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1、高等数学课后习题及参考答案（第六章）高等数学课后习题及参考答案 (第六章) 习题6,2 1, 求图6,21 中各画斜线部分的面积: (1) 解 画斜线部分在x轴上的投影区间为0 1, 所求的面积为 31211122 (). A,x,xdx,x,x,0,0326(2) 解法一 画斜线部分在x轴上的投影区间为0 1, 所求的面积为 11xxA,(e,e)dx,(ex,e)|,1 0,0解法二 画斜线部分在y轴上的投影区间为1 e, 所求的面积为 eeeA,lnydy,ylny|,dy,e,(e,1),1 , 1,11(3) 解 画斜线部分在x轴上的投影区间为,3 1, 所求的面积为 1322 (3
2、)2, A,x,xdx,33(4) 解 画斜线部分在x轴上的投影区间为,1 3, 所求的面积为 31323223(23)(3)| , A,x，,xdx,x，x,x,1,1332. 求由下列各曲线所围成的图形的面积: 1222 (1) 与x，y,8(两部分都要计算), y,x2解: 222218222222(8)2828 A,x,xdx,xdx,xdx,xdx,1,000023,8424 , 16cos2,tdt,，,03342(22)6 , A,S,2131 (2)与直线y,x及x,2, y,x解: 所求的面积为 213 A,(x,)dx,ln2, ,1x2xx (3) y,e y,e,与直线
3、x,1, 解: 所求的面积为 11x,x , A,(e,e)dx,e，,2,0e(4)y=ln x, y轴与直线y=ln a, y=ln b (ba0). 解 所求的面积为 lnblnbyy A,edy,e,b,a ,lnalna23, 求抛物线y,x，4x,3及其在点(0 ,3)和(3 0)处的切线所围成的图形的面积, 解: y,2 x，4, 过点(0, ,3)处的切线的斜率为4 切线方程为y,4(x,3), 过点(3, 0)处的切线的斜率为,2 切线方程为y,2x，6, 3 两切线的交点为 所求的面积为 (, 3)233922243(43)26(43 A,x,x，x,，,x，,x，x,dx
4、, 3,042p2 4, 求抛物线y=2px及其在点处的法线所围成的图形的面积, (,p)2解 2y,y,2p , pp,p 在点处 y 法线的斜率k,1 ,1(,p)(,p)y22p3p法线的方程为 即, y,p,(x,)x,y22p9求得法线与抛物线的两个交点为和, (,p)(p,3p)22法线与抛物线所围成的图形的面积为 2p3py3p1116p232A(y)dy(yyy)p , ,3p,3p22p226p35, 求由下列各曲线 所围成的图形的面积, (1),2acos, , 解: 所求的面积为 ,1222222 A,(2acos,)d,4acos,d,a, ,0,2233 (2)x,a
5、cost, y,asint; 解 所求的面积为 ,0a332242 A,4ydx,4(asint)d(acost),4a3costsintdt,002,3246222 , 12asintdtsintdta,008(3),=2a(2+cos, ) 解 所求的面积为 22,12222 , A,2a(2，cos,)d,2a(4，4cos,，cos,)d,18,a,0026, 求由摆线x,a(t,sin t) y,a(1,cos t)的一拱(0,t,2,)与横轴 所围成的图形的面积, 解: 所求的面积为 2a,2a2a22 A,ydx,a(1,cost)a(1,cost)dt,a(1,cost)dt,
6、0002a1，cost22 , ,a(1,2cost，)dt,3a,02, 7, 求对数螺线,ae(,)及射线,所围成的图形面积, 解 所求的面积为 2,11a,222,2,2, , A,(ae)d,aed,(e,e),2248, 求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积, (1),3cos, 及,1，cos, 解 33, 曲线,3cos, 与,1，cos, 交点的极坐标为 , 由对称性 所求的面积为 A(,)B(,)2323,11522322(1cos)(3cos) , A,，,d,，,d,022432 (2)及, ,cos2,2sin,解 ,22 曲线与的交点M的极坐标为M, 所求的面积为
