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1、高考数学140分必读之把关题解析10讲（7）1403011 12005 (22)（本小题满分14分，第一小问满分4分，第二小问满分10分） 2已知aR,，函数. fxxxa()|,(?)当a,2fxx(),时，求使成立的的集合； x(?)求函数yfx,()12，在区间上的最小值. 2解：（?）由题意，. fxxx()2,2当x,2x,0x,1时，解得或； fxxxx()(2),2当x,2时，解得. fxxxx()(2),x,，12综上，所求解集为0112，. ,（?）设此最小值为. m32?当a,112，时，在区间上，. fxxax(),因为 22 ,x,(12)， fxxaxxxa()323
2、()0,3则fx()12，mfa,(1)1在区间上是增函数，所以. 2?当12,a12，fa()0,时，在区间上，由知 fxxxa()()0,mfa,()0. 23?当a,212，时，在区间上，fxaxx(),. 22 ,. fxaxxxax()233(),3若,a,3(12)，fx()0,fx()12，在区间内，从而为区间上的增函数， 由此得 mfa,(1)1. 2若23,a12,a，则. 322,1,xa1，afx()0,fx()时，从而为区间上的增函数； 3322 当,ax,22a，fx()0,fx()时，从而为区间上的减函数. 当33因此，当23,amfa,(1)1mfa,(2)4(2
3、)时，或. 7当2,a4(2)1aa,mfa,(2)4(2)时，故； 37当,a3aa,14(2)mfa,(1)1时，故. 3综上所述，所求函数的最小值 11,aa，当时；,0，当时；12,a,7 m, 4(2)2aa,，当时；3,7aa,1，当时,3,(23)（本小题满分14分，第一小问满分2分，第二、第三小问满分各6分） 设数列Saaa,1611，的前项和为，已知，且 an,n123n(58)(52)123nSnSAnBn,，,，,， nn，1其中AB，为常数. (?)求与的值； AB(?)证明：数列为等差数列； a,n(?)证明：不等式对任何正整数都成立. 51aaa,mn，mnmn（2
4、3）解：（?）由已知，得Saa,，,7Saaa,，,18Sa,1，. 112123123由(58)(52)nSnSAnB,，,，知 nn，1,，37SSAB，AB，,28，,21 即 ,2122SSAB,，248AB，,，32,解得 A,20B,8，. （?） 由（?），得 (58)(52)208nSnSn,，,， ? nn，1所以 (53)(57)2028nSnSn,，,. ? nn，21(53)(101)(52)20nSnSnS,，,， ? nnn，21所以 (52)(109)(57)20nSnSnS，,，,. ? nnn，321?-?，得 ?-?，得 (52)(156)(156)(52)
5、0nSnSnSnS，,，,，,. nnnn，321因为 aSS,， nnn，11所以 (52)(104)(52)0nanana，,，,. nnn，321又因为 520n，,， 所以 aaa,，,20， nnn，321即 n,1aaaa,，. nnnn，3221所以数列为等差数列. a,n由已知，得Sa,1， 11又580n,(58)(52)208nSnSn,，,，且， nn，1所以数列是唯一确定的，因而数列是唯一确定的. Sa,nnnn(53),设bn,54，则数列为等差数列，前项和. bnT,nnn2(1)(52)(53)nnnn，,于是 ， (58)(52)(58)(52)208nTnTn
6、nn,，,，,nn，122由唯一性得 ba,，即数列为等差数列. a,nnn（?）由（?）可知，ann,，,15(1)54. n要证 ， 51aaa,mnmn只要证 . 512aaaaa,，mnmnmn因为 amn,54aamnmnmn,，(54)(54)2520()16， mnmn故只要证 ， 5(54)12520()162mnmnmnaa,，,，mn即只要证 . 2020372mnaa，,mn因为 2558aaaamn,，,，,mnmn,，,，,558(151529)mnmn ,，,202037mn， 22005 所以命题得证. 21（本小题满分14分） 22xy已知椭圆，,1(a,b,0
7、)的左、右焦点分别是F（c，0）、F（c，0），Q是1222ab椭圆外的动点，满足点P是线段FQ与该椭圆的交点，点T在线段FQ上，并|FQ|,2a.121且满足 PT,TF,0,|TF|,0.22c （?）设|FP|,a，x为点P的横坐标，证明； x1a（?）求点T的轨迹C的方程； （?）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M， 2 使?FMF的面积S=若存在，求?FMFb.1212 的正切值；若不存在，请说明理由. 本小题主要考查平面向量的概率，椭圆的定义、标准方程和有关性质，轨迹的求法和应 用，以及综合运用数学知识解决问题的能力.满分14分. （?）证法一：设点P的坐标为 (x,y).由P(
8、x,y)在椭圆上，得 2b22222|FP|,(x，c)，y,(x，c)，b,x12a c2,(a，x).acc由x,a,知a，x,c，a,0|FP|,a，x.，所以 3分 1aa证法二：设点P的坐标为(x,y).记 |FP|,r,|FP|,r,11222222则r,(x，c)，y,r,(x，c)，y. 12c22由r，r,2a,r,r,4cx,得|FP|,r,a，x. 121211ac证法三：设点P的坐标为a，x,0.(x,y).椭圆的左准线方程为 a2cac|FP|c 由椭圆第二定义得，即 1|FP|,|x，|,|a，x|.1,2acaaa|x，|ccc 由x,a,知a，x,c，a,0|F
