《2019版高考数学一轮总复习第八章立体几何题组训练56空间向量的应用二空间的角与距离第2课时理201.wps》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019版高考数学一轮总复习第八章立体几何题组训练56空间向量的应用二空间的角与距离第2课时理201.wps（10页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、题组训练 5757 空间向量的应用（二）空间的角与距离 第 2 2 课时 1在正方体 ABCDA1B1C1D1中，M 是 AB 的中点，则 sinDB1，CM的值等于( ) 1 A. B. 2 210 15 2 C. D. 3 11 15 答案 B 解析 分别以 DA，DC，DD1为 x，y，z 轴建系， 令 AD1， 1 DB1(1，1，1)，CM(1， ，0) 2 1 1 2 15 cosDB1，CM . 5 15 3 2 210 sinDB1，CM . 15 2已知直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，底面 ABCD 为正方形，AA12AB，E 为 AA1的中点，则异面 直线 BE 与
2、CD1所成角的余弦值为( ) 10 1 A. B. 10 5 3 10 3 C. D. 10 5 答案 C 解析 如图，以 D 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系 设 AA12AB2，则 B(1，1，0)，E(1，0，1)，C(0，1，0)，D1(0，0，2) BE(0，1，1)，CD1(0，1，2) 12 3 10 cosBE，CD1 . 2 5 10 3若直线 l 的方向向量与平面 的法向量的夹角等于 120，则直线 l 与平面 所成的角等 于( ) A120 B60 C30 D150 答案 C 1 1 解析 设直线 l 与平面 所成的角为 ，则 sin|cos120| ，又 090.
3、2 30. 4(2018天津模拟)已知长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC4，CC12，则直线BC1与平面DBB1D1 所成角的正弦值为( ) 3 5 A. B. 2 2 10 C. D. 5 10 10 答案 C 解析 由题意，连接 A1C1，交 B1D1于点 O，连接 BO.在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABBC 4，C1OB1D1.易得 C1O平面 DBB1D1，C1BO即为直线 BC1与平面 DBB1D1所成的角 10 在 RtOBC1中，OC12 2，BC12 5，直线 BC1与平面 DBB1D1所成角的正弦值为 ，故选 C. 5 5.(2018辽宁沈阳和平区模拟)如图
4、，在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，AB2，BB1 4，则直线 BB1与平面 ACD1所成角的正弦值为( ) 1 A. B. 3 3 3 6 2 2 C. D. 3 3 答案 A 解析 如图所示，建立空间直角坐标系 则 A(2，0，0)，C(0，2，0)，D1(0，0，4)，B(2，2，0)，B1(2，2，4)，AC( 2，2，0)，AD1(2，0，4)，BB1(0，0，4) n nAC0， 设平面 ACD1的法向量为 n n(x，y，z)，则0，) n nAD1 2x2y0， 即2x4z0，)取 x2，则 y2，z1，故 n n(2，2，1)是平面 ACD1的一个法向量 |n nBB1
5、| 4 1 设直线 BB1与平面 ACD1所成的角是，则 sin|cosn n，BB1| . |n n|BB1| 9 4 3 故选 A. 6若正三棱柱 ABCA1B1C1的所有棱长都相等，D 是 A1C1的中点，则直线 AD与平面 B1DC 所成 角的正弦值为( ) 2 3 4 A. B. 5 5 3 C. D. 4 5 5 答案 B 解析 间接法：由正三棱柱的所有棱长都相等，依据题设条件，可知B1D平面ACD，B1DDC， 故B1DC 为直角三角形 5 3 5 1 3 5 15 设棱长为 1，则有 AD ，B1D ，DC ，SB1DC . 2 2 2 2 2 2 8 设 A 到平面 B1DC