7、,cos2,2sin,(,)26,1113,2642(2sin)cos2 , Add,，,，,022626x 9, 求位于曲线y=e下方 该曲线过原点的切线的左方以及x轴上方之间的图形的面积, x 解 设直线y,kx与曲线y,e相切于A(x y)点 则有 00y,kx,00,x0y,e ,0x0,y(x),e,k0,求得x,1 y,e k,e , 00所求面积为 eeee111e2 , (ln)ln,，,yydyyyyydy,000022eey210, 求由抛物线y,4ax与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小值, 解 设弦的倾角为, 由图可以看出 抛物线与过焦点的弦所围成的图形的面积为 , A
8、,A，A01, 显然当时 A,0, 当时 A,0, ,1122因此 抛物线与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小值为 aa8832A22axdxaxa , ,0,0033211, 把抛物线y,4ax及直线x,x(x,0)所围成的图形绕x轴旋转 计算00所得旋转体的体积, 解 所得旋转体的体积为 xxx000222 , V,ydx,4axdx,2a,x,2a,x0,000312, 由y,x x,2 y,0所围成的图形 分别绕x轴及y轴旋转 计算所得两个旋转体的体积, 解 绕x轴旋转所得旋转体的体积为 2221128267 , V,ydx,xdx,x,x,00077绕y轴旋转所得旋转体的体积为 28
9、8223 V,2,8,xdy,32,ydyy,00836453 32, ,y,0552/32/32/313, 把星形线所围成的图形 绕x轴旋转 计算所得旋转体x，y,a的体积, 解 由对称性 所求旋转体的体积为 22aa2333 V,2,ydx,2,(a,x)dx,004224a3222333332(a3ax3axx)dxa, ,，,0105H2 14, 用积分方法证明图中球缺的体积为, ,()V,HR,3RR222 证明 V,x(y)dy,(R,y)dy,RHRHR1H232 , ,(,),(,)RyyHR,RH3315, 求下列已知曲线所围成的图形 按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积: 2
10、2 (1) 绕y轴, y,xx,y1111132225()() 解 , V,ydy,ydy,y,y,0002510x (2) x,0 x,a y,0 绕x轴, y,achaaa1xau令,x22232 解 V,y(x)dx,achdx ,achudu,000a3311aa11,u,uu,u2222 ,(e，2，e)du,(e，2u,e),0044223a, , ,(2，sh2)422 (3) 绕x 轴, x，(y,5),16442222 解 V,(5，16,x)dx,(5,16,x)dx,44422 , ,4016,xdx,160,0(4)摆线x,a(t,sin t) y,a(1,cos t)
11、的一拱 y,0 绕直线y,2a, 2a,2a,22 解 V,(2a)dx,(2a,y)dx ,002,322,8a,2a,a(1,cost)da(t,sint) ,02,323232,8a,a,(1，cost)sintdt,7a, , ,0222 16, 求圆盘绕x,b(ba0)旋转x，y,a所成旋转体的体积, aa222222 解 V,(b，a,y)dy,(b,a,y)dy,aaa2222 , ,8b,a,ydy,2ab,017, 设有一截锥体 其高为h 上、下底均为椭圆 椭圆的轴长分别为2a、2b和2A、2B 求这截锥体的体积, 解 建立坐标系如图, 过y轴上y点作垂直于y轴的平面 则平面
12、与截锥体的截面为椭圆 易得其长短半轴分别为 A,aB,b , A,yB,yhhA,aB,b截面的面积为, (A,y),(B,y),hh于是截锥体的体积为 hA,aB,b1 , V,(A,y),(B,y),dy,h2(ab，AB)，aB，bA,0hh618, 计算底面是半径为R的圆 而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积, 解 设过点x且垂直于x轴的截面面积为A(x) 2由已知条件知 它是边长为的等边三角形R,x的面积 其值为 22 A(x),3(R,x) R43223所以 V3(Rx)dxR, ,R319, 证明 由平面图形0,a,x,b 0,y,f(x)绕y轴旋转所成的
13、旋转体的体积为 b, V,2,xf(x)dx,a证明 如图 在x处取一宽为dx的小曲边梯形 小曲边梯形绕y轴旋转所得的旋转体的体积近似为2,x,f(x)dx 这就是体积元素 即 dV,2x,f(x)dx ,于是平面图形绕y轴旋转所成的旋转体的体积为 bb, V,2,xf(x)dx,2,xf(x)dx,aa20, 利用题19和结论 计算曲线y,sin x(0,x,)和x轴所围成的图形绕y轴旋转所得旋转体的体积, ,2 解 , V,2xsinxdx,2,xdcosx,2,(,xcosx，sinx),2,00021, 计算曲线y,ln x上相应于的一段弧的长度, 3,x,8288811，x22, 解
