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1、2012高考数学考点规律归纳与解题技巧（93页）第一章 高中数学解题基本方法 一、 配方法 配方法是对数学式子进行一种定向变形(配成“完全平方”)的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。 最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于:已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。 222配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a，b),a，2ab，b，将这个公式灵活运
2、用，可得到各种基本配方形式，如: 2222a，b,(a，b),2ab,(a,b)，2ab; 3b222222a，ab，b,(a，b),ab,(a,b)，3ab,(a，)，(b); 221222222a，b，c，ab，bc，ca,(a，b)，(b，c)，(c，a) 222222a，b，c,(a，b，c),2(ab，bc，ca),(a，b,c),2(ab,bc,ca), 结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如: 21，sin2,1，2sincos,(sin，cos); 111222x，,(x，),2,(x,)，2 ; 等等。 2xxx?、再现性题组: 1. 在正项等比数列a中，a,a
3、+2a,a+a,a=25，则 a，a,_。 n1535373522方程x，y,4kx,2y，5k,0表示圆的充要条件是_。 2. 111 A. k1 B. k1 C. k?R D. k,或k,1 444443. 已知sin，cos,1，则sin，cos的值为_。 A. 1 B. ,1 C. 1或,1 D. 0 24. 函数y,log (,2x，5x，3)的单调递增区间是_。 1255155 A. (,?, B. ,+?) C. (, D. ,3) 442442225. 已知方程x+(a-2)x+a-1=0的两根x、x，则点P(x,x)在圆x+y=4上，则2211实数a,_。 2【简解】 1小题
4、:利用等比数列性质aa,a，将已知等式左边后配方(a，mp,mp，m32a)易求。答案是:5。 522222小题:配方成圆的标准方程形式(x,a)，(y,b),r，解r0即可，选B。 222223小题:已知等式经配方成(sin，cos),2sincos,1，求出sincos，然后求出所求式的平方值，再开方求解。选C。 4小题:配方后得到对称轴，结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解。选D。 115小题:答案3,。 2?、示范性题组: 例1. 已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为_。 A. 2 B. C. 5 D. 6 314【分析】 先转换为数
5、学表达式:设长方体长宽高分别为x,y,z，则211()xyyzxz，,222 ,而欲求对角线长，将其配凑成两已知式的组合形式xyz，,424()xyz，,可得。 【解】设长方体长宽高分别为x,y,z，由已知“长方体的全面积为11，其12条棱的长度211()xyyzxz，,之和为24”而得:。 ,424()xyz，,2222长方体所求对角线长为:,xyz，()()xyzxyyzxz，,，22611,5 所以选B。 【注】本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式，观察和分析三个数学式，容易发现使用配方法将三个数学式进行联系，即联系了已知和未知，从而求解。这也是我们使用配方法的一种
6、解题模式。 pq222例2. 设方程x，kx，2=0的两实根为p、q，若()+()?7成立，求实数k的取qp值范围。 2【解】方程x，kx，2=0的两实根为p、q，由韦达定理得:p，q,k，pq,2 , 22222222244pq()pqpqpq，,22pq，()pqpq，,222()+(),222qp()pq()pq()pq22()k,48?7， 解得k?,10或k?10 。 42222又 ?p、q为方程x，kx，2=0的两实根， ? ?,k,8?0即k?2或k?,2 10222210综合起来，k的取值范围是:,?k?, 或者 ?k?。 【注】 关于实系数一元二次方程问题，总是先考虑根的判别
7、式“”;已知方程有两根时，可以恰当运用韦达定理。本题由韦达定理得到p，q、pq后，观察已知不等式，从其结构特征联想到先通分后配方，表示成p，q与pq的组合式。假如本题不对“?”讨论，结果将出错，即使有些题目可能结果相同，去掉对“?”的讨论，但解答是不严密、不完整的，这一点我们要尤为注意和重视。 ba2219981998例3. 设非零复数a、b满足a，ab，b=0，求()，() 。 ab，ab，aaa2【分析】 对已知式可以联想:变形为()，()，1,0，则, (为1的立方bbb2虚根);或配方为(a，b),ab 。则代入所求式即得。 2 3aa222【解】由a，ab，b=0变形得:()，()，
8、1,0 ， bba1b233设,，则，1,0，可知为1的立方虚根，所以:,，,1。 ,ba,222又由a，ab，b=0变形得:(a，b),ab ， 22abbaab99999所以 ()，(),()，(),()，(),，ababbaab，ab，999,2 。 ,【注】 本题通过配方，简化了所求的表达式;巧用1的立方虚根，活用的性质，计算表达式中的高次幂。一系列的变换过程，有较大的灵活性，要求我们善于联想和展开。 ,13iaab222【另解】由a，ab，b,0变形得:()，()，1,0 ，解出,后，化2bbaab999999成三角形式，代入所求表达式的变形式()，()后，完成后面的运算。此方法用于
