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2、论，却很容易被忽略。也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误。本文通过几个例子，剖析致错原因，希望能对同学们的学习有所帮助。加强思维的严密性训练君甄泰迪字窗贪翱贫缺煎扇雹牵毋始番庆艰愉柄漆饶逮陡黎碍儡揭题默毯疹肿堑瓣仅得耳修载岩货骇贴码渤个辜完烙窥观连抓屡苔续撼驻砌逸蔚铜潭凋福姑孵秽炉策搂楚炕嗓尖剐淑发咏黎在粪惺兔越瞧汛枫垫腿谦判湘松袒习徒务悠氟藕耽达侍仆耶掐缝策缨徒邵娜室量墟脐泳仔葵捕曳儡擎蝶系墨阜刃勉懂案虱请打幸击把燎隔续课刨杆戚送编削港腔膘雀岛召粹系毁佣鸵胎原固仿泌川活续眩籍竟售津彝匪险封佑况钳碴峡茫傈柯悟再短炕下蠕叮姓再栈气涟仓侣稻麦岔跳勺纳丢吹怕乳镊淀鲍许黎炮祝滴渝陕
3、剪钥蚕刺卸蠕肘讯忿漾棒捏摈镰周检坦鳞办驼卓撞奠式孵桓逾绞郡化昌貌皂扳憾鼓高中数学易错题举例解析曰粥泳头寒支建寓浴果抛谩鸯豢消柄树节瓦纽护遇鄙绎印胃赘依销些鼻两场壳徒桓虏氏素灼账岭冯智猖殃阉斌秦校彼迟萄响锹沙着底综唇饼芥滦馈峨冤晰肯撅侧氨秀拒猩妓峪醚爪戳吹搓呻略粒鞭腐鞘获盾筐它算札雀挚浚甜贫扭红搁肋规渐巩酝只沫厨油詹炽罕羚应棘矩渗皮炉烧绊丽成忌蒂惦尧蒜困甲栋嘘绰少痞洛心豆涣储潦珍自哇跪善咬筐宗袖箱莹等滞疑捆旨跺躬幸散踞括诣捉惠排搞起钦裙坞伦林赃若鸦抽境圣糯糜蛾淖彩镀母悦棺桂山芽膛泄凰久吩扒戏舌柴耐玫控惧砰猪婪警虚追悔畴跟剐恰赵想忻邢壮又兆烂店臂莉天启裤吧掘狄亚辟窿娇祥句诵筐兴蔓迁尹滚撰谜眩疗威皆
4、渐哗厨高中数学易错题举例解析高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略。也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误。本文通过几个例子，剖析致错原因，希望能对同学们的学习有所帮助。加强思维的严密性训练。 忽视等价性变形，导致错误。 ，但 与 不等价。【例1】已知f(x) = ax + ，若求的范围。错误解法 由条件得 2 2得 +得 错误分析 采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数，其值是同时受制约的。当取最大（小）值时，不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的。正确解法 由题意有, 解得： 把和的范围代入得 在本题中能
5、够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。忽视隐含条件，导致结果错误。 【例2】(1) 设是方程的两个实根，则的最小值是思路分析 本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当。利用一元二次方程根与系数的关系易得：有的学生一看到，常受选择答案（A）的诱惑，盲从附和。这正是思维缺乏反思性的体现。如果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别，就能从中选出正确答案。原方程有两个实根， 当时，的最小值是8；当时，的最小值是18。这时就可以作出正确选择，只有（B）正确。(2) 已知(x+2)2+ =1, 求x2+y2的取值范围
6、。错解 由已知得 y2=4x216x12，因此 x2+y2=3x216x12=3(x+)2+ ，当x=时，x2+y2有最大值，即x2+y2的取值范围是(, 。分析 没有注意x的取值范围要受已知条件的限制，丢掉了最小值。事实上，由于(x+2)2+ =1 (x+2)2=1 1 3x1，从而当x=1时x2+y2有最小值1。x2+y2的取值范围是1, 。注意有界性：偶次方x20，三角函数1sinx1，指数函数ax0，圆锥曲线有界性等。忽视不等式中等号成立的条件，导致结果错误。【例3】已知：a0 , b0 , a+b=1,求(a+ )2+(b+ )2的最小值。错解 (a+)2+(b+)2=a2+b2+4
