[高等教育]2001—河南专升本高数试题.doc

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1、2005年河南省普通高等学校选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试高等数学 试卷题号一二三四五六总分核分人分数得分评卷人一、单项选择题（每小题2分，共计60分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题干后面的括号内。不选、错选或多选者，该题无分.1.函数的定义域为为 （ ） A. B. C. D. 解：.2.下列函数中,图形关于轴对称的是 （ ）A B. C. D. 解：图形关于轴对称,就是考察函数是否为偶函数,显然函数为偶函数,应选D. 3. 当时，与等价的无穷小量是 （ ） A. B. C. D. 解： ,应选B.4. （ ）A. B. C. D. 解：,应选B.5.设在处连

2、续，则 常数 （ ）A. 1 B. -1 C. D. 解：,应选C.6.设函数在点处可导,且,则 （ ） A. 1 B. C. D. 解：,应选D.7.由方程确定的隐函数的导数为 （ ）A. B. C. D.解：对方程两边微分得,即,所以,应选A.8.设函数具有任意阶导数,且，则 （ ） A. B. C. D. 解：,应选B.9.下列函数在给定的区间上满足罗尔定理的条件是 （ ）A. B.C. D解：由罗尔中值定理条件：连续、可导及端点的函数值相等来确定,只有满足,应选A. 10.设,则在内,单调 ( ) A.增加,曲线为凹的 B.减少,曲线为凹的 C.增加,曲线为凸的 D.减少,曲线为凸的解

3、: 在内,显然有,而,故函数在内单调减少,且曲线为凹的,应选B.11.曲线 （ ）A. 只有垂直渐近线 B. 只有水平渐近线 C. 既有垂直渐近线，又有水平渐近线， D. 无水平、垂直渐近线 解：，应选C.12.设参数方程为,则二阶导数 （ ）A. B. C. D. 解：,应选B. 13.若，则 （ ）A. B. C. D. 解：两边对求导 ,应选B. 14. 若 ，则 （ ） A. B. C. D. 解:,应选A.15.下列广义积分发散的是 （ ）A. B. C. D.解：;,应选C.16. （ ）A.0 B. C. D. 解：被积函数在积分区间-1,1上是奇函数,应选A.17.设在上连续,

4、则定积分 （ ）A.0 B. C. D. 解：,应选D.18.设的一个原函数是,则 （ ）A. B.C. D.解: ,应选B.19.设函数在区间上连续,则不正确的是 （ ）A.是的一个原函数 B.是的一个原函数 C.是的一个原函数 D.在上可积解: 是常数,它的导数为零,而不是,即不是的原函数 ,应选A.20.直线与平面的关系是 （ ）A. 垂直 B.相交但不垂直 C. 直线在平面上 D. 平行解： ,另一方面点不在平面内,所以应为平行关系,应选D.21.函数在点处的两个偏导数和存在是它在该点处可微的 （ ）A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.无关条件解：两个偏导数存在,不一定可微,

5、但可微一定有偏导数存在,因此为必要条件,应选B.22.设 ，则 （ ）A. B. C. D. 解：,应选C.23.函数的极小值点是 （ ） A. B. C. D. 解：,应选B.24.二次积分写成另一种次序的积分是 （ ）A. B. C. D. 解：积分区域,应选A.25.设D是由上半圆周和轴所围成的闭区域,则（ ） A. B. C. D.解：积分区域在极坐标下可表示为：，从而，应选C. 26.设为抛物线上从到的一段弧， （ ）A. -1 B.1 C. 2 D. -1解： 从0变到1 , ,应选B.27.下列级数中，条件收敛的是 （ ）A B C D 解：发散, 和绝对收敛，是收敛的，但是的级

6、数发散的，从而级数条件收敛，应选B.28. 下列命题正确的是 （ ）A若级数与收敛，则级数收敛 B 若级数与收敛，则级数收敛 C 若正项级数与收敛，则级数收敛 D 若级数收敛，则级数与都收敛 解：正项级数与收敛 与收敛，而，所以级数收敛 ，应选C。 29. 微分方程的通解为 （ ） A. B. C. D. 解：注意对所给的方程两边求导进行验证，可得通解应为，应选D.30.微分方程的通解是 （ ）A. B. C. D. 解：微分方程的特征方程为，有两个复特征根，所以方程的通解为，应选A. 得分评卷人二、填空题（每小题2分，共30分）1.设 ,则_.解： .2.,则_.解：因. 3.设函数在点处的

7、切线方程是_.解：，则切线方程为，即 .4.设，则_.解： .5.函数的单调递增区间是 _.解： 或.6.曲线的拐点是_.解：,得拐点为. 7.设连续,且,则 _.解：等式两边求导有,取有.8.设，则 _.解： .9.函数的极小值是_.解: .10. _.解: .11. 由向量为邻边构成的平行四边形的面积为_.解： . 12.设 ，则 _.解：令 ,则. ,所以 .13.设是由，所围成的第一象限部分,则=_.解：积分区域在极坐标系下表示为,则 . 14.将展开为的幂级数是_.解：,所以.15.用待定系数法求方程的特解时,特解应设为_ _.解：2是特征方程的二重根,且是一次多项式,特解应设为 .

