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1、 第二讲： 二次函数综合题考试要求中考第二轮复习 代数综合题内容要求中考分值考察类型二次函数 综合题会根据二次函数的解析式求其图象与坐标轴的交点坐标，会确定图象的顶点、开口方向和对称轴；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解7二次函数综合 方法策略1. 熟练掌握二次函数的有关知识点2. 掌握二次函数中的数形结合和转化的数学思想例题精讲【例1】（2015西城127）已知二次函数的图象经过，两点 （1）求对应的函数表达式； （2）将先向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到抛物线，将对应的函数表达式记为，求对应的函数表达式；（3）设，在（2）的条件下，如果在xa内存在某一个x的值，使得成立，
2、利用函数图象直接写出a的取值范围 解：（1） 二次函数的图象经过，两点， 1分 解得 2分 抛物线的函数表达式为 3分图7 （2） ， 抛物线的顶点为 4分 平移后抛物线的顶点为，它对应的函数表达式为 5分 （3）a（见图7）7分【例2】（2015延庆127）二次函数的图象经过点A（1，4），B（1，0），经过点B，且与二次函数交于点D过点D作DCx轴，垂足为点C（1）求二次函数的表达式；（2）点N是二次函数图象上一点（点N在BD上方），过N作NPx轴，垂足为点P，交BD于点M，求MN的最大值.解：（1）二次函数的图象经过点A（1，4），B（1，0） -2分m=-2,n=3二次函数的表达式为
3、（2）经过点B-4分-3分 画出图形-5分 -6分 -7分 MN的最大值为【例3】（2015朝阳127）如图，将抛物线M1: 向右平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线M2，直线与M1的一个交点记为A，与M2的一个交点记为B，点A的横坐标是3.（1）求的值及M2的表达式；（2）点C是线段AB上的一个动点，过点C作x轴的垂线，垂足为D，在CD的右侧作正方形CDEF.当点C的横坐标为2时，直线恰好经过正方形CDEF的顶点F，求此时的值；在点C的运动过程中，若直线与正方形CDEF始终没有公共点，求的取值范围（直接写出结果）.解：（1） 点A在直线，且点A的横坐标是3， A(3，3) . 1分把
4、A(3，3)代入，解得=1. 2分M1 : ，顶点为(2，4) .M2的顶点为(1，1) .M2的表达式为. 3分（2）由题意，C(2，2)，F(4，2) . 4分直线经过点F，2=4+.解得=2. 5分 3，6. 7分【例4】（2014门头沟123）27抛物线与轴交于点C(0，3)，其对称轴与轴交于点A(2，0)（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线适当平移，使平移后的抛物线的顶点为D(0，)已知点B(2，2)，若抛物线与OAB的边界总有两个公共点，请结合函数图象，求的取值范围解：（1）抛物线与轴交于点C(0，3)，； 1分抛物线的对称轴为，解得， 2分抛物线的解析式为 3分（2）由题意，抛
5、物线的解析式为 4分当抛物线经过点A(2，0)时，解得 5分O(0，0)，B(2，2)，直线OB的解析式为由，得，（*）当0，即时， 6分抛物线与直线OB只有一个公共点，此时方程（*）化为，解得，即公共点P的横坐标为1，点P在线段OB上的取值范围是 7分逆袭训练1.（2015丰台127）在平面直角坐标系中，抛物线经过点（-1，a ），（3，a），且最低点的纵坐标为.（1）求抛物线的表达式及a的值；（2）设抛物线顶点C关于y轴的对称点为点D，点P是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在点A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）.如果直线DP与图象G恰有两个公共点，结合函数图象，求点P纵坐标t的取值范
6、围.解：（1）抛物线过点（-1，a ），（3，a），抛物线的对称轴x=1. 1分抛物线最低点的纵坐标为-4 ，抛物线的顶点是（1，-4）. 2分抛物线的表达式是，即.3分把（-1，a ）代入抛物线表达式，求出. 4分（2）抛物线顶点关于y轴的对称点为点D， 求出直线的表达式为. . 5分求出直线的表达式为，当时，. 6分所以. 7分3.（2015海淀127）在平面直角坐标系xOy中，抛物线与轴交于点A，顶点为点B，点C与点A关于抛物线的对称轴对称（1）求直线BC的解析式；（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为4将抛物线在点A，D之间的部分（包含点A，D）记为图象G，若图象G向下平移（）个单位后
