《最新高数习题答案-+华南理工大学高等数学统考试卷下2008优秀名师资料.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最新高数习题答案-+华南理工大学高等数学统考试卷下2008优秀名师资料.doc（9页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、高数习题答案- 华南理工大学高等数学统考试卷下2008诚信应考,考试作弊将带来严重后果 华南理工大学期末考试 2008-2009学年第二学期高等数学(下)试卷(A卷) 注意事项:1. 考前请将密封线内填写清楚; 2. 所有答案请直接答在试卷上; 3(考试形式:闭卷; 4. 本试卷共十二大题，满分100分，考试时间120分钟。 题号 一 二 三 四 五 六 总分 得分 评卷人 题号 七 八 九 十 十一 十二 得分 评卷人 一、填空题(每题4分，共24分) ,z,z1. 函数在点处可微分是它在该点偏导数与连续的z,f(x,y)(x,y),y,x学院 专业 座位号 _条件(填必要、充分或充要),
2、又是它在该点有方向导数的 _条件(填必要、充分或充要). _ _ ( 密 封 线 内 不 答 题 ) 密封线,xy2 A,ei，cos(xy)j，xzk2. 向量场的散度为_,线 , B,(2z,3y)i，(3x,z)j，(y,2x)k向量场旋度为_. dz,z,f(x,xy)f(u,v)3. 设, 有连续偏导数, 则_. 22ydyf(x,y) dx,4. 交换二次积分的积分次序 _. 2,0y22z,0,z,15. 设曲面为圆柱面介于平面与部分的外侧, 则曲x，y,1高等数学试卷第 1 页 共 9 页 姓名 学号 2222面积分_, _. (x，y) dxdy,(x，y) dS,33226
3、. 设, , 则它有极小值_. x,0f(x,y),x,y，3x，3y,9x2,zz二、(本题8分)设, 求. e,xyz2,x111，,1三、(本题7分)设长方体的长、宽、高满足, 求体 yxzxyz积最小的长方体. 22222四、(本题7分)求球面含在圆柱面内部的那x，y，z,4x，y,2x部分面积. 2,五、(本题7分)计算三重积分(x,y,z) dv, 其中 是由单位球面,222围成的闭区域. x，y，z,12六、(本题7分)计算曲面积分, (z，3x) dydz,(x，y) dzdx,(y，z) dxdy,22z,x，y,z,2其中是圆锥面位于平面之间下方部分的下侧. y dx,x
4、dyL七、(本题7分)计算曲线积分, 其中表示第四象限内以2,(x,y)LA(0,1)B(1,0)为起点为终点的光滑曲线. xx八、(本题7分)求微分方程的通解. 3esiny dx，(1,e)cosy dy,0y,y(x)九、(本题7分)求满足下述方程的可导函数 xy(x)cosx，2y(t)sint dt,x，1. ,0a,ea,0十、(非化工类做)(本题6分)设且, 试根据的值判定级数a高等数学试卷第 2 页 共 9 页 n,n的敛散性. ,nan!,1n十一、(非化工类做)(本题6分)设是周期为2,的周期函数, 它在f(x)上的表达式为, 试将展开成傅里叶级数. ,)f(x),xf(x
5、)2n1,(2x)n1,f(x),(,1)十二、(非化工类做)(本题7分)设, 证明满f(x),(2n,1)!n1,足微分方程, 并求. f(x)f(x),4f(x)2,，,yyx十、(化工类做)(本题6分)求解初值问题 ,(0),(0),1yy,222,，,6xyz十一、(化工类做)(本题6分)设是曲线在点处(1,2,1)l,x，y，z,0,的切向量, 求函数在该点沿的方向导数. f(x,y,z),xy，yz，zxlx,ay,bb十二、(化工类做)(本题7分)给定曲面, , , 为aF(,),0cz,cz,c常数, 其中有连续偏导数, 证明曲面的切平面通过一个定点. F(u,v)高等数学下册
