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1、三角函数与解三角形命题规律与备考策略 “三角函数与解三角形”专题包括三角函数、三角恒等变换和解三角形三部分内容.通过对近几年全国各省市高考试题分析可以发现，不论文理，本模块的内容都是考查的热点和重点.其中三角函数定义以及三角恒等变换部分主要考查运算和推理能力，尤其这里的二倍角公式以及辅助角公式，更是考查的重中之重.通过三角函数图像变换考查数形结合的思想方法，其中先平移后伸缩和先伸缩后平移是考生理解的难点.三角函数的应用的重在考查考生应用所学知识解决实际问题的能力，其中既包括三角函数的特性周期性的考查，也包括对作为函数的三角函数的单调性、最值的考查.通过解三角形问题考查考生的运算求解能力. 从题
2、型上来讲，有关三角函数与解三角形的内容平均有20多分，约占总分的15%.试题一般包括一道考查基础知识的选择题或填空题和一道考查综合能力的解答题.其中选填题包装形式灵活，主要是通过三角函数知识综合考查函数的各种性质;解答题多考查三角化简和三角函数性质中的单调性、周期性、最值等问题. 从难度上来讲，本专题所有的知识点都可以说是高考的重点.由于近几年的高考已经逐步抛弃了对复杂的三角变换和特殊技巧的考查，重点转移到利用三角公式进行恒等变形，三角函数的性质和图像变换等方面，重视对基础知识和基本技能的考查，突出三角与代数、几何、向量等知识点的综合联系，从难度上来讲，本专题考查的题型基本属于容易或中等难度.
3、 由于三角函数与解三角形部分的命题已经成熟乃至模式化，预计在今后的高考命题中命题思路、命题模式不会发生大的变化，只要多多注意三角函数与代数、几何、向量等知识点的综合试题即可. 第一单元 三角函数 【考点聚焦】 三角函数的主要内容包括任意角的三角函数及其诱导公式、三角函数的图像、三角函数的性质、三角函数的应用等内容（如下表）. 【经典解析】 考点1：任意角的三角函数及其诱导公式 【思维生长点】本题为“知切求弦”题型，基本的解决思路是根据同角三角函数的基本关系式，列出方程tan？琢=2，sin2？琢+cos2？琢=1，求出sin？琢， cos？琢的值，从而根据二倍角公式sin2？琢=2sin？琢c
4、os？琢，cos2？琢=cos2？琢-sin2？琢可得结论. 但是按这种方法解题时，需要注意tan？琢=2时，角？琢可以是第一象限角，也可以是第三象限角，所以需要分类讨论，但是结果是一致的.此外，本题也是标准的二次奇次式问题，也可以直接化弦为切，从而求值. 【收获与点评】本题考查了两角和的正切公式;特殊角的三角函数值;二倍角的正、余弦公式;同角三角函数的基本关系.但是解决本题最关键的地方还是考生能够“化弦为切”. 例5.（2015年高考福建理科）已知函数f（x）的图像是由函数g（x）=cosx的图像经如下变换得到：先将g（x）图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图像
5、向右平移个单位长度. （）求函数f（x）的解析式，并求其图像的对称轴方程; 解析：（）将g（x）=cosx的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到y=2cosx的图像，再将y=2cosx的图像向右平移个单位长度后得到y=2cos（x-）的图像，故f（x）=2cos（x-）=2sinx. 从而函数f（x）=2sinx图像的对称轴方程为x=kp+（kZ）. （）（i） f（x）+g（x）=2sinx+cosx=（sinx+cosx）=sin（x+j）（其中sinj=， cosj=）. 【收获与点评】处理图像变换问题要注意平移与伸缩的顺序，比如由y=cosx图像得y=cos（2x-）
6、的图像. 如果先平移需先向右平移个单位，之后再将y=cosx图像上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍.如果先伸缩，则将y=cosx图像上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，之后再向右平移个单位. 而在研究三角函数性质的时候，如果能够适当辅以图像，则能起到事半功倍的效果. 考点3：三角函数的性质 【思维生长点】本题主要考查了两角和与差的正余弦公式;二倍角的正余弦公式;三角函数的图像与性质.在化简的过程中，如果各位考生对降幂公式不是十分熟悉的话，建议通过二倍角公式cos2=2cos2-1=1-2sin2重新推导得cos2=，sin2=， 这并不会浪费时间. 例7.（2014年高考大纲理科）
