四川省棠湖中学2019届高三数学上学期第二次月考试题理2018110601159.wps

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1、棠湖中学高 20192019 届高三上第二学月考试 理科数学 第 I 卷（选择题，满分 6060分） 一. .选择题：本大题共 1212小题，每小题 5 5 分，共 6060分. .在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. . 1.已知 a ，b R ，复数 5i ，则 a bi 1.已知 a ， b R ，复数 5i ，则 1 2i a b A3 B1 C0 D 2 2.设集合 A 3,2,1, 0,1, 2， B x | x2 2x 3 0，则 A B A0,1, 2 B2,1, 0 C1, 0,1 D3,2,1, 0,1 S S 3.已知等差数列 的前 项和为 ， 1 9

2、， ，则 S 取最大值时的 n 为 a n S a 9 5 4 n n n 9 5 A4 B5 C6 D4 或 5 4.某四棱锥的三视图如图所示，正视图和侧视图为全等的直角边为 1 的等腰直角三角形，则该 四棱锥的表面积为 A3 2 B 2 2 C 2 1 D 1 3 1 1 5“ ”“是 ”的 ( )a ( )b lg a lgb 2 2 A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 6已知随机变量 服从正态分布 ( , ) ，若 ， N 2 P( 1) P( 5) 0.15 则 P(1 3) 等于 A.0.35 B.0.3 C.0.5 D.0.7

3、7已知 满足 ，则 cos ) ) cos( cos( 2 2 3 4 4 7 25 7 A. B. C. D. 18 18 18 25 18 8设奇函数 f (x )的定义域为 R , 且 f (x 4) f (x) , 当 x4, 6时 f (x) 2x 1, 则 f (x )在区间2, 0上的表达式为 - 1 - A f (x) 2x 1 B f (x) 2x4 1 C f (x) 2x4 1 D f (x) 2 x 1 9ABC 所在平面上一点 P 满足PA+PB+PC=AB，则PAB 的面积与ABC的面积之比为 A23 B14 C13 D16 10.已知两点 Aa,0,Ba,0a 0

4、，若曲线 x2 y2 2 3x 2y 3 0 上存在点 P ，使得 APB 90 a ，则正实数 的取值范围为 A0,3 B1, 2 C.2,3 D1, 3 x y 2 2 11.已知 F 是椭圆 E : 1(a b 0) 的左焦点，经过原点的直线l 与椭圆 E 交于 P ， a b 2 2 Q | PF | 2 | QF | PFQ 120 E 两点，若 ，且 ，则椭圆 的离心率为 1 1 3 A B C. D 3 2 3 2 2 log ,0 4 x x f x f x ( ) ( ) 1 12.已知偶函数 4 ，且 ，则函数 f (x) ( 8) ( ) F x f x f (8 x),

5、4 x 8 x 2 在区间2018,2018的零点个数为 A 2020 B2016 C. 1010 D1008 第 卷（非选择题，满分 9090分） 注意事项： 1请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第 卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。 2“”试卷中横线及框内注有的地方，是需要你在第 卷答题卡上作答。 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题至第 21题为必考题，每个试题考生都作答；第 22、 23题为选考题，考生根据要求作答。 二. .填空题：本大题共 4 4 个小题，每小题 5 5 分，共 2020分。 2x 3y 3 0 13设 x ， y 满足约束条件 2x 3y 3 0 ，则目标函数 z 2x

6、 y 的最小值是 . y 3 0 14二项式 (3x 1)6 的展开式中常数项为 . （用数字表达） x 15若直线 y x b与曲线 y 3 4x x2 有公共点，则b 的取值范围是 - 2 - 7 16.已知 a,b,c 分别为 ABC 的三个内角 A,B,C 的对边，b 6 ，且 accos B a2 b2 bc ， 4 O ABC OA OB OC 0,BAO 30 OA 为 内一点，且满足 ，则 . 三、解答题 （本大题共 6 6 小题，共 7070分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .） 17.(本大题满分 12 分) 已知在 ABC 中，角 A 、 B 、C 的对边

