《2019版高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用2.3函数的奇偶性与周期性学案理2018052121.wps》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019版高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用2.3函数的奇偶性与周期性学案理2018052121.wps（8页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、2.32.3 函数的奇偶性与周期性 知识梳理 1函数的奇偶性 (1)定义：一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f( x) f(x)，那么 f(x)就叫做偶函数；一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f( x) f(x)，那么 f(x)就叫做奇函数 (2)奇偶函数的性质 奇函数的图象关于坐标原点对称；偶函数的图象关于 y 轴对称 若奇函数在关于坐标原点对称的区间上有单调性，则其单调性相同；若偶函数在关于坐 标原点对称的区间上有单调性，则其单调性相反 2函数奇偶性的五个重要结论 (1)如果一个奇函数 f(x)在 x0 处有定义，即 f(0)有意义，那么
2、一定有 f(0) 0. (2)如果函数 f(x)是偶函数，那么 f(x)f(|x|) (3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即 f(x)0，xD，其中定义域 D 是关 于原点对称的非空数集 (4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反 的单调性 (5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数； 奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数 1 3对称性的三个常用结论 (1)若函数 yf(xa)是偶函数，即 f(ax)f(ax)，则函数 yf(x)的图象关于直线 x a 对称； (2)若
3、对于 R R 上的任意 x 都有 f(2ax)f(x)或 f(x)f(2ax)，则 yf(x)的图象关 于直线 x a 对称； (3)若函数 yf(xb)是奇函数，即 f(xb)f(xb)0，则函数 yf(x)关于点 (b,0)中心对称 4函数的周期性 定义：一般地，对于函数 f(x)，如果存在一个不为零的实数 T，使得当 x 取定义域内的每 一个值时，都有 f(xT)f(x)，那么函数 f(x)就叫做周期函数，称 T 为这个函数的周期对 于周期函数 f(x)，如果在它的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做 f(x) 的最小正周期 5函数周期的常见结论 设函数 yf(x)，xR
4、R，a0. (1)若 f(xa)f(xa)，则函数的周期为 2a； (2)若 f(xa)f(x)，则函数的周期为 2a； 1 (3)若 f(xa) ，则函数的周期为 2a； fx 1 (4)若 f(xa) ，则函数的周期为 2a； fx (5)若函数 f(x)关于直线 xa 与 xb 对称，那么函数 f(x)的周期为 2|ba|； (6)若函数 f(x)关于点(a,0)对称，又关于点(b,0)对称，则函数 f(x)的周期是 2|ba|； (7)若函数 f(x)关于直线 xa 对称，又关于点(b,0)对称，则函数 f(x)的周期是 4|b a|； (8)若函数 f(x)是偶函数，其图象关于直线
5、xa 对称，则其周期为 2a； (9)若函数 f(x)是奇函数，其图象关于直线 xa 对称，则其周期为 4a. 6掌握一些重要类型的奇偶函数 (1)函数 f(x)axax 为偶函数，函数 f(x)axax 为奇函数； axax a2x1 (2)函数 f(x) (a0且 a1)为奇函数； axax a2x1 bx (3)函数 f(x)loga 为奇函数； bx (4)函数 f(x)loga(x x21)为奇函数 诊断自测 1概念思辨 (1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点( ) (2)已知函数 yf(x)是定义在 R R 上的偶函数，若在( ，0)上是减函数，则在(0， ) 上是增
6、函数( ) (3)若函数 yf(xa)是偶函数，则函数 yf(x)的图象关于直线 xa 对称( ) (4)若函数 yf(xb)是奇函数，则函数 yf(x)的图象关于点(b,0)中心对称( ) 2 答案 (1) (2) (3) (4) 2教材衍化 1 (1)(必修 A1P39A 组 T6)已知函数 f(x)是奇函数，且当 x0 时，f(x)x2 ，则 f(1) x ( ) A2 B0 C1 D2 答案 A 1 解析 f(1)f(1)(1 2 2.故选 A. 1) (2)(必修 A1P39B 组 T3)设 f(x)为奇函数，且在( ，0)内是减函数，f(2)0，则 xf(x)0时，x0，f(x)x
7、22x1f(x) 所以 f(x)f(x)，即函数 f(x)是奇函数 (3)解法一：因为Error!2x2 且 x0，所以函数的定义域关于原点对称 4x2 4x2 所以 f(x) ， x33 x 4x2 又 f(x) ， x x 4x2 所以 f(x)f(x)，即函数 f(x)是奇函数 解法二：求得函数 f(x)的定义域为2,0)(0,2 4x2 化 简函数 f(x)，可得 f(x) ， x 由 y1x 是奇函数，y2 4x2是偶函数， 4x2 可得 f(x) 为奇函数 x 方法技巧 判断函数奇偶性的方法 4 fx 1定义法：利用奇、偶函数的定义或定义的等价形式： 1(f(x)0)判断函数 fx
8、 的奇偶性 2图象法：利用函数图象的对称性判断函数的奇偶性 3验证法：即判断 f(x)f(x)是否为 0. 4性质法：设 f(x)，g(x)的定义域分别是 D1，D2，那么在它们的公共定义域上，有下面 结论： 冲关针对训练 1(2018广东模拟)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) 1 Ay 1x2 Byx x 1 Cy2x Dyxex 2x 答案 D 1 1 解析 易知 y 1x2与 y2x 是偶函数，yx 是奇函数故选 D. 2x x 2判断下列各函数的奇偶性： lg 1x2 (1)f(x) ； |x22|2 (2)f(x)Error! 解 (1)由Error!得函数的定义域为(1,0)(0,1)， lg 1x2 lg 1x2 所以 f(x) . x222 x2 lg 1x2 lg 1x2 因为 f(x) f(x)，所以 f(x)为偶函数 x2 x2 (2)当 x0，则 f(x)(x)2x(x2x)f(x)； 当 x0时，x0，则 f(x)(x)2x(x2x)f(x) 又 f(0)0，故对任意的 x( ， )，都有 f(x)f(x)，所以 f(x)为奇函数. 5