7、若函数f（x）=cos2x+asinx在区间（， ）是减函数，则a的取值范围是 . 【思维生长点】本题需要考生能够将单调递减转化为导函数非正，在求a的取值范围的时候，参变分离能大大简化运算步骤.此外，本题也可以从复合函数单调性“同增异减”法则进行处理，但是难度较大，运算困难.而且，在解题时，本题是二次函数型最值问题，而不是辅助角公式问题，切记. 【收获与点评】关于三角函数最值的问题，本文只是简单列举了以上两种类型，有兴趣的考生朋友可以参阅广东教育（高中版） 2014年第11期 高慧明老师的三角函数最值分类解析一文. 【思维生长点】本题考查的本质是三角函数的图像与性质，只不过是以实际问题的背景给
8、出，不是很困难. 解析：由图像知：ymin=2，因为ymin=-3+k，所以-3+k=2，解得：k=5，所以这段时间水深的最大值是ymax=3+k=3+5，故选C. 【收获与点评】三角函数是刻画客观世界变化规律的基本数学模型，它能够有效地刻画周期性变化规律.所以其实三角函数在生产生活中的应用及其广泛，本题只是一个简单的例子而已. 第二单元 三角恒等变换 【考点聚焦】 三角恒等变换的主要内容包括两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式以及降幂公式. 如下表： 【经典解析】 考点1：两角和与差的正弦、余弦、正切公式 例1.（2015年高考新课标理科）sin20cos10-cos160sin10
9、=（ ） A. - B. C. - D. 【思维生长点】本题解决的关键是考生能将公式进行灵活逆用.选择的途径可以有以下两种：一种选择两角和的正弦公式，另一种则是两角差的余弦公式. 解析：sin20cos10-cos160sin10=sin20cos10+cos20sin10=sin30=. 故选D. 【收获与点评】三角恒等变换处直接应用的题目不是很困难，只需要考生能将公式记准，记牢即可. 本题也可以如下解决：sin20cos10-cos160sin10=cos70cos10+sin70sin10=cos60=. 例2.（2015年高考江苏）已知tan=-2，tan（+）=，则tan的值为 .
10、【思维生长点】本题设计极为大气，如果考生能够注意到=（+）-，那么直接应用两角差的正切公式，能很顺利的解决该题. 但是如果考生没有注意到上述关系，直接将tan（+）展开，通过解方程，也能解决该题. 解析：tan=tan（+-）=3. 另解：tan（+）=，其中tan=-2，解得tan=3. 【收获与点评】我们在学习三角恒等变换公式的时候，出于公式的简洁性要求，更是出于角之间相互明了关系的表示，这里的已知角， 写成了单角的形式，但这并不意味着具体问题中的角一定就是这样的简洁形式，我们还是要从整体着眼，关注整体间的关系. 例3.（2014年高考新课标理科）设（0， ），（0， ），且tan=，则（
11、 ） A. 3-= B. 3+= C. 2-= D. 2+= 【思维生长点】本题包含的知识比较丰富，既有同角三角函数的基本关系，也有两角两角差的正弦公式.而且可以“化切为弦”顺利解决该题，也可以“化弦为切”（一次奇次式）使得本题得以解决. 解析：tan=？圳=？圳sincos=cos（1+sin）？圳sincos-cossin=cos？圳sin（-）=cos. （0， ），（0， ）， -<-<. 又 cos>0， 0<-<. 所以-=-，即2-=，故选C. 【收获与点评】其实通过“化切为弦”“正余互化”“化弦为切”等途径来减少或统一所需变换的式子中函数的种类，这
12、就是变换函数名法.它实质上是“归一”思想，通过同一和化归以有利于问题的解决或发现解题途径. 比如本题的另一种解法： tan=tan（+）. （0， ），（0， ）， <+<. 所以+=，即2-=. 考点2：二倍角公式与降幂公式 例4.（2015年高考四川理科）sin15+sin75= . 【思维生长点】本题在解决的时候方法选择比较多，但是不外乎二倍角公式、降幂公式，或者有些考生了解的半角公式等. 解析：sin15+sin75 = sin15+cos15 =sin（15+45）=. 【收获与点评】选择公式的时候，有一个熟能生巧的过程，所以要先做到熟，才能有巧.比如本题还有另外几种解法
13、： 另解1：sin15+sin75= = =. 另解2：sin15+sin75=+=. 另解3：sin15+sin75=sin（45-30）+sin（45+30）=2sin45cos30=. 例5.（2015年“江淮十校”联考）若（， ），且cos2=sin（-），则sin2=（ ） A. - B. C. 1 D. -1 【思维生长点】观察本题特征，2是的二倍角，-2是- 的二倍角. 并且sin（-2）=cos2，所以就有了下面的解法： 解析：因为cos2=sin（-），且cos2=sin（-2），所以sin（-）=sin（-2）=2sin（-）cos（-），又因为（， ），所以sin（-）0