6、 的距离为 h，则有 VAB1DCVB1ADC， 1 1 hSB1DC B1DSADC. 3 3 1 15 1 3 1 2 h ，h . 3 8 3 2 2 5 h 4 设直线 AD 与平面 B1DC所成的角为 ，则 sin . AD 5 向量法： 如图，取 AC 的中点为坐标原点，建立空间直角坐标系 设各棱长为 2， 则有 A(0，1，0)，D(0，0，2)，C(0，1，0)，B1( 3，0，2) 设 n n(x，y，z)为平面 B1CD 的法向量， n nCD0， y2z0， 则有 n n(0，2，1) 0)3xy2z0) n nCB1 ADn n 4 sinAD，n n . 5 |AD|
7、n n| 7(2018山东师大附中模拟，理)如图，在四棱锥 PABCD中，PA平面 10 ABCD，ABCD，ADCD ，AB 10，PA 6，DAAB，点 Q 在 PB 上，且 2 满足 PQQB13，则直线 CQ与平面 PAC 所成角的正弦值为_ 答案 130 52 解析 方法一：如图，过点 Q 作 QHCB 交 PC 于点 H. DAAB，DCAB，在 RtADC 中，AC AD2CD2 5. PA平面 ABCD，在 RtPAC中，PC PA2AC2 11. 3 10 取 AB 的中点 M，连接 CM，DCAB，CMAD ， 2 在 RtCMB 中，CB CM2MB2 5， 又 PB2P
8、A2AB216，PC2CB2PB2，CBPC. QHBC，QHPC. PACB，PAQH. 由可得，QH平面 PAC，QCH是直线 CQ与平面 PAC 所成的角 1 5 3 3 11 26 QH 130 QH BC ，HC PC ，CQ QH2HC2 ，sinQCH . 4 4 4 4 2 CQ 52 方法二：以 A 为坐标原点，AD，AB，AP所在的直线分别为 x，y，z 轴建立如图所示的空间直 10 10 角坐标系，则 A(0，0，0)，P(0，0， 6)，C( ， ，0)，B(0，10，0)， 2 2 1 10 3 6 PQ PB，Q(0， ， )，可知平面 PAC的一个法向量为 m m
9、(1，1，0)，又 CQ( 4 4 4 10 10 3 6 ， ， )， 2 4 4 |m mCQ| 130 130 |cosm m，CQ| ，故直线 CQ 与平面 PAC所成角的正弦值为 . 52 52 |m m|CQ| 8(2018上海八校联考)如图所示为一名曰“堑堵”的几何体，已知 AE 底面 BCFE，DFAE，DFAE1，CE 7，四边形 ABCD是正方形 (1)九章算术中将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，判断四面体 EABC是否为鳖臑，若是，写出其每一个面的直角，并证明；若不是，请说明 理由 (2)记 AB与平面 AEC 所成的角为 ，求 cos2 的值 1 答案 (1)略
10、(2) 7 解析 (1)AE底面 BCFE，EC，EB，BC都在底面 BCFE 上，AEEC，AEEB，AEBC.四 边形 ABCD 是正方形，BCAB，BC平面 ABE.又BE 平面 ABE，BCBE，四面体 EABC 是鳖臑，AEB，AEC，CBE，ABC 为直角 (2)AE1，CE 7，AEEC， AC2 2，又 ABCD 为正方形 BC2，BE 3. 作 BOEC 于 O，则 BO平面 AEC，连接 OA，则 OA 为 AB在面 AEC 上的射影BAO，由 等面积法得 BEBCECOB. 32 OB 21 1 OB ，sin ，cos212sin2 . 7 AB 7 7 4 提示 本题
11、也可用向量法求解 9.(2016课标全国 ，理)如图，四棱锥 PABCD中，PA底面 ABCD，AD BC，ABADAC3，PABC4，M 为线段 AD上一点，AM2MD，N 为 PC 的中点 (1)证明：MN平面 PAB； (2)求直线 AN与平面 PMN 所成角的正弦值 8 5 答案 (1)略 (2) 25 2 解析 (1)由已知得 AM AD2. 3 取 BP 的中点 T，连接 AT，TN. 1 由 N 为 PC 的中点知 TNBC，TN BC2. 2 又 ADBC，故 TN綊 AM，所以四边形 AMNT为平行四边形，于是 MNAT. 因为 AT 平面 PAB，MN 平面 PAB，所以
12、MN平面 PAB. BC (2)取 BC的中点E，连 接AE.由 ABAC 得AEBC，从而AEAD，且AE AB2BE2 AB2（ ）2 2 5. 以 A 为坐标原点，AE 的方向为x 轴正方向建，立如图所示的空间直角坐标系Axyz.由题意知P，(0， 5 5 0，4)，M(0，2，0)，C( 5，2，0)，N( ，1，2)，PM(0，2，4)，PN( ，1，2)，AN 2 2 5 ( ，1，2) 2 2y4z0， n nPM0， 设 n n(x，y，z)为平面 PMN 的法向量，则0，)即 5 xy2z0，) n nPN 2 可取 n n(0，2，1) |n nAN| 8 5 于是|cosn n，AN| . 25 |n n|AN| 5