《2018届高考数学大一轮复习第三章三角函数解三角形第六节解三角形教师用书理201710142247.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018届高考数学大一轮复习第三章三角函数解三角形第六节解三角形教师用书理201710142247.doc（21页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第六节解三角形2017考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。2016，全国卷，17,12分(正、余弦定理，三角形面积)2016，全国卷，13,5分(解三角形)2016，全国卷，8,5分(解三角形)2015，全国卷，16,5分(解三角形，取值范围)2015，全国卷，17,12分(解三角形，三角形面积，恒等变换)2014，全国卷，16,5分(解三角形，三角形面积，最值)命题形式多种多样，选择题、填空题常常出一些简单的边、角、面积计算或测量问题，属于容易题，解
2、答题常常结合三角恒等变换公式、三角函数的图象和性质进行考查，具有一定的综合性，属于中档题。微知识小题练自|主|排|查1正弦定理2R其中2R为ABC外接圆直径。变式：a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC。abcsinAsinBsinC。2余弦定理a2b2c22bccosA；b2a2c22accosB；c2a2b22abcosC。变式：cosA；cosB；cosC。sin2Asin2Bsin2C2sinBsinCcosA。3解三角形(1)已知三边a，b，c。运用余弦定理可求三角A，B，C。(2)已知两边a，b及夹角C。运用余弦定理可求第三边c。(3)已知两边a，b及一边对角A。先用正弦定
3、理，求sinB，sinB。A为锐角时，若absinA，无解；若absinA，一解；若bsinAab，一解。(4)已知一边a及两角A，B(或B，C)用正弦定理，先求出一边，后求另一边。4三角形常用面积公式(1)Saha(ha表示a边上的高)。(2)SabsinCacsinBbcsinA。(3)Sr(abc)(r为内切圆半径)。微点提醒1在一个三角形中，边和角共有6个量，已知三个量(其中至少有一边)就可解三角形。2判断三角形形状的两种思路：一是化边为角；二是化角为边，并用正弦定理(余弦定理)实施边、角转换。3当a2b2c2时判断三角形的形状，由cosC0，得C为钝角，则三角形为钝角三角形。小|题|
4、快|练一 、走进教材1(必修5P10A组T4改编)在ABC中，AB5，AC3，BC7，则BAC()A. B.C. D.【解析】因为在ABC中，设ABc5，ACb3，BCa7，所以由余弦定理得cosBAC，因为BAC为ABC的内角，所以BAC。故选C。【答案】C2(必修5P10B组T2改编)在ABC中，如果有性质acosAbcosB，那么这个三角形的形状是()A直角三角形B等腰三角形C直角三角形或等腰三角形D不确定【解析】由已知及正弦定理得sinAcosAsinBcosB，sin2Asin2B，所以2A2B或2A2B，即AB或AB，所以ABC是等腰三角形或直角三角形。故选C。【答案】C3(必修5
5、P20A组T11改编)在ABC中，A，AB2，且ABC的面积为，则边BC的长为_。【解析】因为SABACsinA2ACsin，所以AC1。由余弦定理可得BC2AB2AC22ABACcosA，即BC22212221，解得BC。【答案】二、双基查验1(2016天津高考)在ABC中，若AB，BC3，C120，则AC()A1 B2C3 D4【解析】设ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c则a3，c，C120，由余弦定理得139b23b，解得b1，即AC1。故选A。【答案】A2在ABC中，a，b1，c2，则A等于()A30 B45C60 D75【解析】cosA，又0A180，A60。故选C。【答案
6、】C3在ABC中，若a18，b24，A45，则此三角形有()A无解 B两解C一解 D解的个数不确定【解析】，sinBsinAsin45，sinB，又ab，B有两个解。故选B。【答案】B4ABC中，B120，AC7，AB5，则ABC的面积为_。【解析】设BCx，由余弦定理得4925x210xcos120，整理得x25x240，即x3。因此SABCABBCsin B35。【答案】5一船向正北航行，看见正东方向有相距8海里的两个灯塔恰好在一条直线上。继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏东60，另一灯塔在船的南偏东75，则这艘船每小时航行_海里。【解析】如图，由题意知在ABC中，ACB756015，
