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1、安徽省桐城中学 20192019 届高三数学上学期第三次月考试题 文 一、选择题：本大题共 1212小题, ,每小题 5 5 分, ,共 6060分. .在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. . 1 i 1.若复数 z 满足 i （i 是虚数单位），则 z =（ ） z i A1 B-1 Ci D i 2.已知集合 A 2,0,2， ，集合 ，则集合 的子集个数 B x x2 2x 3 0 P A B P 是（ ） A1 B2 C3 D4 3.执行右图所示的程序框图，则输出的 S 为 （A）10（B）35（C） 20 （D）15 4.已知 a,b 都是实数， p ：直线 x
2、y 0 与圆x a2 y b2 2 相切； q ： a b 2 ， 则p 是 q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知具有线性相关的变量 x, y ，设其样本点为 A x , y i 1, 2,8，回归直线方 i i i 1 O A1 O A1 O A8 6,2 O a 程为 ，若 ，（ 为原点），则 （ ） y x a 2 A B C D 1 1 1 1 8 8 4 4 6.如图 1，四棱锥 P ABCD 中， PD 底面 ABCD ，底面 ABCD 是直角梯形，该四棱锥的 俯视图如图 2 所示，则 AD 的长是（ ） A 3 B
3、 2 3 C. 2 D 2 2 x 1 0 7.已知 x, y 满足约束条件 ， x y 0 x y m 0 y 若 的最大值为 ，则 的值为（ ） 2 m x 1 （A） 4 （B）5（C）8（D）9 - 1 - ， x 1 sin( ) 2 8.在区间 上随机取一个实数 “，则事件 ”发生的概率是 x 2 2 2 6 2 （ ） 1 1 7 5 A B C. D 3 4 12 12 9.已知函数 且 的最大值为 ,则 的取值范围是（ ） A B C D x y 2 2 10. 双曲线 的离心率是 ，过右焦点 作渐近线 的垂线，垂 E : 1 (a 0，b 0） 5 F l a b 2 2
4、足为 M ，若 OFM 的面积是 1，则双曲线 E 的实轴长是（ ） A1 B2 C. 2 D 2 2 11.若曲线 y ln x 1的一条切线是 y ax b ，则 4 的最小值是（ ） a eb A2 B 2 2 C.4 D 4 2 12. ABC 中， AB 5， AC 10， AB AC 25，点 P 是 ABC 内（包括边界）的一动 3 2 AP AB AC （ ） AP 点，且 ，则 的最大值是（ ） R 5 5 A 3 3 B C. D 41 39 37 2 第 卷（共 9090分） 二、填空题（每题 5 5 分，满分 2020分，将答案填在答题纸上） 13.抛物线 y 2x2
5、的焦点坐标是_ 14己知函数 若函数 在定义域内不是单调函数，则实数 的取值范围是 _ 15.已知圆锥的高为 3，侧面积为 20 ，若此圆锥内有一个体积为V 的球，则V 的最大值为 _ 16.在平面直角坐标系 中，点 在单位圆 上，设 ， 且 若 cos（ ）= ，则 的值为_ - 2 - 三、解答题（本大题共 6 6 小题，共 7070 分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .） 1 17.已知数列 的前 项和为 . a n S n N 3n 1 * 2 2 n n 7 (1)求数列 的通项公式； a n 1 1 1 (2)设 log ，求 . b a n 2 n b b b b
6、 b b 1 2 2 3 n n 1 18.某大学导师计划从自己所培养的研究生甲、乙两人中选一人，参加雄安新区某部门组织的 计算机技能大赛，两人以往 5 次的比赛成绩统计如下：（满分 100 分，单位：分）. 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲的成绩 87 87 84 100 92 乙的成绩 100 80 85 95 90 （1）试比较甲、乙二人谁的成绩更稳定； （2）在一次考试中若两人成绩之差的绝对值不大于 2“”，则称两人 实力相当 .若从上述 5 次 成绩中任意抽取 2“”次，求恰有一次两人 实力相当 的概率. 19.已知圆锥 SO ， SO 2 ， AB 为底面圆的直径， AB