9、P|,a，x.，所以3分 1aa(x,y).当时，点（，0）和点（，0）在轨迹上. aa|PT|,0（?）解法一：设点T的坐标为当|时，由，得. PT|,0且|TF|,0|PT|,|TF|,0PT,TF222又，所以T为线段FQ的中点. |PQ|,|PF|221222在?QF|OT|,|FQ|,aF中，所以有 x，y,a.1212222综上所述，点T的轨迹C的方程是7分 x，y,a.解法二：设点T的坐标为 当时，点（，0）和点（，0）在轨迹上. (x,y).aa|PT|,0当|时，由，得. PT|,0且|TF|,0PT,TF,0PT,TF222又，所以T为线段FQ的中点. |PQ|,|PF|2
10、2,x，c,x, 设点Q的坐标为（,2x,y），则 ,y,y,.,2,x,2x,c, 因此 ? ,y,2y.,222 由,得 ? (x，c)，y,4a.|FQ|,2a1222 将?代入?，可得 x，y,a.222 综上所述，点T的轨迹C的方程是7分 x，y,a.2 （?）解法一：C上存在点M（）使S=的充要条件是 x,yb00222,xya，,00? , ,12cyb,2|,.0,2,? 22b2b 由?得|.y,，由?得 所以，当时，存在点M，使S=b； |y|,a,a00cc2b 当时，不存在满足条件的点M.11分 ,ac2b 当时， MF,(,c,x,y),MF,(c,x,y),a100
11、200c222222， MF,MF,x,c，y,a,c,b1200， MF,MF,|MF|,|MF|cos，FMF 由12121212 S,|MF|,|MF|sin，FMF,b，得tan，FMF,2. 12121222解法二：C上存在点M（）使S=的充要条件是 x,yb00222,xya，,00, ,12cyb,2|,.0? ,2,? 2422bbbb22 由?得|.y, 上式代入?得 x,a,(a,)(a，),0.002cccc22b 于是，当时，存在点M，使S=； b,ac2b 当时，不存在满足条件的点M.11分 ,ac2yyb 当00时，记， ,k,k,k,k,aFMFM1212cx，c
12、x,c00k,k 由|FF|,2a,，FMF,90:知，所以14分 12tan，FMF,|,2.1212121，kk1222（本小题满分12分） 函数,y,f(x)在区间（0，+?）内可导，导函数f(x)是减函数，且f(x),0. 设 是曲线y,f(x)在点（）得的切线方程，并设函数x,(0,，,),y,kx，mx,f(x)000g(x),kx，m. （?）用,、表示m； xf(x)f(x)000（?）证明：当； x,(0,，,)时,g(x),f(x)02323 （?）若关于的不等式x，1,ax，b,x在0,，,)上恒成立，其中a、b为实数， x2求b的取值范围及a与b所满足的关系. 本小题考
13、查导数概念的几何意义，函数极值、最值的判定以及灵活运用数形结合的思想判断函数之间的大小关系.考查学生的学习能力、抽象思维能力及综合运用数学基本关系解决问题的能力.满分12分 （?）解：,m,f(x),xf(x).2分 000（?）证明：令,h(x),g(x),f(x),则h(x),f(x),f(x),h(x),0. 00,递减，所以递增，因此，当； f(x)h(x)x,x时,h(x),00当,.所以是唯一的极值点，且是极小值点，可知的 h(x)h(x)x,x时,h(x),0x00最小值为0，因此即6分 h(x),0,g(x),f(x). 因为（?）解法一：0,b,1a,0，是不等式成立的必要条
14、件，以下讨论设此条件成立. 22 对任意成立的充要条件是 x,0,，,)x，1,ax，b,即x,ax，(1,b),012 a,2(1,b).233 另一方面，由于满足前述题设中关于函数的条件，利用（II）的结y,f(x)f(x),x22233果可知，3b3的充要条件是：过点（0，）与曲线相切的直线的斜率大于，aax，b,xy,x221,该切线的方程为2 y,(2b)x，b.1223 于是3的充要条件是10分 a,(2b).ax，b,x22323 综上，不等式对任意成立的充要条件是 x,0,，,)x，1,ax，b,x211,22 ? (2b),a,2(1,b).11,22 显然，存在a、b使?式
15、成立的充要条件是：不等式 ? (2b),2(1,b).2,22，2 有解、解不等式?得 ? ,b,.44因此，?式即为b的取值范围，?式即为实数在a与b所满足的关系.12分 （?）解法二：0,b,1,a,0是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立. 22 对任意x,0,，,)成立的充要条件是 x，1,ax，b,即x,ax，(1,b),012 8分 a,2(1,b).223333 令x,0,，,),，于是对任意成立的充要条件是 (x),ax，b,xax，b,x221,33 ,(x),0. 由 ,(x),a,x,0得x,a.,3,3,3 当,(x),0;,(x),00,x,a时当x,a时，所以，当x,a时，,(x)取最1,32小值.因此,(x),0成立的充要条件是，即10分 ,(a),0a,(2b).2323 综上，不等式x,0,，,)对任意成立的充要条件是 x，1,ax，b,x211,22 ? (2b),a,2(1,b).11,22 ? (2b),2(1,b)2,22，2 有解、解不等式?得 ,b,. 显然，存在a、b使?式成立的充要条件是：不等式44因此，?式即为b的取值范围，?式即为实数在a与b所满足的关系.12分