7、B15，ACAB8。在RtAOC中，OCACsin 304。这艘船每小时航行8(海里)。【答案】8第一课时正弦定理和余弦定理微考点大课堂考点一 利用正、余弦定理解三角形【典例1】(1)(2016全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA，cosC，a1，则b_。(2)(2016全国卷)在ABC中，B，BC边上的高等于BC，则cosA()A.B.C D【解析】(1)因为cosA，cosC，所以sinA，sinC，从而sinBsin(AC)sinAcosCcosAcosC。由正弦定理，得b。(2)设ABC中角A，B，C的对边分别是a，b，c，由题意可得acsinc，则ac。在
8、ABC中，由余弦定理可得b2a2c2acc2c23c2c2，则bc。由余弦定理，可得cosA。故选C。【答案】(1)(2)C反思归纳1.已知两边和一边的对角或已知两角和一边都能用正弦定理解三角形，正弦定理的形式多样，其中a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC能够实现边角互化。2已知两边和它们的夹角或已知两边和一边的对角或已知三边都能直接运用余弦定理解三角形，在运用余弦定理时，要注意整体思想的运用。【变式训练】(2016山东高考)ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c。已知bc，a22b2(1sinA)。则A()A. B.C. D.【解析】由余弦定理得a2b2c22bccosA2b
9、22b2cosA，所以2b2(1sinA)2b2(1cosA)，所以sinAcosA，即tanA1，又0A，所以A。故选C。【答案】C考点二 判断三角形形状母题发散【典例2】设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosCccosBasinA，则ABC的形状为()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不确定【解析】依据题设由正弦定理，得sinBcosCcosBsinCsin2A，有sin(BC)sin2A，从而sin(BC)sinAsin2A，解得sinA1，A。故选B。【答案】B【母题变式】1.若将本典例条件改为“2sinAcosBsinC”，试判断ABC的形状。【解析】解
10、法一：由已知得2sinAcosBsinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB，即sin(AB)0，因为AB，所以AB，故ABC为等腰三角形。解法二：由正弦定理得2acosBc，再由余弦定理得2aca2b2ab，故ABC为等腰三角形。【答案】等腰三角形2若将本典例条件改为“(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)”，试判断三角形的形状。【解析】(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，b2sin(AB)sin(AB)a2sin(AB)sin(AB)，2sinAcosBb22cosAsinBa2，即a2cosAsinBb2sinAcosB。解法一：由正弦定理知a2
11、RsinA，b2RsinB，sin2AcosAsinBsin2BsinAcosB，又sinAsinB0，sinAcosAsinBcosB，sin2Asin2B。在ABC中，02A2，02B2，2A2B或2A2B，AB或AB。ABC为等腰三角形或直角三角形。解法二：由正弦定理、余弦定理得：a2bb2a，a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)，(a2b2)(a2b2c2)0，a2b20或a2b2c20。即ab或a2b2c2。ABC为等腰三角形或直角三角形。【答案】等腰三角形或直角三角形3若将本典例条件改为：“2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC，且sinBsinC1”，试判断ABC的
12、形状。【解析】由已知，根据正弦定理得2a2(2bc)b(2cb)c，即a2b2c2bc，cosA，sinA，则sin2Asin2Bsin2CsinBsinC。又sinBsinC1，所以sinBsinC，解得sinBsinC。因为0B，0C，故BC，所以ABC是等腰钝角三角形。【答案】等腰钝角三角形反思归纳1.判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是不是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别。2判断三角形形状主要有以下两种途径：(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之
13、间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断。考点三 与三角形面积有关的问题【典例3】(2016全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC(acosBbcosA)c。(1)求C；(2)若c，ABC的面积为，求ABC的周长。【解析】(1)由已知及正弦定理得，2cosC(sinAcosBsinBcosA)sinC，2cosCsin(AB)sinC，故2sinCcosCsinC。又因为C为ABC的内角，可得cosC，所以C。(2)由已知，absinC。又C，所以ab6。由已知及余弦定理得，a2b22abcosC7，