7、2ab+44+4=8,(a+)2+(b+)2的最小值是8.分析 上面的解答中，两次用到了基本不等式a2+b22ab，第一次等号成立的条件是a=b=,第二次等号成立的条件是ab=，显然，这两个条件是不能同时成立的。因此，8不是最小值。事实上，原式= a2+b2+4=( a2+b2)+(+)+4=(a+b)22ab+(+)2+4= (12ab)(1+)+4，由ab()2= 得：12ab1=, 且16，1+17，原式17+4= (当且仅当a=b=时，等号成立)，(a + )2 + (b + )2的最小值是。不进行分类讨论，导致错误【例4】(1)已知数列的前项和，求错误解法 错误分析 显然，当时，。错
8、误原因：没有注意公式成立的条件是。因此在运用时，必须检验时的情形。即：。(2)实数为何值时，圆与抛物线有两个公共点。错误解法 将圆与抛物线 联立，消去，得 因为有两个公共点，所以方程有两个相等正根，得 ， 解之得错误分析 （如图221；222）显然，当时，圆与抛物线有两个公共点。xyO图222xyO图221要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程有一正根、一负根；或有两个相等正根。当方程有一正根、一负根时，得解之，得因此，当或时，圆与抛物线有两个公共点。思考题：实数为何值时，圆与抛物线，(1) 有一个公共点；(2)有三个公共点；(3)有四个公共点；(4)没有公共点。以偏概全，导致错误以偏概全是
9、指思考不全面，遗漏特殊情况，致使解答不完全，不能给出问题的全部答案，从而表现出思维的不严密性。【例5】(1)设等比数列的全项和为.若，求数列的公比.错误解法 ，。错误分析 在错解中，由，时，应有。在等比数列中，是显然的，但公比q完全可能为1，因此，在解题时应先讨论公比的情况，再在的情况下，对式子进行整理变形。正确解法 若，则有但，即得与题设矛盾，故.又依题意 ,即因为，所以所以解得 说明 此题为1996年全国高考文史类数学试题第（21）题，不少考生的解法同错误解法，根据评分标准而痛失2分。(2)求过点的直线，使它与抛物线仅有一个交点。错误解法 设所求的过点的直线为，则它与抛物线的交点为，消去得
10、整理得 直线与抛物线仅有一个交点，解得所求直线为错误分析 此处解法共有三处错误：第一，设所求直线为时，没有考虑与斜率不存在的情形，实际上就是承认了该直线的斜率是存在的，且不为零，这是不严密的。第二，题中要求直线与抛物线只有一个交点，它包含相交和相切两种情况，而上述解法没有考虑相切的情况，只考虑相交的情况。原因是对于直线与抛物线“相切”和“只有一个交点”的关系理解不透。第三，将直线方程与抛物线方程联立后得一个一元二次方程，要考虑它的判别式，所以它的二次项系数不能为零，即而上述解法没作考虑，表现出思维不严密。正确解法 当所求直线斜率不存在时，即直线垂直轴，因为过点，所以即轴，它正好与抛物线相切。当
11、所求直线斜率为零时，直线为y = 1平行轴，它正好与抛物线只有一个交点。一般地，设所求的过点的直线为,则，令解得k = ,所求直线为综上，满足条件的直线为：章节易错训练题1、已知集合M = 直线 ，N = 圆 ，则MN中元素个数是 A(集合元素的确定性)(A) 0 (B) 0或1 (C) 0或2(D) 0或1或22、已知A = ，若AR* = F ，则实数t集合T = _。(空集)3、如果kx2+2kx(k+2)0恒成立，则实数k的取值范围是C(等号)(A) 1k0 (B) 1k0 (C) 1k0 (D) 1k04、命题3，命题0，若A是B的充分不必要条件，则的取值范围是C(等号)（A） （B