7、与直线BC只有一个公共点，求的取值范围 解：（1）抛物线与轴交于点A，点A的坐标为（0，2） 1分，抛物线的对称轴为直线，顶点B的坐标为（1，） 2分又点C与点A关于抛物线的对称轴对称， 点C的坐标为(2，2)，且点C在抛物线上设直线BC的解析式为直线BC经过点B（1，）和点C(2，2)， 解得直线BC的解析式为3分4. （2015石景山127）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点 （1）求抛物线的表达式及点的坐标；（2）当时的函数图象记为，求此时函数的取值范围；（3）在（2）的条件下，将图象在轴上方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象若经过点的直线与图象在第三象限内有两
8、个公共点，结合图象求的取值范围 解：（1）将代入，得抛物线的表达式为 1分点的坐标 2分（2）当时，随增大而减小； 当时，随增大而增大，当，； 3分当，的取值范围是4分（3）当直线经过和点时，解析式为. 5分当直线经过和点 时，解析式为. 6分结合图象可得，的取值范围是 .7分5.（2014通州127）二次函数的图象与一次函数k的图象交于、两点，为二次函数图象的顶点. （1）求二次函数的表达式；（2）在所给的平面直角坐标系中画出二次函数的图象和一次函数k的图象；x（3）把（1）中的二次函数的图象平移后得到新的二次函数的图象,.定义新函数f：“当自变量x任取一值时，x对应的函数值分别为或，如果，
9、函数f的函数值等于、中的较小值;如果=，函数f的函数值等于（或）.” 当新函数f的图象与x轴有三个交点时,直接写出m的取值范围.解：（1）设抛物线解析式为， 由抛物线过点，可得 .(2分)（2）如图：1 .(5分)（3）-4m0 .(7分)6.（2014门头沟227）在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点A（4，0）和B（0，2）（1）求该抛物线的表达式；（2）在（1）的条件下，如果该抛物线的顶点为C，点B关于抛物线对称轴对称的点为D，求直线CD的表达式；（3）在（2）的条件下，记该抛物线在点A，B之间的部分（含点A，B）为图象G，如果图象G向上平移m（m0）个单位后与直线CD只有一个公共点，
10、请结合函数的图象，直接写出m的取值范围解：（1） 抛物线经过点A（4，0）和B（0，2） 1分 解得 此抛物线的表达式为2分（2）， C（1，）3分 该抛物线的对称轴为直线x=1，B（0，2）， D（2，2）4分设直线CD的表达式为y=kx+b由题意得 解得 直线CD的表达式为5分（3）0.5m1.57分7.（2015昌平227）已知抛物线经过原点O及点A（-4，0）和点B（-6，3）（1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；（2）如图1，将直线沿y轴向下平移后与（1）中所求抛物线只有一个交点C，平移后的直线与y轴交于点D，求直线CD的解析式；（3）如图2，将（1）中所求抛物线向上平移4个单位得到新
11、抛物线，请直接写出新抛物线上到直线CD距离最短的点的坐标及该最短距离 解：（1） 抛物线经过， ，三点， 1分 解得 2分 抛物线的解析式为 抛物线的顶点坐标为 3分 （2）设直线CD的解析式为， 根据题意，得， 4分 化简整理，得， 由，解得， 5分直线CD的解析式为 （3）点的坐标为， 6分最短距离为 7分8.（2015海淀227）已知一次函数（k0）的图象经过，两点，二次函数（其中a2）（1）求一次函数的表达式及二次函数图象的顶点坐标（用含a的代数式表示）；（2）利用函数图象解决下列问题： 若，求当且0时，自变量x的取值范围；如果满足且0时的自变量x的取值范围内恰有一个整数，直接写出a的