14、故a2b213，从而(ab)225。所以ABC的周长为5。【答案】(1)(2)5反思归纳与三角形面积有关问题的解题策略(1)求三角形的面积。对于面积公式SabsinCacsinBbcsinA，一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公式。(2)已知三角形的面积解三角形。与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化。【变式训练】在ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c。已知cos2A3cos(BC)1。(1)求角A的大小；(2)若ABC的面积S5，b5，求sinBsinC的值。【解析】(1)由cos2A3cos(BC)1，得2cos2A3cosA20，即(2cosA1)(co
15、sA2)0，解得cosA或cosA2(舍去)。因为0A，所以A。(2)由SbcsinAbcbc5，得bc20。又b5，所以c4。由余弦定理得a2b2c22bccosA25162021，故a。又由正弦定理得sinBsinCsinAsinAsin2A。答案(1)(2)微考场新提升1在ABC中，若a4，b3，cosA，则B等于()A. B.C. D.解析因为cosA，所以sinA，由正弦定理，得，所以sinB，又因为ba，所以0B，B。故选A。答案A2(2016全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c。已知a，c2，cosA，则b()A. B.C2 D3解析由余弦定理，得4b222bco
16、sA5，整理得3b28b30，解得b3或b(舍去)。故选D。答案D3(2016辽宁五校联考)设ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若bc2a,3sinA5sinB，则角C等于()A. B.C. D.解析因为3sinA5sinB，所以由正弦定理可得3a5b。因为bc2a，所以c2aaa。令a5，b3，c7，则由余弦定理c2a2b22abcosC，得49259235cosC，解得cosC，所以C。故选A。答案A4(2016北京高考)在ABC中，A，ac，则_。解析ac，sinAsinC，A，sinA，sinC，又C必为锐角，C，ABC，B，BC，bc，1。答案15.(2016广东惠州
17、三调)如图所示，在四边形ABCD中，D2B，且AD1，CD3，cosB。(1)求ACD的面积；(2)若BC2，求AB的长。解析(1)cosDcos2B2cos2B1。因为D(0，)，所以sinD，所以ACD的面积SADCDsinD。(2)在ACD中，AC2AD2DC22ADDCcosD12，所以AC2。在ABC中，AC2AB2BC22ABBCcosB12，把已知条件代入并化简得AB24AB0，因为AB0，所以AB4。答案(1)(2)4第二课时解三角形的综合应用微考点大课堂考点一 三角形的实际应用【典例1】(1)如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，选定一点C，测出AC的距离为50
18、m，ACB45，CAB105，则A，B两点的距离为_m。(2)如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m、50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角CAD等于_。(3)(2015湖北高考)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD_ m。【解析】(1)在ABC中，ACB45，CAB105，B30。由正弦定理得AB50(m)。(2)依题意可得AD20 m，AC30 m，又CD50 m，所以在ACD中，由余弦定理得cosC
19、AD，又0CAD180，所以CAD45，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45。(3)在ABC中，AB600，BAC30，ACB753045，由正弦定理得，即，BC300。又由题意知，在RtBCD中，BCD90，CBD30，所以由tanCBD可得CDtan30300100。【答案】(1)50(2)45(3)100反思归纳利用正、余弦定理解决实际测量问题，实际上是把问题转化到相关三角形中，利用三角形的边、角关系求解。【变式训练】(1)(2017马鞍山模拟)一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75，距灯塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向N处，则该船航行的速度为()A.