9、ba,13i只是未联想到时进行解题。 2,13i22假如本题没有想到以上一系列变换过程时，还可由a，ab，b,0解出:a,b，2直接代入所求表达式，进行分式化简后，化成复数的三角形式，利用棣莫佛定理完成最后的计算。 ?、巩固性题组: 221. 函数y,(x,a)，(x,b) (a、b为常数)的最小值为_。 222ab()ab,，A. 8 B. C. D.最小值不存在 222222. 、是方程x,2ax，a，6,0的两实根，则(-1) +(-1)的最小值是_。 49A. , B. 8 C. 18 D.不存在 4，xy3. 已知x、y?R，且满足x，3y,1,0，则函数t,2，8有_。 22A.最
10、大值2 B.最大值 C.最小值2 B.最小值 22222224. 椭圆x,2ax，3y，a,6,0的一个焦点在直线x，y，4,0上，则a,_。 A. 2 B. ,6 C. ,2或,6 D. 2或6 5. 化简:2，的结果是_。 18,sin228，cosA. 2sin4 B. 2sin4,4cos4 C. ,2sin4 D. 4cos4,2sin4 22x6. 设F和F为双曲线,y,1的两个焦点，点P在双曲线上且满足?FPF,90?，12124则?FPF的面积是_。 12217. 若x,1，则f(x),x，2x，的最小值为_。 x，13 4,33128. 已知，cos(-),，sin(+),，
11、求sin2的值。(9245213年高考题) 222229. 设二次函数f(x),Ax，Bx，C，给定m、n(m0; ? 是否存在一个实数t，使当t?(m+t,n-t)时，f(x)1，t1ststst? 将y表示为x的函数y,f(x)，并求出f(x)的定义域; ? 若关于x的方程f(x),0有且仅有一个实根，求m的取值范围。 4 5二、换元法 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理
12、。 换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。 它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。 换元的方法有:局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通xxx过变形才能发现。例如解不等式:4，2,2?0，先变形为设2,t(t0)，而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。 三角换元，应
13、用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y,x，1,x的值域时，易发现x?0,1，设x,2,sin ，?0,，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中2222主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x，y,r(r0)时，则可作三角代换x,rcos、y,rsin化为三角问题。 SS均值换元，如遇到x，y,S形式时，设x,，t，y,t等等。 22我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例,
14、中的t0和?0,。 2?、再现性题组: 1.y,sinx?cosx，sinx+cosx的最大值是_。 242.设f(x，1),log(4,x) (a1)，则f(x)的值域是_。 a3.已知数列a中，a,1，a?a,a,a，则数列通项a,_。 n1n，1nn，1nn24.设实数x、y满足x，2xy,1,0，则x，y的取值范围是_。 ,x13，5.方程,3的解是_。 x13，xx，16.不等式log(2,1) ?log(2,2)2的解集是_。 225 62t1【简解】1小题:设sinx+cosx,t?,，则y,，t,，对称轴t,1，22221当t,，y,，; 22max2222小题:设x，1,t
15、(t?1)，则f(t),log-(t-1)，4，所以值域为(,?,log4; aa1113小题:已知变形为,1,设b,，则b,1,b,1，(n,1)(-1)n1naaan，1nn1,n，所以a,; nn224小题:设x，y,k，则x,2kx，1,0, ?,4k,4?0,所以k?1或k?,1; 1x25小题:设3,y，则3y，2y,1,0,解得y,，所以x,1; 35x6小题:设log(2,1),y，则y(y，1)2，解得,2y0，求f(x),2a(sinx，cosx),sinx?cosx,2a的最大值和最小值。 【解】 设sinx，cosx,t，则t?-,，由(sinx，22 y 2t,12
16、, , cosx),1，2sinx?cosx得:sinx?cosx, 2 x ,22112? f(x),g(t),(t,2a)， (a0)，t?-, 222212t,-时，取最小值:,2a,2a, 22212?时，t,，取最大值:,2a，2a, ; 当2a22221当002222a，14aa恒成立，求a的取值范围。(87年全国理) 2()a，141()a，2a【分析】不等式中log、 log、log三项有何联系,进行对2222a，14aa数式的有关变形后不难发现，再实施换元法。 41()a，81()a，2aa，1【解】 设log,t，则log,log,3，log,3,2222a，12aa2a2