12、取值范围解：（1） 一次函数（k0）的图象经过，两点， 解得 1分 2分 ， 二次函数图象的顶点坐标为 3分（2）当时， 4分 如图10，因为且0，由图象得2x4 6分 a7分图10课后练习1.（2015丰台227）在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过 ，两点.（1）求抛物线及直线AB的解析式；（2）点C在抛物线上，且点C的横坐标为3将抛物线在 点A，C之间的部分（包含点A，C）记为图象G，如果图象G沿y轴向上平移（）个单位后与直线 AB只有一个公共点，求的取值范围 解：（1）抛物线过，两点 .1分解得， 抛物线的表达式是.2分设直线AB的表达式是 ， ，解得， .3分直线AB的表达式是.4分
13、（2）点C在抛物线上，且点C的横坐标为3C（3，-5）.5分点C平移后的对应点为点代入直线表达式，解得.6分结合图象可知，符合题意的t的取值范围是 .7分2（2014西城123）抛物线与轴交于点，与轴交于点，其中点的坐标为.（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）将（1）中的抛物线沿对称轴向上平移，使其顶点落在线段上，记该抛物线为，求抛物线所对应的函数表达式；（3）将线段平移得到线段（的对应点为，的对应点为），使其经过（2）中所得抛物线的顶点，且与抛物线另有一个交点，求点到直线的距离的取值范围。3.（2014房山123）如图，抛物线经过、两点，与轴的另一交点是（1）求抛物线的解析式；（2）若点在
14、第一象限的抛物线上，求点关于直线的对称点的坐标；（3）在（2）的条件下，过点D作于点E,反比例函数的图象经过点E，点在此反比例函数图象上，求的值4.（2013海淀223）已知：抛物线过点（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线在直线下方的部分沿直线翻折，图象其余的部分保持不变，得到的新函数图象记为点在图象上，且求的取值范围；若点也在图象上，且满足恒成立，则的取值范围为 23解：（1）抛物线过点， 解得 抛物线的解析式为 -2分（2）当时，或.抛物线与轴交于点， .-3分当时，或抛物线与直线交于点, .,关于直线的对称点，.-4分根据图象可得0或-5分的取值范围为4或-7分5. （2013门头沟2
15、23） 在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过原点O， 点B(-2,n)在这条抛物线上.（1）求抛物线的解析式；（2）将直线沿y轴向下平移b个单位后得到直线l， 若直线l经过B点，求n、b的值；（3）在（2）的条件下，设抛物线的对称轴与x轴交于点C，直线l与y轴交于点D，且与抛物线的对称轴交于点E.若P是抛物线上一点，且PB=PE，求P点的坐标.xy11O解：（1）拋物线经过原点，m2-6m+8=0解得m1=2，m2=4 由题意知m4，m=21分拋物线的解析式为 2分（2）点B(-2,n)在拋物线上， n=33分B点的坐标为(2，3) 直线l的解析式为，直线l经过B点，4分（3）拋物线的对称轴为
16、直线x=2，直线l的解析式为y=-2x-1，拋物线的对称轴与x轴的交点C的坐标为(2,0)，直线l与y轴、直线x=2的交点坐标分别为 D(0,-1)、E(2,-5). 过点B作BG直线x=2于G，与y轴交于F.ABCODExyx=2GFH 则BG=4. 在RtBGC中，.CE=5， CB=CE. 过点E作EHy轴于H.则点H的坐标为 (0,-5).点F、D的坐标为F(0,3)、D(0,-1)，FD=DH=4，BF=EH=2，BFD=EHD=90.DFBDHE . DB=DE. PB=PE，点P在直线CD上.符合条件的点P是直线CD与该抛物线的交点.设直线CD的解析式为y=kx+a. 将D(0,
17、-1)、C(2,0)代入，得 解得 直线CD的解析式为. 5分设点P的坐标为(x，)，=. 解得 ，. ，.点P的坐标为(，)或(，).7分6.（2013海淀123）在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于、两点，点的坐标为（1）求点坐标；（2）直线经过点.求直线和抛物线的解析式； 点在抛物线上，过点作轴的垂线，垂足为将抛物线在直线上方的部分沿直线翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象请结合图象回答：当图象与直线只有两个公共点时，的取值范围是 解：（1）依题意，可得抛物线的对称轴为.1分抛物线与轴交于、两点，点的坐标为，点的坐标为 2分（2）点B在直线上，.点A在二次函数的图象上，. 3分由、可得，. 4分 抛物线的解析式为y，直线的解析式为y 5分（3） 7分