6、试卷 2009(7(1 姓名: 学院与专业: 学号: 一、填空题共24分 高等数学试卷第 3 页 共 9 页 ,z,z1、4分函数在点处可微是它在该点偏导数与连续的 必要 条fxy,xy,，,x,y件(填必要、充分或充要)，又是它在该点有方向导数的 充分 条件(填必要、充分或充要) ,xyxy22、4分向量场的散度为. yexxyxy,，sin2Aeixyjxzk,，cos，,向量场的旋度为. 2,4,6Bzyixzjyxk,，,，,2332,，dz,3、4分 设有连续偏导数，则 zfxxyfuv,fyfdxxfdy，1222y4x2dxfxydy,4、4分 交换二次积分的积分次序 dyfxy
7、dx,，,2x00y222z,0z,15、4分设曲面为柱面介于平面与部分的外侧，则曲面积分xy，,1,22222, 0 ， xydxdy，,xydS，,，,33226、设fxyxyxyxx,339,0,，,，则它有极小值f1,05, ，2,zz二、8分 设，求 exyz,2,xz解:两边取微分，得 edzxydzxzdyyzdx,，xzdyyzdxyzdxxzdy，z ,edzxydzxzdyyzdxdz,，,zexyxyzxy,zz,xzxzzx,，,1，2,zz,zzz,xx,从而， ,222,xxzx,xxxxxzx,xz,1，z2,z2zzx,2zzx,223zzzz,1，xz,1，,
8、zzzz22,x ,223322222,xxzxzxzxz,1111，111yx三、7分 设长方形的长、宽、高满足，求体积最小的长方体。 ，,1zxyz高等数学试卷第 4 页 共 9 页 ,111解:令 ,Lxyz,，,1,xyz,111则，从而 xyz,LyzLxzLxy,，,，,，,0,0,0xyz222xyz1111再由即约束条件，可得，从而 L,0,xyz,3,xyz3由问题的实际意义可知，当体积最小长方体的长、宽、高均为3。 22222四、 7分 求球面含在圆柱面内部的那部分面积 xyz，,4xyx，,22222,，,:4,:2zxyDxyx解:上半球面的部分为 1,xy2 zzdS
9、dxdy,xy222222444,xyxyxy,2cos,22rdr,SdSdxdyd22882 ，,222,44xyr,00112222xyzdv,五、7分 计算三重积分，其中.是由单位球面围成xyz，,1，,的闭区域 解:由对称性 xydvyzdvzxdv,0,21,222222从而xyzdvxyzdvddrrdr,，,sin ，,0001,15,r44,2sin2cosdrdr ，,0550002zxdydzxydzdxyzdxdy，,，,，3六、 7分计算曲面积分，其中是圆锥面,，,22zxy,，位于平面之间下方部分的下侧 22解:取上侧 ,，,:2,:4zDxy112则原式 ,，,，
10、,3112222dvydxdydvydxdy，,3,11高等数学试卷第 5 页 共 9 页 22,drrdr,sin2，,0022,22,3,8888832r,2 ,，,，,，,，,sinsin4cos4rdd,3333333,0000ydxxdy,七7分 计算曲线积分，其中表示第四象限内以为起点为LA(0,1),B(1,0)2,xy,，L终点的光滑曲线。 2,xyxxy,2，,，xxy解:由于， ,243,xxyxyxy,，,2,xyyxy,21，,，yxy ,243,yxyxyxy,，,从而只要路径不经过直线，该曲线积分就与路径无关 yx,11ydxxdyxx,1,dxdx1取路径， yx
11、x,1,:01!22,1xy,，L00xx求微分方程八、7分3sin1cos0eydxeydy，,的通解 ，xxcos3yecos3ye解:， dydx,dydx,xx,sin1ye,sin1ye,xxlnsin3ln1lnyec,，sin31yce,， ，xyyx,九、7分计算满足下述方程的可导函数yxxyttdtxcos2sin1，,， ，,0,解:原方程两端求导得 yxyxyxyxyxcossin2sincossin1,，,，,sin1x,yy，,即，这是标准的一阶线性微分方程 coscosxxsinsinxx,dxdx，11，,lncoslncosxxcoscosxxyeeceecxc