17、()a，12aa，1log,3,t，log,2log,2t， 2222a，12a4a2代入后原不等式简化为(3,t)x，2tx,2t0，它对一切实数x恒成立，所以: 30,tt,3,2a，解得 ? t0即log0 ,22a，1tt,06或,，,4830ttt(),9 102a01，解得0a0恒成立，求k的范围。 91622()x,1()y，122【分析】由已知条件，,1，可以发现它与a，b,1有相似之处，于916是实施三角换元。 10 1122()x,1x,1()y，1y，1【解】由，,1，设,cos，,sin， 91634,x,，13cos即: 代入不等式x，y,k0得: ,y,，14sin
18、,3cos，4sin,k0，即k3cos，4sin,5sin(+) 所以k0 (a0)所表示的区域为直线ax，by，c,0所分平面成两部分中含x轴正方向的一部分。此题不等式恒成立问题化为图形问题:椭圆上的点始终y 位于平面上x，y,k0的区域。即当直线x，y,k,0 x 在与椭圆下部相切的切线之下时。当直线与椭圆相切 22,16191144()()xy,，, 时，方程组有相等的一组, x，y,k0 xyk，,0, k 平面区域 实数解，消元后由?,0可求得k,3,所以k0)，则f(4)的值为_。 122A. 2lg2 B. lg2 C. lg2 D. lg4 3334 函数y,(x，1)，2的
19、单调增区间是_。 2.A. -2,+?) B. -1,+?) D. (-?,+?) C. (-?,-1 13. 设等差数列a的公差d,，且S,145，则a，a，a，a的值为99n1001352_。 A. 85 B. 72.5 C. 60 D. 52.5 224. 已知x，4y,4x，则x，y的范围是_。 115. 已知a?0，b?0，a，b,1，则，的范围是_。 a，b，2236. 不等式ax，的解集是(4,b)，则a,_，b,_。 x27. 函数y,2x，的值域是_。 x，18. 在等比数列a中，a，a，a,2，a，a，a,12，求a，a，n12101112303132，a。 6011 12
20、29. 实数m在什么范围内取值，对任意实数x，不等式sinx，2mcosx，4m,10,y0)上移动，且AB、AD始A B 终平行x轴、y轴，求矩形ABCD的最小面积。 O x 三、待定系数法 要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数,的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)g(x)的充要条,件是:对于一个任意的a值，都有f(a)g(a);或者两个多项式各同类项的系数对应相等。 待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断
21、一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。 使用待定系数法，它解题的基本步骤是: 第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式; 第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程; 第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。 如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析: ? 利用对应系数相等列方程; ? 由恒等的概念用数值代入法列方程; ? 利用定义本身的属性列方
22、程; ? 利用几何条件列方程。 比如在求圆锥曲线的方程时，我们可以用待定系数法求方程:首先设所求方程的形式，其中含有待定的系数;再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组;最后解所得的方程或方程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已经明确的方程形式，得到所求圆锥曲线的方程。 ?、再现性题组: x,11. 设f(x),，m，f(x)的反函数f(x),nx,5，那么m、n的值依次为_。 25555A. , ,2 B. , ， 2 C. , 2 D. , ，,2 222212 131122. 二次不等式ax，bx，20的解集是(,)，则a，b的值是_。 23A. 10 B. ,10 C. 1
23、4 D. ,14 31053. 在(1,x)(1，x)的展开式中，x的系数是_。 A. ,297 B.,252 C. 297 D. 207 314. 函数y,a,bcos3x (b0，7,x0，x0。 4设V,(15a,ax)(7b,bx)x (a0,b0) ab,，,ab10,要使用均值不等式，则 ,157aaxbbxx,31解得:a,， b, ， x,3 。 4415 161521，6415x3646421443从而V,(,)(,x)x?(),?27,576。 344443333所以当x,3时，矩形盒子的容积最大，最大容积是576cm。 【注】均值不等式应用时要注意等号成立的条件，当条件不
24、满足时要凑配系数，可以用44“待定系数法”求。本题解答中也可以令V,(15a,ax)(7,x)bx 或 (15,x)(7a,ababax)bx，再由使用均值不等式的最佳条件而列出方程组，求出三项该进行凑配的系数，本题也体现了“凑配法”和“函数思想”。 ?、巩固性题组: 1. 函数y,logx的x?2,+?)上恒有|y|1，则a的取值范围是_。 a111A. 2a且a?1 B. 0a或1a2 C. 1a2或0a 222222. 方程x，px，q,0与x，qx，p,0只有一个公共根，则其余两个不同根之和为_。 A. 1 B. ,1 C. p，q D. 无法确定 3. 如果函数y,sin2x，a?cos2x的图像关于直线x,对称，那么a,_。 8A. B. , C. 1 D. ,1 22012n4. 满足C，1?C，2?C，n?C500的最大正整数是_。 nnnnA. 4 B. 5 C. 6