7、 2 ，点C 在底面圆周上，且OC AB ， E SC SE 4CE F SB M AC 在母线 上，且 ， 为 中点， 为弦 中点. (1)求证： AC 平面 SOM ； (2)求四棱锥O EFBC 的体积. 20. 在直角坐标系 xOy 中， 椭圆 C x y 2 2 : 1 a b 2 2 (a b 0) F、F M 圆C 上且 的左右、焦点分别为 点， 在椭 1 2 MF x 2 MF y H 轴，直线 交 轴于 点， 1 2 OH Q C F1F2Q 的面积 ， 为椭圆 的上顶点， 4 为 1. （ ）求椭圆C 的方程； （ ）过 F1 的直线l 交椭圆C 于 A ， B ，且满 足
8、 | OA 2OB | BAOB | ABO ，求 的面积. - 3 - a x x x 1 x e e 21. 已知函数 f (x) ax 4ln x 的两个极值点 ， x 满足 ，且 ，其中 1 2 1 2 2 x 是自然对数的底数. （ ） a 1时，求 x 2 x 2 的值； 1 2 （ ）求 f (x2 ) f (x1) 的取值范围. 请考生在 2222、2323两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. . 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 C 4cos x 已知 在极坐标系中曲线 的极坐标方程为： ，以极点为坐标原点，以极轴为 轴的 1 1 x 3 t 2 正半轴建
9、立直角坐标系，曲线C 的参数方程为： ( 为参数)，点 . t A3, 02 3 y t 2 (1)求出曲线 的直角坐标方程和曲线 的普通方程； C C 1 2 C C P,Q AP AQ (2)设曲线 与曲线 相交于 两点，求 的值. 1 2 23.选修 4-5： 已知函数 f x 2x 5 2x 1 . (1)求不等式 f x x 1 的解集； (2)若 f x a 1 对于 xR 恒成立，求实数 a 的范围. - 4 - 高三月考数学（文）参考答案 一、选择题 1-5:ABCBA 6-10 ABDAB 11-12 CD 二、填空题 256 1 81 13.（0，） 14. 15. 16
10、8 三、解答题 17.（本小题满分 12分） 1 1 解：（ ）当 n 2 时， a S S 3 +1 3 2 3 2 (2 2) (2 2) 2 n n n n n n1 7 7 当 n 1时，a S =2312 ，符合上式 1 1 2 所以 a 23n2 (nN*). n （ ）由（ ）得b log 23n2 =3n 2 , n 2 1 1 1 1 1 1 所以 b1b b b b b 14 47 (3n 2)(3n 1) 2 2 3 n n 1 1 3 (1 1 4 ) 1 4 ( 1 1 1 1 1 n ) ( ) (1 ) 7 3n 2 3n 1 3 3n 1 3n 1 18.解：（
11、1） x 90, x 90 ， 甲 乙 S 2 31.6,S2 50 甲 乙 ， S 2 S 2 ， 甲 乙 甲的成绩更稳定； （2）考试有 5 次，任选 2 次，基本事件有87,100和87,80，87,100和84,85， 87,100 100,95 87,100 92,90 87,80 84,85 87,80 100,95 和 ， 和 ， 和 ， 和 ， 87,80 92,90 84,85 100,95 84,85 92,90 100,95 92,90 和 ， 和 ， 和 ， 和 共 10 个， 其中符合条件的事件有87,100和84,85，87,100和92,90，87,80和84,8
12、5， 87,80 92,90 84,85 100,95 100,95 92,90 和 ， 和 ， 和 共有 6 个， - 5 - 6 3 则 5 次考试，任取 2“”次，恰有一次两人 实力相当 的概率为 ， 10 5 19.（本小题满分 12 分） （ ）证明： SO 平面 ABC ， SO AC ， 又点 M 是圆O 内弦 AC 的中点， AC MO ， 又SO MO O AC SOM 平面 （ ） SO 平面 ABC ， SO 为三棱锥 S OCB 的高， 1 1 1 V V 112 S OCB O SCB 3 2 3 而 与 等高， V VOSCB O EFBC 1 2 SE SF ES
