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1、第十三章 波与相对论 选修 3 344 第 1 节 机械振动 (1)简谐运动是匀变速运动。() (2)周期、频率是表征物体做简谐运动快慢程度的物理量。() (3)振幅等于振子运动轨迹的长度。() (4)简谐运动的回复力可以是恒力。() (5)弹簧振子每次经过平衡位置时，位移为零、动能最大。() (6)单摆在任何情况下的运动都是简谐运动。() (7)物体做受迫振动时，其振动频率与固有频率无关。() (8)简谐运动的图像描述的是振动质点的轨迹。() 突破点(一) 简谐运动 1动力学特征 Fkx，“”表示回复力的方向与位移方向相反，k 是比例系数，不一定是弹簧的劲 1 度系数。 2运动学特征 简谐运
2、动的加速度与物体偏离平衡位置的位移成正比而方向相反，为变加速运动，远离平 衡位置时，x、F、a、Ep均增大，v、Ek均减小，靠近平衡位置时则相反。 3运动的周期性特征 相隔 T 或 nT 的两个时刻，振子处于同一位置且振动状态相同。 4对称性特征 T 2n1T (1)相隔 或 (n 为正整数)的两个时刻，振子位置关于平衡位置对称，位移、速 2 2 度、加速度大小相等，方向相反。 (2)如图所示，振子经过关于平衡位置 O 对称的两点 P、P(OPOP)时，速度的大小、 动能、势能相等，相对于平衡位置的位移大小相等。 (3)振子由 P 到 O 所用时间等于由 O 到 P所用时间，即 tPOtOP。
3、 (4)振子往复过程中通过同一段路程(如 OP 段)所用时间相等，即 tOPtPO。 5能量特征 振动的能量包括动能 Ek和势能 Ep，简谐运动过程中，系统动能与势能相互转化，系统的 机械能守恒。 例 1 (2014浙江高考)一位游客在千岛湖边欲乘坐游船，当日风浪较大，游船上下浮 动。可把游船浮动简化成竖直方向的简谐运动，振幅为 20 cm，周期为 3.0 s。当船上升到最高 点时，甲板刚好与码头地面平齐。地面与甲板的高度差不超过 10 cm 时，游客能舒服地登船。 在一个周期内，游客能舒服登船的时间是( ) A0.5 s B0.75 s C1.0 s D1.5 s 解 析 由 于 振 幅 A
4、 为 20 cm， 振 动 方 程 为 y Asin t 2 (从游船位于平衡位置时开始计时， T ) ，由于高度差不超过 10 cm 时，游客能舒服登船， T 5T 代入数据可知，在一个振动周 期内，临界时刻为 t1 ，t2 ，所以在一个周期内能舒服登 12 12 T 船的时间为 tt2t1 1.0 s，选项 C 正确。 3 答案 C 例 2 多选(2015山东高考)如图，轻弹簧上端固定，下端连接一小 物 块，物块沿竖直方向做简谐运动。以竖直向上为正方向，物块简谐运动的表达式 为 2 y0.1sin(2.5t)m。t0 时刻，一小球从距物块 h 高处自由落下；t0.6 s 时，小球恰好与物
5、块处于同一高度。取重力加速度的大小 g10 m/s2。以下判断正确的是( ) Ah1.7 m B简谐运动的周期是 0.8 s C0.6 s 内物块运动的路程为 0.2 m Dt0.4 s 时，物块与小球运动方向相反 思路点拨 (1)由物块做简谐运动的表达式确定物块的振幅和振动周期。 (2)确定 0.6 s 时物块所在的位置。 (3)确定 0.6 s 时小球下落的高度与 h 的关系。 2 2 解析 由物块做简谐运动的表达式 y0.1sin(2.5t)m 知，2.5，T s 2.5 1 0.8 s，选项 B 正确；t0.6 s 时，y0.1 m，对小球：h|y| gt2，解得 h1.7 m，选 2
6、 项 A 正确；物块 0.6s 内运动的路程为 0.3 m，t0.4s 时，物块经过平衡位置向下运动，与小 球运动方向相同。故选项 C、D 错误。 答案 AB 方法规律 分析简谐运动的技巧 (1)分析简谐运动中各物理量的变化情况时，一定要以位移为桥梁，位移增大时，振动质 点的回复力、加速度、势能均增大，速度、动能均减小；反之，则产生相反的变化。另外，各 矢量均在其值为零时改变方向。 (2)分析过程中要特别注意简谐运动的周期性和对称性。 集训冲关 1弹簧振子在 AOB 之间做简谐运动，O 为平衡位置，测得 A、B 之间的距离是 8 cm，完成 30 次全振动所用时间为 60 s，则( ) A振子
