数是 ( ) ,x, A( B( yxx,sin2，Ryx,，,sin，R,326,C( D( yxx,，,sin2，Ryxx,，,sin2，R,33,5,2,2,16.(08天津卷9)设，则 ( ) b,cosc,tana,sin777A( B( C( D( abc,acb,bca,bac,217.(08浙江卷2)函数的最小正周期是 ( ) yxx,，(sincos)1,3, A. B. C. D. ,2,22,x318.(08浙江卷7)在同一平面直
16、角坐标系中，函数的图象和y,cos(，)(x,0，2,)221直线的交点个数是 ( ) y,2A.0 B.1 C.2 D.4 二，填空题 19.(08北京卷9)若角的终边经过点，则的值为 ( ,P(12)，,tan2,20.(08江苏卷1)的最小正周期为，其中，则= ( ,fxxcos,0,，,56,2,2sin1x，,21.(08辽宁卷16)设，则函数的最小值为 ( x,0，y,2sin2x,322.(08浙江卷12)若，则_。 cos2,，,sin(),25,08上海卷6)函数(),3sin +sin(+)的最大值是 23.(fx xx2三，解答题 2424. (08四川卷17)求函数的最
17、大值与最小值。 yxxxx,，,74sincos4cos4cos,225. (08北京卷15)已知函数()的最小,0,，fxxxx()sin3sinsin,2,2，正周期为(?)求的值;(?)求函数在区间上的取值范围( ,fx()0，,3，226. (08天津卷17)已知函数()的fxxxx(incos)2co,s1,，2sxR,0,最小值正周期是( (?)求的值; ,2(?)求函数的最大值，并且求使取得最大值的的集合( xfx()fx(),27. (08安徽卷17)已知函数 fxxxx()cos(2)2sin()sin(),，,，344(?)求函数的最小正周期和图象的对称轴方程 fx(),(
18、?)求函数在区间上的值域 fx(),122xxx228. (08陕西卷17)已知函数( fx()2sincos23sin3,，444(?)求函数的最小正周期及最值; fx(),(?)令，判断函数的奇偶性，并说明理由( gx()gxfx(),，,3,1.D 2.C 3.C 4.B 5.B 6.A 7.D 8.C 9.A 10.A 11.B 12.C 13.B 14.D 15.C 16.D 17.B 18.C 7419. 20. 10 21. 22. 23.2 ,33252424. 解: yxxxx,，,74sincos4cos4cos22 ,，,72sin24cos1cosxxx，22 ,，72
19、sin24cossinxxx2 ,，72sin2sin2xx2 ,，1sin26x，2由于函数在中的最大值为 ,11，zu,，16，,2 z,，,11610，max最小值为 2 z,，,1166，min故当时取得最大值，当时取得最小值 sin21x,y10sin21x,y6【点评】:此题重点考察三角函数基本公式的变形，配方法，符合函数的值域及最值; 【突破】:利用倍角公式降幂，利用配方变为复合函数，重视复合函数中间变量的范围是关键; 1cos23,x31125. 解:(?) ,，,fxx()sin2,，sin2cos2xx,222221,( ,，sin2x,62,因为函数的最小正周期为，且，
20、fx(),02所以，解得( ,1,21,(?)由(?)得( fxx()sin2,，,62,2因为， ?0x37所以， ?,2x6661,所以， ?,sin21x,26,133,，因此，即的取值范围为( ?fx()0，0sin2x,，,2622，,26. 解: ,1，cos2x,fx,2,，sin2x，1，2,sin2x，cos2x，2, ,2sin2xcos，cos2xsin，2,44,2sin2x，2,4,2,由题设，函数的最小正周期是，可得，所以( ，fx,2,222,(?)由(?)知，( ，fx,2sin4x，2,4,k,当，即时，取得最大值1，所以函数sin4x，4x，,，2k,x,，
21、k,Z,442162,k,x|x,，,k,Z的最大值是，此时的集合为 ，fxx2，2,162,27. 解:(1) fxxxx()cos(2)2sin()sin(),，,，34413 ,，,，cos2sin2(sincos)(sincos)xxxxxx221322 ,，,cos2sin2sincosxxxx2213 ,，,cos2sin2cos2xxx22,2, ,sin(2)x?周期,T,62,5(2) ,？,xx,2,122636,因为在区间上单调递增，在区间上单调递减， fxx()sin(2),123632,所以 当时，取最大值 1 fx()x,3,313,又 ，当时，取最小值 ?xfx(),ff()()122122223,所以 函数 在区间上的值域为 fx(),1,1222xxx,28. 解:(?)( fx(),，sin3cos,，2sin,2223,2的最小正周期( ？fx()T,412xx,当时，取得最小值;当时，取得最大值2( ,2fx()fx()sin1，,sin1，,2323,x,(?)由(?)知(又( gxfx(),，fx()2sin,，,323,xx，1,( ？,2cos,，2singxx()2sin,，,222233,，xx,( gxgx()2cos2cos(),22,？函数是偶函数( gx()