13、F sin 2 S ESF 1 sin 5 S SC SB CSB SCB 2 ， 3 S S 四边形EFBC SCB 5 因此， 3 3 1 1 V V O EFBC O SCB 5 5 3 5 c y b 2 2 2 20. 解：（ ）设 F2 (c,0)，由题意可得 ，即 . 2 2 1 y M a b a OH 是 F1F2M 的中位线，且 2 ， ，即 ，整理得 2 b2 2 OH | MF | 2 4 2 a 2 - 6 - a2 2b4 . 1 2 1 又 由题知，Q 为椭圆C 的上顶点， F F Q 的面积 cb ， 1 2 2 整理得bc 1，即b2 (a2 b2 ) 1，
14、联立可得 2b6 b4 1，变形得 (b2 1)(2b4 b2 1) 0，解得b2 1，进而 a2 2. x 2 椭圆C 的方程为 y . 2 1 2 ()由| OA 2OB | BAOB |可得| OA 2OB | OA 2OB |，两边平方整理得 OAOB 0 . 直线l 斜率不存在时， A(1, 2 ) ， ( 1, 2 )，不满足 . B OAOB 0 2 2 直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为 x my 1， ， ， A(x , y ) B(x , y ) 1 1 2 2 x my 1 x (m2 2)y2 2my 1 0 联 立 x2 ，消去 ，得 ， y 1 2 2 2mt
15、1 y y y y ， ，（*） 1 2 2 1 2 2 m 2 m 2 由OAOB 0 得 x1x2 y1 y2 0 . 将 x1 my1 1， 2 2 1代入整理得 ， x my (my 1)(my 1) y y 0 1 2 1 2 m y y m y y y y 2 1 2 ( 1 2 ) 1 1 2 0 展 开得 ， 2m 1 2 2 将（*）式代入整理得 0 ，解得 m ， m 2 2 2 2 2 2 y y y y 1 2 ， ， 1 2 5 5 ABO 1 的面积为 S | OF | y y | (y y )2 4y y ， 1 1 2 1 2 1 2 2 代入计算得 2 3 ，
16、即 的面积为 . S A ABO 2 3 5 5 - 7 - 1 4 x 4x 1 2 21. 解：（ ）当 a 1时， ， f (x) 1 x x x 2 2 由题意知 x1 、 x2 为方程 x2 4x 1 0的两个根. 根据韦达定理得 x1 x2 4， . x1 x2 1 x1 x2 (x1 x2 ) 2x1x2 14 2 2 2 于是 . a 4 ax 4x a 2 （ ） f (x) a ， x x x 2 2 1 4 x x x x 1 2 1 x 同（ ） 由韦达定理得 ， ，于是 . 1 1 2 x a 2 a a f (x ) f (x ) ax 4ln x ax 4ln x
17、 2 1 2 ， 2 1 1 x x 2 1 f (x ) f (x ) ax 2 1 2 a x 2 a 1 4ln x ax 4 ln 2 x x 2 2 2 2a 2ax 8ln x 2 2 x 2 1 2a(x ) 8ln x 2 2 x 2 ， 4 4 4x 4 a 2 x x x1 x2 1 1 2 1 由 ， 整理得 x x x x ，代入得 1 2 a 1 2 2 2 x 2 8x 1 f (x ) f (x ) (x ) 8ln x 2 2 1 2 2 2 x 1 x 2 2 8(x 1) 2 2 8ln x 1 2 2 x 2 ， t x e ( ) 8 8 4ln t 2
18、 (1, ) h t t 2 2 令 ，于是可得 ， t 1 16 4 4(t2 2t 1) 4(t 1)2 h (t) 0 故 ， (t 1) t t(t 1) t(t 1) 2 2 2 16 h(t) 在 (1,e2 )上单调递减， f (x ) f (x )( , 0) . 2 1 2 e 1 22. (本小题满分 10分） 解：（ ）=4cos ，当 0 时，有 2 =4 cos x2 y2 4x 当 0 时，点 (0, ) 在曲线 C 上， (0, ) 即是在直角坐标系中的原点（0,0）满足方程 1 2 2 - 8 - x2 y2 4x ， 故曲线 的直角坐标方程为 即 . C x2 y2 4x x 2 y 4 2 2 1 曲线 ： . C 3x y 3 3 0 2 1 x 3 t, 2 （ ）将 代入 得 ， x2 y2 4x t2 t 3 0 3 y t, 2 1 43 13 0 ， 故方程有两个不等实根 分别对应点 ， t1,t2 P,Q AP AQ = t t t t 3 3 AP AQ 3 ，即 = . 1 2 1 2 - 9 -