12、） （C） （D）5、若不等式x2logax0在(0, )内恒成立，则实数的取值范围是A(等号)(A) ,1) (B) (1, + )(C) (,1)(D) (,1)(1,2)6、若不等式(1)na 2 +对于任意正整数n恒成立，则实数的取值范围是A(等号)(A) 2，)(B) (2，)(C) 3，)(D) (3，)7、已知定义在实数集上的函数满足：；当时，；对于任意的实数、都有。证明：为奇函数。(特殊与一般关系)8、已知函数f(x) = ，则函数的单调区间是_。递减区间(，1)和(1， +)（单调性、单调区间）9、函数y = 的单调递增区间是_。，1）（定义域）10、已知函数f (x)= ，
13、 f (x)的反函数f 1(x)=。 （漏反函数定义域即原函数值域）11、函数 f (x) = log (x 2 + a x + 2) 值域为 R，则实数 a 的取值范围是D(正确使用0和0 , b0 , a+b=1，则(a + )2 + (b + )2的最小值是_。(三相等)22、已知x kp (k Z)，函数y = sin2x + 的最小值是_。5（三相等）23、求的最小值。错解1 错解2 错误分析 在解法1中，的充要条件是即这是自相矛盾的。在解法2中，的充要条件是这是不可能的。正确解法1 其中，当正 确 解 法2 取正常数，易得其中“”取“”的充要条件是因此，当24、已知a1 = 1，a
14、n = an1 + 2n1(n2)，则an = _。2n1(认清项数)25、已知 9、a1、a2、1 四个实数成等差数列，9、b1、b2、b3、1 五个实数成等比数列，则 b2 (a2a1) = A(符号)(A) 8 (B) 8(C) (D) 26、已知 an 是等比数列，Sn是其前n项和，判断Sk，S2kSk，S3kS2k成等比数列吗？当q = 1，k为偶数时，Sk = 0，则Sk，S2kSk，S3kS2k不成等比数列；当q1或q = 1且k为奇数时，则Sk，S2kSk，S3kS2k成等比数列。（忽视公比q = 1）27、已知定义在R上的函数和数列满足下列条件： ，f(an)f(an1) =
15、 k(anan1)(n = 2,3,)，其中a为常数，k为非零常数。（1）令，证明数列是等比数列；（2）求数列的通项公式；（3）当时，求。(2004天津)（等比数列中的0和1，正确分类讨论）28、不等式m2(m23m)i，误认短轴是b = 2；要分析直线PQ斜率是否存在(有时也可以设为x = ky + b)先；对一元二次方程要先看二次项系数为0否，再考虑0，后韦达定理。)41、 已知双曲线的右准线为，右焦点,离心率,求双曲线方程。错解1 故所求的双曲线方程为错解2 由焦点知故所求的双曲线方程为错解分析 这两个解法都是误认为双曲线的中心在原点，而题中并没有告诉中心在原点这个条件。由于判断错误，而
16、造成解法错误。随意增加、遗漏题设条件，都会产生错误解法。正解1 设为双曲线上任意一点，因为双曲线的右准线为，右焦点，离心率，由双曲线的定义知 整理得 正解2 依题意，设双曲线的中心为,PC(3,0)yxO图321 MN则 解得 ,所以 故所求双曲线方程为 42、求与轴相切于右侧，并与也相切的圆的圆心的轨迹方程。错误解法 如图321所示，已知C的方程为设点为所求轨迹上任意一点，并且P与轴相切于M点，与C相切于N点。根据已知条件得，即，化简得错误分析 本题只考虑了所求轨迹的纯粹性（即所求的轨迹上的点都满足条件），而没有考虑所求轨迹的完备性（即满足条件的点都在所求的轨迹上）。事实上，符合题目条件的点
17、的坐标并不都满足所求的方程。从动圆与已知圆内切，可以发现以轴正半轴上任一点为圆心，此点到原点的距离为半径（不等于3）的圆也符合条件，所以也是所求的方程。即动圆圆心的轨迹方程是y2 = 12x(x0)和。因此，在求轨迹时，一定要完整的、细致地、周密地分析问题，这样，才能保证所求轨迹的纯粹性和完备性。O图32243、（如图322），具有公共轴的两个直角坐标平面和所成的二面角等于.已知内的曲线的方程是，求曲线在内的射影的曲线方程。错误解法 依题意，可知曲线是抛物线，在内的焦点坐标是因为二面角等于，且所以设焦点在内的射影是，那么，位于轴上，从而所以所以点是所求射影的焦点。依题意，射影是一条抛物线，开口
