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1、高数习题答案- 华南理工大学高等数学统考试卷下20032003高等数学下册期考试试卷 姓名: 班级: 成绩单号: 一、填空题 1、3分与向量都垂直的单位向量是 。 ,1,4,8,8,4,1ydz,2、3分设则 。 z,arctan(x,0),x1x22,x3、3分将积分交换积分次序(变成先积dxf(x,y)dy，dxf(x,y)dy,0010分后积分)，其结果是 。 yx4、3分设曲面是位于第一卦限部分，则曲面积分2x，3y，6z,6,xy的值等于 。 (，z)dS,32,dy，ky,0y,y5、3分微分方程适合初始条件的特解是 。 x,00dx二、单项选择题 x,1y,1z，1L:,1、3分
2、设有平面和直线，则他们的关,:6x,7y，6z,52,69系是 L,L,L/,L(A) (B)与斜交 (C) (D) ,f(x,y)(x,y)f(x,y)、3分二元函数2在点处的两个偏导数和都f(x,y)y0000x00存在，是在该点连续的 f(x,y)(A)充分条件而非必要条件; (B) 必要条件而非充分条件; (C) 充分必要条件; (D) 既非充分条件又非必要条件; 共8页第1页 22223、3分曲线积分 与路径无关的条件是 (ax，bxy，y)dx，(ax，bxy，cy)dy,Lc,1(A) 任意， (B) 任意， ab,2,c,1a,1,bc,2(C) 任意 (D) 任意， a,1,
3、b,2,ca,b2224、3分设为球心在原点，半径为的球体，则 ,Rx，y，zdV,(),4214344(A) (A) ,; (B) ; (C) ,; (D), RRR,R33222x,5、3分微分方程的一个特解形如( )，式中为M,N,P,Qy,3y，2y,xe待定常数。 *22x*32x (A) (B) y,(Mx，Nx，P)ey,Mxe*322x*22x (C) (D) y,(Mx，Nx，Px，Q)ey,(Mx，N)xe三、解答下列各题 221、8分 设可微，方程，其中确定了是G(u,v)G(u,v),0u,x，yz,v,y，xzz,z,z222x,y的二元可微隐函数，试证明 (2y,x
4、z)，(2x,yz),z,4xy,x,y3a2、6分设长方体过同一顶点的三条棱长之和为，问这三条棱长各为何值时，长方体的表面积最大, 2223、化工类做本题，非化工类不做本题，本题7分 在球面上求x，y，z,9一点，使得过该点的切平面与已知平面平行。 2x，y,2z,0四、(共35分) 222D2yd,1、7分计算二重积分，其中由所确定。 2a,x，y,2ay(a,0),D2222222,2、8分设为两球，的公共部分，计算x，y，z,Rx，y，z,2Rz2zdV。 ,223、7分设,(u)有连续导函数，计算曲线积分,u,x，y2Lx,(u)，ydx，y,(u)，2xydy，式中是第一象限中连接
5、点A(5,0),B(3,4),L的任意光滑曲线。 共8页第2页 3232324、6分计算曲面积分，式(2x,xy)dydz，(2y,yz)dzdx，(2z,zx)dxdy,222中是上半球面z,a,x,y的上侧。 ,2225、化工类做本题，非化工类不做本题，本题7分上半球体0,z,a,x,y22被圆柱面截成两部分，求位于柱面内部那部分的体积。 x，y,Rx(R,0)五、化工类不做本题，非化工类做本大题，本题14分 n,x1、7分讨论级数(为待讨论的参数)的收敛性 x,(n，1)n0,2n,3!nx2、7分求幂级数的收敛半径，并判断在x,和处的幂级数x,31,2n2n,0n的收敛性。 六、14分
6、 2x221、7分求,的通解 (1，x)y，2xy,xeax,、7分求的通解 2y,5y，6y,ae高等数学统考试卷(2003,2004学年第二学期) 参改解答 1,4,7,4一、1(漏“一”号扣一分) ,9,yx，dxdy2222，xyxy 2( 12,y 3( dyfxydx(),0y72 4( ,kxye 5(y, 0二、6(D 7(D 8(C 9(B 10(C 22三、11(解法1(记 FxyzGxyzyxz(,)(,),，F,zG，2yGF,G,2x，zGF,yG，,G yuvxuvzuv共8页第3页 zG，2xG,zuv,z,2xG，zG,yyG，xGuu,xuv ， ,yG，xG
7、uv,zz22 (2)(2)yxzxyz,，,xy122 ,(2y,xz)(2xG，zG)，(2x,yz)(zG，2yG)uvuv,(yG，xG)uv122 ,(4xy,z)(yG，xG),z,xyuv(yG，xG)uv解:将原方程两边同时对x、y求导(z=z(x,y)得 ,z,z (1) G(2x，y)，G(z，x),0uv,x,x,zz (2) ()(2)0GzyGyx，,uv,yy联立(1)、(2)消去G、G得 uv,zzzz, 22xyyxzyzx，,，,xyyx,z,z22 (2y,xy)，(2x,yz),0,x,y12(设三条移长分别为x,y,z，则长方体表面积为 求U=2xy+2