14、 s,1，y(x)dx,1，()dx,dx,333xx22令 即 则 1，x,tx,t,123333113ttt1ln , s,dt,dt,dt，dt,，,222222221122t,t,11t,t,x 22, 计算曲线上相应于y,(3,x)31,x,3的一段弧的长度, 111, 解 y,xy,x,xx232x1111122,，y,x， 1()y,，x24x24x所求弧长为 3311124()(2)23 , s,x，dx,xx，x,112233x2x232 23, 计算半立方抛物线被抛物线截得的一段弧y,(x,1)y,33的长度, 2,23y,(x,1),663 解 由得两曲线的交点的坐标为
15、, (2, )(2, ,),x332y,3,22,所求弧长为, s,21，ydx,1因为 442x(x,1)(x,1)(,1)322, , 2yy,2(x,1)yy,(x,1),22yy23(x,1)3所以 32232852 s,21，(x,1)dx,3x,1d(3x,1),(),1, ,11292322 24, 计算抛物线y,2px 从顶点到这曲线上的一点M(x y)的弧长, yyyy12222, 解 s,，xydy,，dy,p，ydy1()1(),000pp2yyp12222 ,p，y，ln(y，p，y)0p2222ypy，yp22 , py,，lnpp2233 25, 计算星形线 的全长
16、, y,asintx,acost解 用参数方程的弧长公式, ,222, s4x(t)y(t)dt,，,0,22222 ,43acost,(,sint)，3asint,costdt,0,2 , ,12sintcostdt,6a,026, 将绕在圆(半径为a)上的细线放开拉直 使细线与圆周始终相切 细线端点画出的轨迹叫做圆的渐伸线 它的方程为 , x,a(cost，tsint)y,a(sint,tcost)计算这曲线上相应于t从0变到,的一段弧的长度, 解 由参数方程弧长公式 ,2222, s,x(t)，y(t)dt,(atcost)，(atsint)dt,00,a2 , ,atdt,0227,
17、在摆线x,a(t,sin t) y,a(1,cos t)上求分摆线第一拱成1: 3的点的坐标, 解 设t从0变化到t时摆线第一拱上对应的弧长为s(t) 则 00tt002222, s(t),x(t)，y(t)dt,a(1,cost)，asintdt0,00t0tt0 , ,2sin,4(1,cos)adta,022当t,2,时 得第一拱弧长s(2,),8a, 为求分摆线第一拱为1: 3的0点为A(x y) 令 t0 4a(1,cos),2a22,解得 因而分点的坐标为: t,032223, 横坐标 x,a(,sin),(,)a333223, 纵坐标 y,a(1,cos),a32233,故所求分
18、点的坐标为, (,)a, a)322a, 28, 求对数螺线相应于自,0到,的一段弧长, ,e,解 用极坐标的弧长公式, ,2222aa, s,()，,(,)d,(e)，(ae)d,002,1，aa,a,2 , ,1，aed,(e,1),0a34 29, 求曲线,1相应于自至的一段弧长, ,43解 按极坐标公式可得所求的弧长 4411332222, s,()，,()d,()，(,)d,332,44415332 , 1ln,，,d,，32,122,430, 求心形线,a(1，cos , ，的全长, 解 用极坐标的弧长公式, ,22222, s,2,()，,()d,2a(1，cos,)，(,asi
19、n,)d,00, , ,4acosd,8a,02习题6,3 1, 由实验知道 弹簧在拉伸过程中 需要的力F(单位: N)与伸长量s(单位: cm)成正比 即F,ks (k为比例常数), 如果把弹簧由原长拉伸6cm 计算所作的功, 解 将弹簧一端固定于A 另一端在自由长度时的点O为坐标原点 建立坐标系, 功元素为dW,ksds 所求功为 6612 k(牛,厘米), W,ksds,ks,18,0022 2, 直径为20cm、高80cm的圆柱体内充满压强为10N/cm的蒸汽, 设温度保持不变 要使蒸汽体积缩小一半 问需要作多少功, 解 由玻,马定律知: 2 , PV,k,10,(,10,80),80