7、分别是 a 、b 、 c ， m (2 cosC,acos B bcos A)， n (c,1) m n ，且 . （ ）求角C ； （ ）若 c 3，求 ABC 周长的最大值. 18（本小题满分 12分） 1993年，国际数学教育委员会（ICMI“”）专门召开过 性别与数学教育 国际研讨会，会议讨 论内容之一是视觉和空间能力是否与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小 组中按分层抽样的方法抽取 50 名同学（男 30女 20），给所有同学几何和代数各一题，让各位 同学自由选择一道题进行解答.选择情况如下表：（单位：人） 几何题 代数题 总计 男同学 22 8 30 女同学 8 1

8、2 20 总计 30 20 50 （ ）能否据此判断有 97. 5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？ （ ）经过多次测试后，女生甲每次解答一道几何题所用的时间在 57 分钟，女生乙每次解答 一道几何题所用的时间在 68 分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率； （III）现从选择几何题的 8 名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、 乙两女生中被抽到的人数为 X ，求 X 的分布列及数学期望 E X . 附表及公式 - 3 - P(k k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2 k 2.072 2.706 3.84

9、1 5.024 6.635 7.879 10.828 2 2 n ad bc k a bc d a cb d 19.（本小题满分 12分） 如图，已知四棱锥 P ABCD 的底面为菱形，且 ABC 60 ， E 是 DP 中点. （ ）证明： PB / / 平面 ACE ； （ ）若 AP PB ， AB PC 2PB ，求平面 EAC 与平面 PBC 所成二面角的正弦值. 20.（本小题满分 12分） 设抛物线C : y2 2px( p 0) 的焦点为 F ，准线为l .已知以 F 为圆心，半径为 4 的圆与l 交 于 A 、 B 两点， E 是该圆与抛物线C 的一个交点， EAB 90.

10、（ ）求 p 的值； （ ）已知点 P 的纵坐标为 1且在C 上，Q 、 R 是C 上异于点 P 的另两点，且满足直线 PQ 和直线 PR 的斜率之和为 1，试问直线QR 是否经过一定点，若是，求出定点的坐标，否则， 请说明理由. 21（本小题满分 12分） f x ex x 已知函数 sin . （ ）求函数 f x的单调区间； - 4 - f x kx k （ ）如果对于任意的 x 0, ， 恒成立，求实数 的取值范围； 2 F x f x e x 2015 , 2017 1 （III）设函数 cos ， ，过点 作函数 x x M ,0 2 2 2 F x x 的图象的所有切线，令各切点

11、的横坐标按从小到大构成数列 ，求数列 的所有 x n n 项之和的值. 请考生在第 2222、2323题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 22 （本小题满分 10分）选修 4-4：坐标系与参数方程 x 2 2cos 在直角坐标系 xoy 中，圆C 的参数方程为 （ 为参数），以O 为极点， x 轴的 y 2sin 非负半轴为极轴建极坐标系，直线l 的极坐标方程为 (sin 3 cos) 3. （ ）求C 的极坐标方程； （ ）射线OM : ( ) 与圆 C 的交点为O, P ，与直线l 的交点为Q ，求| OP | | OQ | 1 1 6 3 的范围 23选修 4-5：不等式选

12、讲 （10 分） 已知 a 0，b 0 ， a2 b2 a b 证明： （ ） (a b)2 2(a2 b2 ) ； （ ） (a 1)(b 1) 4 - 5 - 棠湖中学高 20192019届高三上第二学月考试 理科数学答案 一选择题 题号 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 选项 A A D D B B B B C C A A 题号 7 7 8 8 9 9 1010 1111 1212 选项 A A B B C C D D C C A A 二 填空题 13.13.9 14.14.540 15.15.3,1 2 2 16.16.3 三、解答题 17. 解：（ ） m n 2cco