7、的振动周期是 2 s，振幅是 8 cm B振子的振动频率是 2 Hz C振子完成一次全振动通过的路程是 32 cm D从振子通过任意点开始计时，2.5 s 内通过的路程可能大于 20 cm 解 析：选 D 振幅是离开平衡位置的最大距离，所以振幅为 A、B 之间的距离的一半，即 4 1 1 cm，故 A 错误；完成 30次全振动所用时间为 60 s，则周期为 2 s，频率为 f Hz，故 B T 2 错误；振子完成一次全振动通过的路程是 4 倍振幅，即 16 cm，故 C 错误；振子的周期为 2 1 1 s,2.5 s1 T，所以 2.5 s 内通过的路程可能为 1 4A5A54 cm20 cm
8、，也可能小于 20 4 4 cm，也可能大于 20 cm，具体的情况与开始时质点的位置有关，故 D 正确。 3 2多选某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为 x10sin( t )cm，则下列 3 关于该质点运动的说法中正确的是( ) A质点做简谐运动的振幅为 5 cm B质点做简谐运动的周期为 6 s C在 t1.5 s 时质点的速度最大 D在 t1.5 s 时质点的位移最大 解 析：选 BD 根据简谐运动的表达式 x10sin( t )cm，知质点的振幅为 10 cm，角速度 3 2 2 ，则周期为 T s6 s，故 A 错误，B正 确；将 t1.5 s 代入 x10sin( t )
9、 3 3 3 cm，可得位移 x10 cm，则知在 t1.5 s 时质点的位移最大，速度为零，故 C 错误，D 正确。 突破点(二) 简谐运动的图像 1对简谐运动图像的认识 (1)简谐运动的图像是一条正弦或余弦曲线，如图所示。 (2)图像反映的是位移随时间的变化规律，随时间的增加而延伸，不代表质点运动的轨迹。 2图像信息 (1)由图像可以得出质点做简谐运动的振幅、周期和频率。 (2)可以确定某时刻质点离开平衡位置的位移。 (3)可以确定某时刻质点回复力、加速度的方向：因回复力总是指向平衡位置，故回复力 和加速度的方向在图像上总是指向 t 轴。 (4)确定某时刻质点速度的方向：速度的方向可以通过
10、下一时刻位移的变化来判定，若下 一时刻位移增加，振动质点的速度方向就是远离 t 轴，若下一时刻位移减小，振动质点的速度 方向就是指向 t 轴。 (5)比较不同时刻回复力、加速度的大小。 (6)比较不同时刻质点的动能、势能的大小。 典例 (2017北京高考)某弹簧振子沿 x 轴的简谐运动图 像 如图所示，下列描述正确的是( ) At1 s 时，振子的速度为零，加速度为负的最大值 Bt2 s 时，振子的速度为负，加速度为正的最大值 Ct3 s 时，振子的速度为负的最大值，加速度为零 4 Dt4 s 时，振子的速度为正，加速度为负的最大值 审题指导 根据简谐运动的位移图像直接读出质点的位移与时间的关
11、系。当位移为零时， 质点的速度最大，加速度为零；当位移为最大值时，速度为零，加速度最大。加速度方向总是 与位移方向相反，位移为负值，加速度为正值。 kx 解析 t1 s 时，振子在正的最大位移处，振子的速度为零，由 a 知，加速度为 m kx 负的最大值，A 项正确；t2 s 时，振子位于平衡位置，由 a 知，加速度为零，B 项错误； m kx t3 s 时，振子在负的最大位移处，由 a 知，加速度为正的最大值，C 项错误；t4 s m kx 时，振子位于平衡位置，由 a 知，加速度为零，D 项错误。 m 答案 A 方法规律 (1)简谐运动图像中，任意时刻图线上某点切线的斜率表示该时刻质点的速
12、度；斜率的大 小表示速度的大小，斜率的正负反映速度的方向。 (2)振动质点的加速度的大小变化规律与质点的位移的大小变化规律相同，两者方向始终 相反。在振动图像中，根据位移的大小和方向比较加速度的大小比较直观。 集训冲关 1多选(2018盐城六校联考)如图所示为一质点的简谐运动图像。由图可知( ) A质点的运动轨迹为正弦曲线 Bt0 时，质点正通过平衡位置向正方向运动 Ct0.25 s 时，质点的速度方向与位移的正方向相同 D质点运动过程中，两端点间的距离为 0.1 m 解析：选 CD 简谐运动图像反映质点的位移随时间变化的情况，不是质点的运动轨迹， 故 A 错误；t0 时，质点离开平衡位置的位
13、移最大，速度为零，故 B 错误；根据图像的斜率 表示速度，则 t0.25 s 时，质点的速度为正值，则速度方向与位移的正方向相同，故 C 正确； 质点运动过程中，两端点间的距离等于 2 倍的振幅，为 s2A25 cm10 cm0.1 m，故 D 正确。 2多选(2018南通模拟)如图甲所示是演示简谐运动图像的装置，它由一根较长的细 线和较小的沙漏组成。当沙漏摆动时，漏斗的细沙均匀流出，同事匀速拉出沙漏正下方的木板， 漏出的细沙在板上会形成一条曲线，这条曲线可以理解为沙漏摆动的振动图像，图乙是同一个 沙漏分别在两块木板上形成的曲线(图中的虚线)，已知 P、Q 分别是木板上的两点，木板 1、2 5