12、x,，,，,，tancos ，,xxcoscos，x,0c,1原方程令得y,1，代入通解得，从而 yxx,，sincosa,0十、 6分(非化工类做，即老师教了级数一章的同学才做)设且，试根ae,高等数学试卷第 6 页 共 9 页 n,n据的值判定级数的敛散性 a,nan!n,1n1,，11nn,nn，1u，nane!n,，1n解:，从而 u,limlimlimnn，1nn,nnn!anuannaa，1!nn,n0,ae当，即时，级数收敛;当，即时，该级数发散 ae,1,1,nan!n,12,十一、 6分(非化工类做，即老师教了级数一章的同学才做)设是周期为的fx，周期函数，它在上的表达式为，
13、试将函数展开成傅立叶级fxx,fx,),，数 ,11解:，(奇函数在对称区间上积分) afxdxafxnxdx,0,cos0，0n,，1222,n，1,bfxnxdxaxdnxxnxnxdx ,sincoscoscos1，,n0,0,nnn,00，,2n1，从而 fxnxxk,，,1sin,21，,nn1,十二、 7分(非化工类做，即老师教了级数一章的同学才做)设21n,2x，n,fx1fxfxfx,4fx，证明:满足微分方程，并求 ，,21!n，n,12223nn,2,2222xx,，nn,fxfxfx,1,1解: ，,22!23!nn,，nn,1221n,2x，n从而 ,fxfx414，,
14、21!n，n,1,ff00,02,而且 ，,fxfx,4ff00,02,解初值问题， ，2,fxfxrri，,，,40,40,2fxcxcx,，cos2sin2，通解为 ，121,2,fxcxcx,，2sin22cos2fxx,sin2ccc,0,22,1，由初值条件:， ，12122高等数学试卷第 7 页 共 9 页 2,yyx，,十、6分(化工类做，即不学级数一章的同学做)求解初值问题 ,yy001,，,22,解:方程对应的齐次方程为，它的特征方程为， r，,10yy，,0yyx，,特征根为，从而对应通解为 ri,Ycxcx,，cossin1,2122*2,容易看出的一个特解为，因此原方程
15、的通解为yyx，,yx,22 ycxcxx,，,cossin212,从而，由初值条件可得。 ycxcxx,，sincos2cc,3,112122因此 yxxx,，,3cossin2222,xyz，,6十一、 6分(化工类做，即不学级数一章的同学做)设是曲线在l,xyz，,0,点1,2,1,处的切向量，求函数fxyzxyyzzx,，在该点沿的方向导数 l，222,2220xyyzz，,xyz，,6,解:方程组两端对求导，得 x,10，,yzxyz，,0,120,，,yzy,0,1,2,1,1,2,1,把代入得，解得，于是在点处的切向量为，,z,110，,yz,11,tyz,1,1,0,1，单位切
16、向量为 t,0,，,22,所求方向导数为 ,f1111, ,0,0,1,2,10fff,，xyz,1,2,1,，,t2222,xayb,十二、 7(化工类做，即不学级数一章的同学做)给定曲面Fabc,0,zczc,Fuv,为常数，其中有连续偏导数，证明曲面的切平面通过一个定点 ，11xayb,GFGF,证:令，则 GxyzF,，xy12,zczc,zczc,高等数学试卷第 8 页 共 9 页 axby, ,GFF,，z222zczc,，从而曲面在点处的切平面为 xyz,，XxYyaxby,，其中为动点。 XYZ,FFFFZz，,0,，12222zczc,zczc,，,，显然时成立，故切平面均过。证毕 XYZabc,abc,，高等数学试卷第 9 页 共 9 页