14、，所以cos（-）=. 而sin2=cos（-2）=2cos2（-）-1=-. 故选A. 【收获与点评】本题的解题思路具有代表性，需要考生能够非常熟悉二倍角公式的形式特征，并能够抓住该特征，进行化简.其实本题还可以有另外的解法，如下： 另解1：sin2=cos（-2）=1-2sin2（-）=1-2cos2 2=2sin22-1， 解得sin2=1或sin2-，又因为（， ），所以sin2=-. 另解2：因为cos2=sin（-）， 所以（cos-sin）（cos+sin）=（cos-sin），又因为（， ），所以cos+sin=，平方可得1+sin2=，所以sin2=-. 例6.（2013年“
15、北约”自招）对于任意的，求32cos6-cos6-6cos4-15cos2的值. 【思维生长点】本题中函数虽然都是余弦，但是角包括了，2，4，6，如果想把角都化简到，明显工作量太大，毕竟涉及到了6倍角. 所以我们把目标定位2，这样4是2的二倍角，6是2的三倍角，是2的半角，操作起来必然事半功倍. 解析：因为32cos6=32（）3 = 4cos 3 2+12cos 2 2+12cos2+4， -cos6=-4cos 3 2+3cos2， -6cos4=-12cos 2 2+6， -15cos2=-15cos2， 所以，各式相加，得32cos6-cos6-6cos4-15cos2=10. 【收获
16、与点评】在三角恒等变换中，所谓的倍角、半角都是相对的概念. 比如4是2的二倍角，而是2的半角. 同时，感觉三倍角好像超纲，但是考生如过能注意到3=2+，那也就不存在超纲问题了. 第三单元 解三角形 【考点聚焦】 解三角形的主要内容包括正弦定理、余弦定理、三角形面积公式. 【经典解析】 考点1：解三角形 例1.（2015年高考安徽理科）在？驻ABC中，A=，AB=6，AC=3，点D在边BC上，AD=BD，求AD的长. 【思维生长点】解决本题的关键是能够意识到根据AD=BD，从而ADB=-（ABD+BAD）=-2B，其实这也是本题的难点. 解析：设？驻ABC的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c
17、， 由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosBAC=（3）2+62-236cos=90. 所以a=3. 又由正弦定理得sinB=. 由题设知0 在三角形？驻ABD中， 由正弦定理得AD=. 【收获与点评】解三角形问题，基本上会综合考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式.但是有些问题还会涉及到三角形内角和、平角等基本的知识，但是由于平时考生不是很注意，反而成了难点. 例2.（2015年高考陕西理科）ABC的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c. 向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行. （）求A; （）若a=，b=2，求ABC的面积. 【思维生长点】本题第（）问考查向量共线的充要条
18、件，之后利用正弦定理进行化简，从而求得tanA=，所以A=. 本题第（）问则需利用余弦定理求得c=3，之后利用三角形面积公式求得ABC的面积. 解析：（）因为，所以asinB-bcosA=0，由正弦定理，得sinAsinB-sinBcosA=0. 又sinB0，从而tanA=，由于0 （）由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA. 而a=b=2，A=，得7=4+c2-2c，即c2-2c-3=0. 因为c>0，所以c=3. 故ABC的面积为bccosA=. 【收获与点评】三角形中的三角函数关系是历年高考重点考查的内容，以三角形为主要依托，以正、余弦定理为知识框架，结合三角函数、向量、最值等内容进行综合考查.在解三角形问题中，正、余弦定理将边和角有机的结合起来，实现了边角互化，从而使三角函数与几何建立了联系，为解三角形提供了理论依据.本题第（）问也可以如下解决： 由正弦定理，得=，从而sinB=， 又由a>b，知A>B，所以cosB=， 所以sinC=sin（A+B）=sin（B+）=， 所以ABC的面积为abcosC=.