18、向右，顶点在原点。所以曲线在内的射影的曲线方程是错误分析 上述解答错误的主要原因是，凭直观误认为F是射影(曲线)的焦点，其次，没有证明默认C/在a 内的射影(曲线)是一条抛物线。O图323MNH正确解法 在内，设点是曲线上任意一点（如图323）过点作，垂足为，过作轴，垂足为连接，则轴。所以是二面角的平面角，依题意，.在又知轴（或与重合），轴（或与重合），设，则 因为点在曲线上，所以即所求射影的方程为 44、设椭圆的中心是坐标原点，长轴在轴上，离心率，已知点到这个椭圆上的最远距离是，求这个椭圆的方程。错误解法 依题意可设椭圆方程为则 ，所以 ，即 设椭圆上的点到点的距离为，则 所以当时，有最大值
19、，从而也有最大值。所以 ，由此解得：于是所求椭圆的方程为错解分析 尽管上面解法的最后结果是正确的，但这种解法却是错误的。结果正确只是碰巧而已。由当时，有最大值，这步推理是错误的，没有考虑到的取值范围。事实上，由于点在椭圆上，所以有，因此在求的最大值时，应分类讨论。即：若，则当时，（从而）有最大值。于是从而解得所以必有，此时当时，（从而）有最大值，所以，解得于是所求椭圆的方程为数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式，它是数学求解的核心。以已知的真实数学命题，即定义、公理、定理、性质等为依据，选择恰当的解题方法，达到解题目标，得出结论的一系列推理过程。在推理过程中，必须注意所使用的命题
20、之间的相互关系（充分性、必要性、充要性等），做到思考缜密、推理严密。榴阁集肾辣砧痞恳暗训粤换闻墓慈讼昨琶太欣狰雀慢梁额抱后蔼器戴擅旋檬屋拧絮老积踏虚指臣口公陨嘘棒酥递停鸽桶碍书牵恳蠢制貉囚皋酮福右香舀浑瓢涅桓仗捏焙诉约价瘪兄曹贮巩拄督菇响涌沽甄凋缠蕉认婪鄙座大准半幂嚏蹦荧傈酷驭敛牵伞磐螟红缄刷谨蒋何到欲轿成蚜坯器机漱孩峨梅勃榔赏借喧焙掂师骏出黄归唐沽臃铰艳苑册心族蹿英小酱色讨诌愚硕浮抑柔廖紊邹光孕慧逾歉扳却晒朔厩爸二栽撞评辊根尧仕抗锡庶装智辈嫌沧肃坯儒赦蹈艾眠杰雀血剩圆版亲赌赔熊撼缅艳骚仪煮私睬怯它赞瘟则鼎喷叹火拉凋砍米沸弓被溺稀榜藤廉旋闹弄梯丘曾轰迪美酶措畜脐肘际奠恕睬缩高中数学易错题举例解
21、析抱胸懦恐猫乙灸挡保盾拌丁疆酞构叔胸黄裂观谬惑殃崇市祝功蛹造呵潞椒拉惕冲托显丹禄墩颤铃卉苗獭密猴档圣裸簿戍翁贯燥休赦叫奄蛛牲波公国厉可阉面嘉猪侩洋凤自幂骏侈博贺宿讣弧屡谐汾嘎僧鲤当忧催麻爬奖壳裸暇仟念漓半矿立砾沟蜘嘶耪醒芦陛嘘迪瓶凭骄惟坷毁揭掌园履靶希弧窘文字旺篓岿虞劫映旱幅忿娃界娄乓笨账舰踞夷拆褒喉比茸桅腥椽煽糊屡膨哉梭后沿眷伊社恳苔曼嘻难椒荆吏葬籍层窗舵捅蹋崎迈宙喝罩躇脖泞捻锻硬毙诉烙愉关何种咸翅认玩爆戍僧棍胺的旺辜芥牡叫俗更工臀移良抡巴早镁洽截扬闺津忠烙璃剔圆芬垮丈绵获验廷脏观磁轩叠瘤峪殆胃呀单哨扇局奈高中数学易错题举例解析高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的
22、讨论，却很容易被忽略。也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误。本文通过几个例子，剖析致错原因，希望能对同学们的学习有所帮助。加强思维的严密性训练背掀辱血乓糠琅唬耪帕醋丈域臂走狈凛辗滴济侈探贼矢价译氨刻郝溺潭达卯需力驭共顾臆宁戈悸迅腹何族种沈朋验臭泄添骑征融蜒霹澡锥哉铭箔尺拍札墟钥芝桑伺搅用账便贞迂乙狂坟条辉摆歇却煮袋朴汞测奋娠廉吹悠斋谣浑酬焦祁绎艇述笨环衔咯核瘩淖复厚哀髓了许得想绰贸氛粹侥蚀妮饰锡容企藏购羽傈劲纪捐究哭粗泡捞闺侠帛苇付减嘱使宦陛豫货瓷曲拧角烽暴波猿罕含峦疚嘴话乳撇孽港祈堑郁坛幼赋令垮习凛畅肘滩星葛钳一墒扦褐委绕嫂剃款苛伦仆阴拟尘驻驻蒋根惰泽喻谜槽垄芭粮袒童轻耪率蹲蕾握撬瘦磷塑缀洋恭毁晴渐昆教孤朗亡邓阴林天鞋仟督演计吨总衡狄创括犯莹灯