20、000,设蒸气在圆柱体内变化时底面积不变 高度减小x厘米时压强 为2P(x)牛/厘米 则 8002P(x), , P(x),(,10)(80,x),80000,80,2 功元素为 dW,(,10)P(x)dx所求功为 404080012 (J), W,(,10),dx,80000,dx,800,ln2,0080,80,3, (1)证明: 把质量为m的物体从地球表面升高到h处所作的功是 mgRh W,R，h其中g是地面上的重力加速度 R是地球的半径, (2)一颗人造地球卫星的质量为173kg 在高于地面630km处进入轨道, 问把这颗卫星从地面送到630的高空处 克服地球引力要作多2少功,已知g
21、,9,8m/s 地球半径R,6370km, 证明 (1)取地球中心为坐标原点 把质量为m的物体升高的功元素为 kMm dW,dy2y所求的功为 R，hkMmmMh , W,dy,k,2,RyR(R，h)243173，5.98，10，630，10,115 (2)(kJ), W,6.67，10,9.75，10336370，10(6370，630)，103 4, 一物体按规律作直线运动 媒质的阻力与速度的平方成x,ct正比, 计算物体由x,0移至x,a时 克服媒质阻力所作的功, 3 解 因为 所以 x,ct2x22243, v,x(t),3cx 阻力f,kv,9kct, 而 所以 t,()c424x
22、2333 , f(x),9kc(),9kcxc功元素dW,f(x)dx 所求之功为 242427aaa27333333Wf(x)dx9kcxdx9kcxdxkca , ,00075, 用铁锤将一铁钉击入木板 设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比 在击第一次时 将铁钉击入木板1cm, 如果铁锤每次打击铁钉所做的功相等 问锤击第二次时 铁钉又击入多少, 解 设锤击第二次时铁钉又击入hcm 因木板对铁钉的阻力f与铁钉击入木板的深度x(cm)成正比 即f,kx 功元素dW,f dx,kxdx 击第一次作功为 11 W,kxdx,k1,02击第二次作功为 1，h12 , W,kxdx,k(h，2
23、h)2,12因为 所以有 W,W12112 k,k(h，2h)22解得(cm), h,2,16, 设一锥形贮水池 深15m 口径20m 盛满水 今以唧筒将水吸尽 问要作多少功, 2 解 在水深x处 水平截面半径为 功元素为 r,10,x3222 dW,x,rdx,x(10,x)dx 3所求功为 1522 W,x(10,x)dx ,0315423 ,(100x,40x，x)dx ,09,1875(吨米),57785.7(kJ), 7, 有一闸门 它的形状和尺寸如图 水面超过门顶2m, 求闸门上所受的水压力, 解 建立x轴 方向向下 原点在水面, 水压力元素为 dP,1,x,2dx,2xdx闸门上
24、所受的水压力为 552 (吨)=205, 8(kN), P,2xdx,x,21,228, 洒水车上的水箱是一个横放的椭圆柱体 尺寸如图所示, 当水箱装满水时 计算水箱的一个端面所受的压力, 解 建立坐标系如图 则椭圆的方程为 32(x,)2y4 , ，,12312()4压力元素为 83322dP,1,x,2y(x)dx,x,(),(x,)dx 344所求压力为 3,83383332222 P,x,(),(x,)dx,(1，sint),cost,costdx,034434442,9922 (吨),17.3(kN), cos,tdx,041633(提示: 积分中所作的变换为) x,sint449,
25、 有一等腰梯形闸门 它的两条底边各长10m和6m 高为20m, 较长的底边与水面相齐, 计算闸门的一侧所受的水压力, 解 建立坐标系如图, 直线AB的方程为 1 y,5,x10压力元素为 1 dP,1,x,2y(x)dx,x,(10,x)dx5所求压力为 201 (吨),14388(千牛), P,x,(10,x)dx,1467,0510, 一底为8cm、高为6cm的等腰三角形片 铅直地沉没在水中 顶在上 底在下且与水面平行 而顶离水面3cm 试求它每面所受的压力, 解 建立坐标系如图, 2 腰AC的方程为y,x 压力元素为 324 dP,(x，3),2,x,dx,x(x，3)dx33所求压力为
26、 66441332 (克),(牛), P,x(x，3)dx,(x，x),168,00333211, 设有一长度为l、线密度为,的均匀细直棒 在与棒的一端垂直距离为a单位处有一质量为m的质点M 试求这细棒对质点M的引力, 解 建立坐标系如图, 在细直棒上取一小段dy 引力元素为 mdyGm, ,dFGdy2222，ayaydF在x轴方向和y轴方向上的分力分别为 ya , dF,dFdF,dFxyrrllGmGml,a1F,(,)dy,aGmdy, ,x22,22222200ra，y(a，y)a，yaa，lllyGm,111F,dy,Gmdy,Gm, , ,()y22,22222200ra，yaa