20、海里/小时B34海里/小时C.海里/小时 D34海里/小时(2)如图，在塔底D的正西方A处测得塔顶的仰角为45，在它的南偏东60的B处测得塔顶的仰角为30，AB的距离是84 m，则塔高为()A24 m B12 mC12 m D36 m【解析】(1)如图所示，在PMN中，PM68，PNM45，PMN15，MPN120，由正弦定理可得，所以MN34，所以该船的航行速度为海里/小时。故选C。(2)设塔高CDx m，则ADx m，DBx m。在ABD中，利用余弦定理，得842x2(x)22x2cos150，解得x12(负值舍去)，故塔高为12 m。故选C。【答案】(1)C(2)C考点二 正、余弦定理在
21、平面几何中的应用【典例2】(2016石家庄质检)ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bcosCc2a。(1)求角B的大小；(2)若BD为AC边上的中线，cosA，BD，求ABC的面积。【解析】(1)2bcosCc2a，由正弦定理，得2sinBcosCsinC2sinA，ABC，sinAsin(BC)sinBcosCcosBsinC，2sinBcosCsinC2(sinBcosCcosBsinC)，sinC2cosBsinC。0C，sinC0，cosB。又0B，B。(2)在ABD中，由余弦定理得2c222ccosA，c2bc，在ABC中，由正弦定理得，由已知得sinA，sinCsi
22、n(AB)sinAcosBcosAsinB，cb，由解得SABCbcsinA10。【答案】(1)(2)10反思归纳此类题目求解时，一般有如下思路：(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果。做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题。【变式训练】如图，在ABC中，sin，AB2，点D在线段AC上，且AD2DC，BD，则cosC_。【解析】由条件得cosABC，sinABC。在ABC中，设BCa，
23、AC3b，则9b2a24a因为ADB与CDB互补，所以cosADBcosCDB，所以，所以3b2a26。联立解得a3，b1，所以AC3，BC3。在ABC中，cosC。【答案】考点三 正、余弦定理与三角函数图象性质的综合应用【典例3】已知向量m，n，函数f(x)mn1。(1)求函数f(x)在0，上的最值，并求此时x的值；(2)将函数f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移个单位长度并向下平移个单位长度，得到函数g(x)的图象。若在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，g，a2，bc4，求ABC的面积。【解析】(1)f(x)sincoscos21sinx
24、cosxsin。x0，x，当x，即x0时，f(x)min0，当x，即x时，f(x)max。当x0时，f(x)min0，当x时，f(x)max。(2)将f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数ysin的图象，再将所得图象向左平移个单位长度并向下平移个单位长度，得到函数g(x)sinsin2xcos2x的图象。gcosA，又0A，A。在ABC中，a2b2c22bccosA，22b2c22bc，4(bc)22bcbc，即4423bc，bc4。SABCbcsinAbcsinbc4。【答案】(1)当x0时，f(x)min0，当x时，f(x)max(2)反思归纳1.向量是一种解决问
25、题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题。2三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化，注意角的范围对变形过程的影响。【变式训练】(2017日照模拟)已知在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且函数f(x)2cosxsin(xA)sinA在x处取得最大值。(1)当x时，求函数f(x)的值域；(2)若a7且sinBsinC，求ABC的面积。【解析】函数f(x)2cosxsin(xA)sinA2cosxsinxcosA2cosxcosxsinAsinAsin2xcosAcos2xsinAsin(2xA)，又函数f(x)在x处取得最大值，2A2k，其
26、中kZ，即A2k，其中kZ。(1)A(0，)，A，又x，2xA，sin(2xA)1，即函数f(x)的值域为。(2)由正弦定理得，则sinBsinCsinA，即，bc13。又a2b2c22bccosA(bc)22bc2bccosA，即491693bc，bc40。故ABC的面积SbcsinA4010。【答案】(1)(2)10微考场新提升1(2016泉州质检)如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C(ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)，然后给出了三种测量方案：测量A，C，b；测量a，b，C；测量A，B，a，则一定能确定A，B间的距离的所有方案
27、的序号为()A BC D解析由题意可知，在三个条件下三角形均可唯一确定，通过解三角形的知识可求出AB。故选D。答案D2.(2016湖南师大附中月考)如图所示，测量河对岸的塔高AB时可以测量与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得BCD15，BDC30，CD30，并在点C测得塔顶A的仰角为60，则塔高AB()A5 B15C5 D15解析在BCD中，CBD18045135。由正弦定理得，所以BC15。在RtABC中，ABBCtanACB1515。故选D。答案D3ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且c2a，则cosB()A. B.C. D.解析a，b，c成等