13、sC (acos B bcos A) 0 由正弦定理得 2sinC cosC (sin Acos B cos Asin B) 0 即 2sinC cosC sin(A B) 0 2sinC cosC sinC 0，在 ABC 中， 0 C sinC 0 1 ， , cos C C (0, ) C 2 3 （ ）由余弦定理可得： c2 a2 b2 2abcosC (a b)2 2ab(1 cosC) 9 1 a b 2 即 ， (a b)2 3ab 9 ab (a b) 9 2 (a b)2 36 a b 6 3 2 当且仅当 a b 3时取等号， ABC 周长的最大值为 6+3=9 1818（

14、1）由表中数据得 K 2 的观测值 2 50(2212 88) 50 2 K 5.556 5.024 30203020 9 所以根据统计有 97.5%和空间能力与性别有关. （2）设甲，乙解答一道几何题的事件分别为 x, y 分钟，则基本事件满足的区域为 - 6 - 5 x 7 6 y 8 ，如图所示 设事件 A “为 乙比甲先做完此道题”，则满足的区域为 x y 1 2 11 1 由几何概型，得 ，即乙比甲先解答完的概率为 P A 22 8 1 8 （3）由题可知在选择做几何题的 8 名女生中任意抽取两人，抽取方法有 82 28种，其中甲、 C 乙两人没有一个人被抽取到有 2 种；恰有一人被

15、抽到有 2 6 12；两人都被抽到有 C6 15 C1 C1 C2 1 2 种. 15 12 3 X P X 0 PX PX 可能取值为 0,1,2， ， ， 1 2可 能取值为 0,1,2， ， ， 28 28 7 X 的分布列为 1 28 X 0 1 2 P 15 28 15 3 1 1 E x 0 1 2 所以 28 7 28 2 3 7 1 28 19（）证明：如图 3，连接 BD ， BD AC F ，连接 EF ， 四棱锥 P ABCD 的底面为菱形， F 为 BD 中点，又 E 是 DP 中点， 在BDP 中， EF 是中位线，EF / PB ， 又 EF 平面 ACE ，而 P

16、B 平面 ACE ，PB / 平面 ACE （ ）解：如图，取 AB 的中点Q ，连接 PQ ，CQ ， - 7 - ABCD 为菱形，且 ABC 60 ， ABC 为正三角形，CQ AB 设 AB PC 2 ， AP PB 2 ， CQ 3 ， 且 PAB 为 等 腰 直 角 三 角 形 ， 即 90 ， APB PQ AB ， 平面 PQC ，且 PQ 1， AB 2 2 2 ，PQ CQ ， PQ CQ CP 如图，建立空间直角坐标系，以 Q 为原点， BA 所在的直线为 x 轴， QC 所在的直线为 y 轴， QP 所在的直线为 z 轴， 则 Q(0，0，0) ， A(1，0，0) ，

17、 C(0， 3，0) ， P(0，0，1) ， B(1，0，0) ， D(2， 3，0) ， 3 1 E 1， ， 2 2 ， AE 3 1 0， ， 2 2 ， AC (1， 3，0) ， PB (1，0，1) ， PC (0， 3，1) ， 设 n1 (x1，y1，z1) 为平面 AEC 的一个法向量， A n AE 1 n AC A 1 则 3 1 y z 0， 0， 1 1 2 2 0 3 0， ， x y n1 ( 3，1， 3) 1 1 即 可取 n2 (x2，y2，z2 ) 为平面 PBC 的一个法向量， 设 n APC 0， 2 n PB 0， A 3y z 0 ， 2 2 n

18、2 ( 3，1， 3) x z 0， 2 则 即 2 2 可取 | n An | 5 | cos n，n | 1 2 1 2 | n | n | 7 于是 1 2 所以平面 EAC 与平面 PBC 所成二面角的正弦值为 2 6 7 20.解：（1）由题意及抛物线定义，| AF | EF | AE | 4 ，A AEF 为边长为 4 的正三角形， 1 1 设准线l 与 x 轴交于点 D ，| AD | p | AE | 4 2 . 2 2 （2）设直线QR 的方程为 x my t ，点Q(x , y )， R(x , y ) . 1 1 2 2 - 8 - x my t 2 4 4 0 由 ，得

