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1、北京市西城区 20182018 届高三数学 5 5 月模拟测试（二模）试题 理 第 卷（选择题 共 40分） 一、 选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40分在每小题列出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项 1若集合 A x | 0 x 1， B x | x2 2x 0，则下列结论中正确的是 （A） A B （B） A B R （C） A B （D） B A 2若复数 z 满足 (1 i) z 1 ，则 z （A） 1 i （B） 2 2 1 i （C） 2 2 1 i （D） 2 2 1 i 2 2 3下列函数中，既是偶函数又在区间 (0,1) 上单调递减的是 （A） y 1
2、（B） y x2 （C） y 2|x| （D） y cos x x 4某正四棱锥的正（主）视图和俯视图如图所示，该正四棱锥的 侧面积是 （A）12 （B） 4 10 （C）12 2 （D）8 5 5向量 a,b,c 在正方形网格中的位置如图所示若向量 a b 与 c 共线，则实数 （A） 2 （B） 1 （C）1 （D） 2 6已知点 A(0,0) ， B(2,0) 若椭圆W x y 2 2 : 1 上存在点C ，使得 ABC 为等边三角形， 2 m 则椭圆 W 的离心率是 （A） 1 2 （B） 2 2 （C） 6 3 （D） 3 2 7函数 f (x) 1 x2 a “则 a 0 ”“是
3、0 1,1 x ，使 f (x ) 0”的 0 1 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 8在直角坐标系 xOy 中，对于点 (x, y) ，定义变换 ：将点 (x, y) 变换为点 (a,b) ，使得 x tan a, y tanb, 其中 a,b( , ) 这样变 2 2 换 就将坐标系 xOy 内的曲线变换为坐标系 aOb 内的曲线 则四个函数 y x x ， 2 1 2 ( 0) y2 x (x 0) ， y x x ， 3 e ( 0) y x x 在坐标系 xOy 内的图象，变换为坐标系 aOb 内 4 ln ( 1) 的四
4、条曲线（如图）依次是 （A）， （B）， （C）， （D）， 第 卷（非选择题 共 110分） 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 x 2 cos, 9已知圆C 的参数方程为 y sin （ 为参数），则圆C 的面积为_；圆心C 到直线 l : 3x 4y 0 的距离为_ 10 (x2 1)4 的展开式中 x2 的系数是_ x 11在 ABC 中， a 3 ，b 2 ， A ，则 cos 2B _ 3 a 的前 n项和为 a ， S S ，则数列 a 的通项公式可以是_ 12设等差数列 S 若 1 1 n n 2 3 n 2 x 1, 13设不等式组 x y 3, 2
5、x y 5 表示的平面区域为 D 若直线 ax y 0 上存在区域 D 上的点，则 实数 a 的取值范围是_ 14地铁某换乘站设有编号为 A，B，C，D，E 的五个安全出口若同时开放其中的两个安全出 口，疏散 1000 名乘客所需的时间如下： 安全出口编号 A，B B，C C，D D，E A，E 疏散乘客时间（s） 120 220 160 140 200 则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是_ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 15（本小题满分 13分） 已知函数 f (x) (1 tan x) sin 2x （ ）求 f (x) 的定义
6、域； （ ）若 (0,) ，且 f () 2，求 的值 16（本小题满分 14分） 如图，梯形 ABCD 所在的平面与等腰梯形 ABEF 所在的平面互相垂直， AB /CD / EF ， AB AD CD DA AF FE 2 ， AB 4 （ ）求证： DF / 平面 BCE ； （ ）求二面角C BF A 的余弦值； （）线段CE 上是否存在点G ，使得 AG 平面 BCF ？ 请说明理由 3 17（本小题满分 13分） 在某地区，某项职业的从业者共约 8.5 万人，其中约 3.4 万人患有某种职业病为了解这 种职业病与某项身体指标（检测值为不超过 6 的正整数）间的关系，依据是否患有职业
7、病，使 用分层抽样的方法随机抽取了 100 名从业者，记录他们该项身体指标的检测值，整理得到如下 统计图： （ ）求样本中患病者的人数和图中 a，b 的值； （ ）在该指标检测值为 4 的样本中随机选取 2 人，求这 2 人中有患病者的概率； （III）某研究机构提出，可以选取常数 0 0.5 ( * ) X n nN ，若一名从业者该项身体指标检 测值大于X ，则判断其患有这种职业病；若检测值小于 0 X ，则判断其未患有这种职业 0 病从样本中随机选择一名从业者，按照这种方式判断其是否患有职业病写出使得判 断错误的概率最小的X 的值及相应的概率（只需写出结论） 0 18（本小题满分 14分
8、） 已知直线l : y kx 1 与抛物线C : y2 4x 相切于点 P （ ）求直线l 的方程及点 P 的坐标； （ ）设Q 在抛物线C 上， A 为 PQ 的中点过 A 作 y 轴的垂线，分别交抛物线C 和直线l 于 M ， N 记 PMN 的面积为 S ，QAM 的面积为 1 S ，证明： S S 2 1 2 4 19（本小题满分 13分） 已知函数 ln x f (x) ax ，曲线 y f (x) 在 x 1 处的切线经过点 (2,1) x （ ）求实数 a 的值； 1 （ ）设b 1，求 f (x) 在区间 ,b b 上的最大值和最小值 20（本小题满分 13分） 数 列A ： n a a a n 的 各 项 均 为 整 数 ， 满 足 ： a 1 (i 1, 2,n) ， 且 1, 2 , , n ( 2) i a a a a a n n n ，其中 1 2 2 2 3 2 1 2 0 1 2 3 n n a 1 0 （ ）若 n 3，写出所有满足条件的数列A ； 3 （ ）求 a 的值； 1 （）证明： 1 2 n 0 a a a 5