28、比数列，且c2a，b2ac2a2，ba。由余弦定理可得cosB。故选A。答案A4(2016福建师大附中联考)如图，在矩形ABCD中，AB，BC3，E在AC上，若BEAC，则ED_。解析在RtABC中，BC3，AB，所以BAC60。因为BEAC，AB，所以AE，在EAD中，EAD30，AD3，由余弦定理知，ED2AE2AD22AEADcosEAD923，故ED。答案5在ABC中，tan2sinC，若AB1，则ACBC的最大值为_。解析因为tan2sinC，所以2sinC2sinC2sinC，因为ABC，所以ABC，所以sin(AB)sinC，cos(AB)cosC，所以2sinC，因为0C，所以
29、sinC0，所以cosC，所以C。因为，所以ACBCsinBsinAsinsinAsin(A)，其中0且tan，所以当sin(A)1时，ACBC取得最大值，为。答案微专题巧突破压轴精选之解三角形的范围问题解三角形问题属于高考热点问题，而其中的范围问题是难点。任何范围问题，其本质都是函数问题，三角形的范围(或最值)问题也不例外。三角形中的范围(或最值)问题的解法主要有两种：一种是用函数求解；另一种是利用基本不等式求解。由于三角形中的范围问题一般是以角为自变量的三角函数问题，所以，除遵循函数问题的基本要求外，还有自己独特的解法。纵观近几年高考，三角形中的范围问题大致分成三类：边的范围问题、角的范围
30、问题、面积的范围问题。下面结合高考题或模拟题举例说明其解法要领。一、与边有关的范围问题【典例1】(2015全国卷)在平面四边形ABCD中，ABC75，BC2，则AB的取值范围是_。【解析】解法一：如图所示，延长BA，CD交于E点，则在ADE中，DAE105，ADE45，E30，所以设DAx，AEx，DEx，CDm，由BCE为等腰三角形，且BC2得，sin151，即xm，0x4，所以ABxmx()x，所以AB的取值范围为(，)。解法二：连接AC，设BAC，则ACB105，在ABC中，由正弦定理得，所以AB。因为，所以3075，所以tan2，所以2，进一步可得AB的取值范围为(，)。【答案】(，)
31、【方法点睛】四边形问题转化成解三角形问题是本题的本质。解法一转换成两个边的关系，但是一直含有两个变量，不容易看出两个量之间的关系，不好把握，但是这种解法捕捉到了题中含有等腰三角形这一核心条件。解法二也是转化成解三角形问题，通过三角函数求边的范围，是通性通法。【变式训练1】(2017兰州模拟)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知。(1)求A的大小；(2)若a6，求bc的取值范围。【解析】(1)，cosAsinA，tanA。0A，A。(2)4，b4sinB，c4sinC，bc4sinB4sinC4sinBsin(AB)412sin。B，612sin12，即bc(6,12。【答案】
32、(1)(2)(6,12二、与角有关的范围问题【典例2】在ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且BC边上的高为a，则取得最大值时，内角A的值为()A.B.C. D.【解析】利用等面积法可得，BCabcsinA，整理得a2bcsinA。又，2sinA2cosA4sin，所以当A，A时，取得最大值。故选D。【答案】D【方法点睛】与角有关的范围问题，当然用三角函数解决，实现边与角的互化用正、余弦定理。【变式训练2】在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2Acos2B2cos2C，则C的取值范围是_。【解析】由cos2Acos2B2cos2C，得12sin2A12si
33、n2B2(12sin2C)，即sin2Asin2B2sin2C，由正弦定理可得a2b22c2。由余弦定理可得c22abcosC2c2，所以cosC，当且仅当ab时等号成立，所以cosC1，C的取值范围是。【答案】三、与面积有关的范围问题【典例3】在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且满足4cos2cos2(BC)，若a2，则ABC的面积的最大值是_。【解析】因为BCA，所以cos2(BC)cos(22A)cos2A2cos2A1，又cos2，所以4cos2cos2(BC)可化为4cos2A4cosA10，解得cosA。又A为三角形的内角，所以A，由余弦定理得4b2c22bccosA
34、2bcbcbc，即bc4，当且仅当bc时取等号，所以SABCbcsinA4，即ABC的面积的最大值为。【答案】【方法点睛】与三角形面积有关的问题主要有以下策略：1.求三角形面积，对于公式SabsinCbcsinAacsinB，一般是知道某个角就选含该角的公式；2.已知三角形面积解三角形一般要用正弦定理或余弦定理进行转化；3.求面积的最值问题一般要用到基本不等式。【变式训练3】已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，a2，且(2b)(sinAsinB)(cb)sinC，则ABC面积的最大值为_。【解析】由正弦定理，可得(2b)(ab)(cb)c。a2，a2b2c2bc，即b2c2a2bc，由余弦定理，得cosA。sinA。由b2c2a2bc，得b2c24bc。b2c22bc，即4bc2bc，bc4。SABCbcsinA，即(SABC)max。【答案】- 21 -