8、zx+2yz，其中x+y+z=3a fy，zz，xx，yffyxz,方法一:由得 ,111,xyz得x=y=z=a为所求唯一解 2 故当x=y=z=a时 u=6a为所求条件最大值 方法二:作 F(x,y,z,),2xy，2zx，2yz，,(3a,x,y,z)F,2(y，z),0 解科x=y=z=a(唯一解) xF,2(z，x),0 yFyx,，,2()0, z(一般不要求判定)判定法(亦是初等解法) 112226(183)(2()666)auauxyzxyyzzx,，, 3312222，,，,，,()()()0xyyzzxu,6a ，32ua,6 且等号仅当x=y=z=a时或立，故x=y=z=
9、a时u取得条件最大值 ,n,1,2,2 13(记 1共8页第4页 , n,2x,2y,2z,2x,y,zx,2y, 令即代入曲面方程 x,y,z/2,1,2,z,2y,222 所求点为(2,1,-2) y,1(2y)，y，(,2y),9或 (-2,-1,2) 22aaax，,dxydy,2 14(原式= 22,2,aaxa1222222,a,xdx,，,a,a,a2 15(方法一:(投影法，柱面坐标法) 2222Rxy,3R22 原式= Dxy:，,dzdz,2xy222,DRRxy,42222,(,R，2RR,x,y)d,xy,D 32,R2222,d,(,R，2R,R,r),rdr,00
10、，32R31R,2223/2,22()RRRr,，, 2,243,0，3215，4442RR(1)R,，,83812， 方法二:截面法，用平行于xoy平面的平行平面截所给立体域截面积R,2,(2Rz,z)0,z,D1,2S(z), ,R22,(),R,z,z,RD2,2,RR2 原式 ,2zdzd,，2zdz,d,Rxyxy,0()DzD122RR2222 ,2z(2Rz,z)dz，,2z(R,z)dz R,02342，2R1RR111,2242R2RR1R,，, ,324224416,，113155，4422 ,R,，,R，,126486412，15(方法:(球面坐标法) , 作锥面将分为及
11、两部分 123共8页第5页 原式 ,2zdv，2zdv,12,222cosRR,2232 ,d,2sin,cos,d,d,，d,2sin,cos,d,d,000003,11244532 ,，,2sin22sincosRd0,4233111，44 ,2,，,R，2,，8,(,，)R,44664，315，44 2RR,，,164812，pQ, 17( xyuyyxuy2()22()2,，,，yx,故积分与路径无关 222 选L:，从点A(5,0)到B(3,4) ydyxdx,x，y,5132 ,x,(5)，25,xdx,(5)，2xxdx,ABL513233 ,(25,3x)dx,25(3,5),
12、5,3 ,5,48 亦可改选L折线A(5,0), C(3,0), B(3,4) 23422,，,，xxdxyyydy,()(9)6) ,ABACCB509251124,(u)du，,(v)dv，3y,48 0,2592222 (u,x,v,9，y)18(作辅助 ,:z,01原式, ，,(上),(下),(上)11222222 ,，,(6x,y，6y,z，6z,x)dv，0,(),，,)外上(11222,5(x，y，z)dv ,2,R222,5,d,sin,d,d, ,000,R55 2,),2,R200,cosR,222222V,R,x,yd,2,d,R,rrdr 18( xy,00D,1223
13、/2cosR,2,Rrd,2()| 0,03共8页第6页 ,222,3332 (1sin)RdR,03323,ux|()|u，1n,，1 19( limlim,()1，1,1，1n,n,uxn|()|，2n当|x|原级数发散 1 当x=1 当,1时原级数收敛 U(x),n,(n，1)当时原级数发散 ,1n(1), 当x=,1 当,1时原级数绝对收敛 U,(1),n,n(1)，当0,时原级数条件收敛 ,1当原级数发散 ,0n!b,0 20(记 nnnbn，1nn limlime,(),nnbn1，ne 故R,3|x|,|,e 当 幂级数绝对收敛 12当 幂级数发散 x,3,e22x22(1)2，
14、,xyyxe 21( 2xdy2xx2，y,e(*) 解:标准化 22dx1，x1，xcdy2xy,cy,，y,0 方法一:先解 求得 122dx1，x1，x改设 代入方程(*) y,u(x)y(x)122xx1x22,(),ux,e u(x),xe2211，x，x2x2u,e，c 2x2cey,， 故得: 221，x1，x2x,2xp(x),pxdxdx() 方法二: 22,1，x1，x12,，,ln(1)lnx 21，x,pdx1pxdx(),2,e, ex,，121，x共8页第7页 2x，,pdxx2,2 ,，,，yece(1x)dx,2，1x,，2x12 ,(c，e)21，x2x22
15、方法三:原方程为 ,(1，x)y,xe2x22 (1，x)y,e，c2x2c，e y,21，x,Y,5Y，6Y,0 22(先解 2 由 得 r,5r，6,0r,2,r,31223xx 故知 YCeCe,，12ax, 再求 的特解， y*y,5y，6y,aeaaxax,y*Aee 当， a,2，a,32,，a5a6a23xxax,，ycecee 通解为 122,，a5a62x2x2x2xy*,A，e,e,2，e 当a=2， 2，2,52x3x2x 通解 y,ce，ce,2，e123x3x3x3xy*,A，e,e,3，e 当a=3 2，3,5233xxx 通解 ycecexe,，312共8页第8页