19、 ，则 ， ， y my t 16m2 16t 0 y1 y2 4m y2 4x y1 y2 4t . y y y y 4 4 又点 P 在抛物线C 上，则 ，同理可得 k P 1 p 1 PQ 2 2 y y y 1 x x y y P 1 P 1 P 1 1 4 4 k PR 4 . y 1 2 4 4 4(y y ) 8 16m 8 k k 1 2 因为 1，所以 1，解得 PQ PR y 1 y 1 y y (y y ) 1 4t 4m 1 1 2 1 2 1 2 t 3m 7 4 . 2 16m 16t 0 7 7 1 由 ，解得 . t 3m m(, ) ( ,1) (1,) 4

20、2 2 1 7 m ( 1) 3m 4 4 所以直线QR 的方程为 ( 3) ，则直线 过定点 . x m y 7 QR ( 7 , 3) 4 4 21. sin cos 2e sin x f x ex x x x 4 3 f x 2k ,2k k Z 的 增 区 间 为 ； 减 区 间 为 4 4 3 7 2k ,2k k Z . 4 4 令 g x f x kx sin x e x kx 要使 f x kx 恒成立，只需当 0, 时， x 2 g x min 0 g x ex x x k sin cos h x ex x x hx 2e cosx 0 0, 令 sin cos ，则 对 恒

21、成立 x x 2 - 9 - 0, h x x 在 上是增函数，则 h x 1,e 2 2 当 k 1时， gx 0恒成立， gx在 0, 上为增函数 x 2 k 1 g x min g 0 0 ， 满足题意； 当1 k e2 时， 在 x 上有实根 , 在 x 上是增函数 gx 0 0, x hx 0, 0 2 2 则当 x x 时， gx 0， 不符合题意； 0, 0 0 0 g x g 0 当 k e2 时， 恒成立， 在 x 上为减函数， gx 0 gx 0, 2 g x g 0 0 不符合题意 k ,1 k 1 ，即 . cos sin cos F x f x e x x x e x

22、 x F x e x 2 xcos 设切点坐标为x e x x ，则切线斜率为 x F x ex x 0 , sin 0 cos 0 0 2 cos 0 0 0 从而切线方程为 y ex x x sin cos 2ex cosx x x 0 0 0 0 0 0 e x x x sin cos 0 0 0 1 2e cosx x x 0 0 0 2 tanx 2 x 0 0 2 y x 1 tan 2 2 y x ,0 令 ， ，这两个函数的图象均关于点 对称，则它们交点的横坐 2 2 x x 标也关于 对称，从而所作的所有切线的切点的横坐标构成数列 的项也关于 n 2 x 2 2015 201

23、7 成对出现，又在 共有 1008 对，每对和为 . , 2 2 S 1008 . 22.解：（ ）圆 C 的普通方程是 (x 2)2 y2 4, 又 x cos, y sin. 所以圆 C 的极坐标方 - 10 - 程是 4cos. （ ）设 P 则由 1 4cos1, 设Q( , ), 且直线l 的方程是 (sin 3 cos) 3, 则有 ( , ), 1 1 2 2 2 3 sin 3 cos 1 1 4 3 cos 4 3 , OP OQ 1 所以| | | 2, 3 1 2 sin 3 cos 3 tan 1 1 23证明： （1）因为 (a b)2 2(a2 b2 ) 2ab a2 b2 (a b)2 0 所以 (a b)2 2(a2 b2 ) （2）方法 1： 由（1）及 a2 b2 a b 得 a b 2 因为 ( 1)( 1) ( 1) ( 1) 2 ， a b a b (a 1) (b 1) 2 (a b 2)2 4 2 2 2 于是 (a 1)(b 1) 4 方法 2： 由（1）及 a2 b2 a b 得 a b 2 a b 因为 ab ( )2 ，所以 ab 1 2 故 (a 1)(b 1) ab a b 1 4 - 11 -