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1、同角三角函数的基本关系式高一年级 数学主讲人：朱筱琨海淀区教师进修学校附属实验学校 yox(cos,sin)回顾：三角函数的定义sinyrcosxr设角 的终边与单位圆的交点为 ，(,)P x ysinycosxtanyxPyox问题1：如何用数学的眼光看旋转和平移？确定角的终边三个三角函数一个三角函数值角的终边其他三角函数值联系？确定？确定(cos,sin)P问题1：如何用数学的眼光看旋转和平移？终边 ：旋转过程中，22sincos1 的坐标发生变化 但与原点距离保持不变sintan(+,)cos2kkZox(cos,sin)P单位圆：圆心 ，半径(0,0)1r OPPsintan(+)co
2、s2kkZ，22sincos1同角三角函数的基本关系式yox(cos,sin)P22sincos1静态：方程(二元二次）22cos1sin 2cos1sin sin已知功能（知一求一）两组解？两个终边位置问题2：如何从不同的角度理解同角三角函数的关系式？yox(cos,sin)P(cos,sin)P22sintancossincos1静态：方程(三元）sintan(+,)cos2kkZtan已知功能（知一求其他？）两个终边位置一组公式问题2：如何从不同的角度理解同角三角函数的关系式？oyx(cos,sin)P(cos,sin)P22sincos1动态：两个函数的关系2cos1sin2sin1c
3、ossintan(+,)cos2kkZ三个函数的关系sintancossincostan问题2：如何从不同的角度理解同角三角函数的关系式？例1 已知 ，且 是第二象限角，求角 的余弦和正切.4sin522cos1sin 2cos1sin sin已知数分析：问题3：同角的三角函数值中，已知一个能求出其他吗？yox4(cos,)5P形P点纵坐标为 ，角 在第二象限，余弦和正切值唯一.45yox4(cos,)5P解：由22sincos1得22169cos1 sin12525 因为是第二象限角，cos0所以93cos,255 sin4tancos3 问题3：同角的三角函数值中，已知一个能求出其他吗？例
4、1 已知 ，且 是第二象限角，求角 的余弦和正切.4sin5yxP变式：已知 ，求角 的余弦和正切.4sin5P22cos1sin 2cos1sin sin已知数分析：形一个正弦值对应两个终边位置余弦和正切不唯一问题3：同角的三角函数值中，已知一个能求出其他吗？o变式：已知 ，求角 的余弦和正切.4sin5问题3：同角的三角函数值中，已知一个能求出其他吗？解：由22sincos1得229cos1 sin25 若 是第二象限角，cos0所以3cos,5 sin4tancos3 若 是第一象限角，cos0所以3cos,5sin4tancos3yxPPo变式：已知 ，求角 的余弦和正切.4sin5问
5、题3：同角的三角函数值中，已知一个能求出其他吗？解：由22sincos1得229cos1 sin25 所以3cos,5 sin4tancos3 yxPPo分析：yxP22sincos1sin5cos sin5cos 代入消元思路1 方程思想例2 已知 ，且 是第二象限角,求角 的正弦和余弦.tan5 利用角所在象限求出唯一正弦、余弦o解：由题意和同角三角函数的基本关系式，有22sincos1sin5.cos，sin5cos，代入解得由得21cos6因为是第二象限角，6cos6，代入得30sin5cos.6 yxP例2 已知 ，且 是第二象限角,求角 的正弦和余弦.tan5 o得到 与 关系yx
6、P22sincos1sintancos分析：思路2 找到已知和所求的二元关系？tansincostan得到 与 关系三元二元（新的恒等式）例2 已知 ，且 是第二象限角,求角 的正弦和余弦.tan5 o即 ，解：由同角三角函数的基本关系式，22sincos1,sintan.cossintan cos代入得得22(1+tan)cos1yxP2211cos1+tan6因为是第二象限角，6cos6 所以 ，.30sin6例2 已知 ，且 是第二象限角,求角 的正弦和余弦.tan5 o思考：能否将所求化为只含有正切的代数式？变式 已知 ，求 .tan5 sincosyxP分析：思路1 方程思想思路2
7、转化Psin cos122sin coscos1cos2tan1cos？o思考：能否将所求化为只含有正切的代数式？变式 已知 ，求 .tan5 sincos（分子分母同时 除以 ）2cosyxP2tantan1分析：思路1 方程思想思路2 转化Psin cossin cos122sincossincos（分母变形）o得变式 已知 ，求 .解：由同角三角函数的基本关系式，22sin cossin cossincostan5 sincos分子分母同时除以2cos2tansin costan156 由题意知cos0yxPPo变式 已知 ，求 .举例：2sincossin3costan5 sincos
8、yxPP2222sin2cossin3cos222sincos2tan1tan322tan2tan32222222sincos2tan1sincostan1只含正切齐次分式o思想 方法三角函数定义同角三角函数的基本关系式旋转不变性静态sintan(+)cos2kkZ，22sincos1动态方程（组）函数关系理解应用知一求其他数形结合小结：小结：如何应用公式解决同角三角函数值知一求其他的问题？不定象限单位圆上两个点P两组三角函数值单位圆上唯一点P一组三角函数值分类讨论（不需分类讨论）yxPP确定象限o（1）已知 ，且 为第一象限角，求 ，；作业：1.求解下列各题.1sin2costan（2）已知 ，且 为第三象限角，求 ，；4cos5 sintan（3）已知 ，且 为第四象限角，求 ，；3tan4 cos（4）已知 ，且 为第二象限角，求 ，；1sin3costansin2.已知 ，求 和 .作业：3cos5sintan3.已知 ，求 和 .5sin13costan（1）；作业：4.已知 ，求下列各式的值.2sintan4（2）；22cossin（3）；3sincos（4）.4sin2cos5cos3sin感谢观看