27、，ya，ya，l()12, 设有一半径为R、中心角为 , 的圆弧形细棒 其线密度为常数 , , 在圆心处有一质量为m的质点F, 试求这细棒对质点M的引力, 解 根据对称性 F,0, y,G,m,ds dF,cos,x2R,Gm(Rd)Gm ,cos,cos,d,2RR,Gm2 F,cos,d,x,R2,2Gm2Gm,2 ,cosd,sin, ,0RR22Gm, 引力的大小为 方向自M点起指向圆弧中点, sinR2总 习 题 六 1(x), 1, 一金属棒长3m 离棒左端xm处的线密度为 ,x，1(kg/m), 问x为何值时 0 x一段的质量为全棒质量的一半? x3111dt,dt 解 x应满足
28、, ,002t，1t，1x31111x3 因为 dt,2t，1,2x，1,2dt,2t，1,100,0022t，1t，1所以 2x，1,2,15 (m), x,42, 求由曲线,asin, ,a(cos,，sin,)(a0)所围图形公共部分的面积, 3,1a14222 解 S,()，a(cos,，sin,)d,22223,22aa,1,42 , ,，(1，sin2)d,a,82422 3, 设抛物线通过点(0 0) 且当x,0 1时 y,0, 试y,ax，bx，c2确定a、b、c的值 使得抛物线与直线x,1 y,0所围图形y,ax，bx，c4的面积为 且使该图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积最小
29、, 92 解 因为抛物线通过点(0 0) 所以c,0 从而 y,ax，bx，c2 , y,ax，bx2 抛物线与直线x,1 y,0所围图形的面积为 y,ax，bx1ab2() , S,ax，bxdx,，,032ab48,6a令 得, ，,b,3299该图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积为 221abab22 ,(),()V,ax，bxdx,，,0532218686a,aa,a2 , ,()(),，539295dV,a126a,81 令 得a, 于是b,2, ,，,，(8,12a),03d53811832 4, 求由曲线与直线x,4 x轴所围图形绕y轴旋转而成的旋y,x转体的体积, 解 所求旋转体
30、的体积为 374425122222 , V,x,xdx,x,007722 5, 求圆盘绕y轴旋转而成的旋转体的体积, (x,2)，y,132 解 V,2,2,x,1,(x,2)dx ,1,令x,2,sint222, 4,(2，sint)costdt,4,21222 6, 抛物线y,x被圆所需截x，y,32下的有限部分的弧长, 22x，y,3, 解 由解得抛物线与圆的两个交点为 (,2, 1)(2, 1),12yx,2于是所求的弧长为 22x1222 s,21，xdx,21，x，ln(x，1，x),0022, ,6，ln(2，3)7, 半径为r的球沉入水中 球的上部与水面相切 球的比重与水相同
31、现将球从水中取出 需作多少功? 解 建立坐标系如图, 将球从水中取出时 球的各点上升的高度均为2r, 在x处取一厚度为dx的薄片 在将球从水中取出的过程中 薄片在水下上升的高度为r，x 在水上上升的高度为r,x, 在水下对薄片所做的功为零 在水上对薄片所做的功为 22 dW,g,(r,x)(r,x)dx对球所做的功为 r4222()() , W,g,r,xr,xdx,rg,r38, 边长为a和b的矩形薄板 与液面成, 角斜沉于液体内 长边平行于液面而位于深h处 设ab 液体的比重为, 试求薄板每面所受的压力, 解 在水面上建立x轴 使长边与x轴在同一垂面上 长边的上端点与原点对应, 长边在x轴
32、上的投影区间为0 bcos, 在x处x轴到薄板的距离为h，xtan, 压力元素为 ,gadx dP,g,(h，xtan,),a,(h，xtan,)dxcoscos,薄板各面所受到的压力为 bcos,ga1 , P,(h，xtan,)dx,gab(2h，bsin,),0cos2,33 上每一点处的线密度的大小等 9, 设星形线y,asintx,acost于该点到原点距离的立方 在原点O处有一单位质点 求星形线在第一象限的弧段对这质点的引力, 解 取弧微分ds为质点 则其质量为 223223 (x，y)ds,(x，y)ds3232,其中, ds,(acost)，(asint)dt,3asintcostdt设所求的引力在x轴、y轴上的投影分别为F、F 则有 xy,223,，1()xy3x22242, ,3Gacostsintdt,Ga FGdsx22,2200(，)5xy，xy,223,，1()xyy322242, ,3Gacostsintdt,Ga FGdsx22,2200(，)5xy，xy3322所以, F,(Ga, Ga)55