8、得分评卷人三、计算题（每小题5分，共40分）1.解： .2.已知,求.解：令,则 ,所以.3.求不定积分 .解： .4.设 ,求. 解：令 ,则 .5.设 ，其中可微，求.图05-1解：令,则,复合关系结构如图05-1所示, , .6求，其中是由所围成的闭区域.解：积分区域如图05-2所示，曲线在第一象限内的交点为（1，1），积分区域可表示为：.1图05-2 则 .7求幂级数的收敛域（考虑区间端点）.解： 这是缺项的标准的幂级数，因为 ，当，即时，幂级数绝对收敛；当，即或时，幂级数发散；当，即时，若时，幂级数化为是交错级数，满足来布尼兹定理的条件，是收敛的，若时，幂级数化为也是交错级数，也满足

9、来布尼兹定理的条件，是收敛的.故幂级数的收敛域为-1,1.8求微分方程 通解.解：微分方程可化为 ，这是一阶线性非齐次微分方程，它对应的齐次线性微分方程的通解为.设非齐次线性微分方程的通解为，则，代入方程得,所以.故原微分方程的通解为(C为任意常数).得分评卷人四、应用题（每小题7分，共计14分）1. 一房地产公司有50套公寓要出租,当月租金定为2000元时,公寓会全部租出去,当月租金每增加100元时,就会多一套公寓租不出去,而租出去的公寓每月需花费200元的维修费.试问租金定为多少可获得最大收入?最大收入是多少?解：设每套公寓租金为元时,所获收入为元,则 ,整理得 均有意义,令得唯一可能的极

10、值点,而此时,所以是使达到极大值的点,即为最大值的点.最大收入为(元).故 租金定为每套3600元时,获得的收入最大,最大收入为115600元.2.平面图形由抛物线与该曲线在点处法线所围成,试求:(1)该平面图形的面积;(2)该平面图形绕轴旋转所成的旋转体的体积.解：平面图形如图05-3所示,切点处的切线斜率为,1-3图05-3由得,故点处的切线斜率,从而点处的法线斜率为-1,法线方程为.联立方程组得另一交点.(1) 把该平面图形看作Y型区域,其面积为;(2) 根据抛物线的对称性知,该平面图形绕轴旋转所成的旋转体的体积等于平面图形绕轴旋转所成旋转体的体积,有故 .得分评卷人五、证明题（6分）

11、试证：当 时，有.证明：构造函数，它在内连续，当时，函数在区间上连续，且. 故在上满足Lagrange中值定理,存在,使得，.而,故有,即时,成立.2006年河南省普通高等学校选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试高等数学试卷题号一二三四五六总分核分人分数得分评卷人一、单项选择题（每小题2分，共计60分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题干后面的括号内。不选、错选或多选者，该题无分.1.已知函数的定义域为 ，则 的定义域为 （ ） A. B. C. D. 解：.2.函数是 （ ）A奇函数 B. 偶函数 C.非奇非偶函数 D. 既奇又偶函数解： .3. 当时，是的 （ ） A

12、. 高阶无穷小 B. 低阶无穷小 C. 同阶非等价无穷小 D. 等价无穷小 解： .4.极限 （ ）A. B. 2 C. 3 D. 5解：.5.设函数，在处连续，则 常数 （ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3解：.6. 设函数在点处可导 ，则 （ ） A. B. C. D. -解： 7. 若曲线上点处的切线与直线平行，则点的坐标（ ）A. （2，5） B. （-2，5） C. （1，2） D.（-1，2） 解： .8.设，则 （ ） A. B. C.- D. 解： .9.设，为正整数),则 （ ） A. B. C. D. 0解：. 10.曲线 （ ）B. 有一条水平渐近线，一条垂直渐近

13、线 B. 有一条水平渐近线，两条垂直渐近线 C. 有两条水平渐近线，一条垂直渐近线， D. 有两条水平渐近线，两条垂直渐近线 解：.11.下列函数在给定的区间上满足罗尔定理的条件是 （ ）A. B. C. D 解：由罗尔中值定理条件：连续、可导及端点的函数值相等.12. 函数在区间内 （ ）A. 单调递增且图像是凹的曲线 B. 单调递增且图像是凸的曲线 C. 单调递减且图像是凹的曲线 D. 单调递减且图像是凸的曲线 解： . 13.若，则 （ ） A. B. C. D. 解：. 14. 设为可导函数，且 ，则 （ ） A. B. C. D. 解：. 15. 导数 （ ）A. B. 0 C. D

14、. 解：是常数，所以 .16.下列广义积分收敛的是 （ ）A. B. C. D. 解：. 17.设区域D由所围成，则区域D的面积为 （ ）A. B. C. D. 解：由定积分的几何意义可得D的面积为 .18. 若直线与平面平行，则常数（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5解： .19.设，则偏导数为 （ ）A.2 B.1 C.-1 D.-2解： .20. 设方程确定了函数 ，则 = （ ）A. B. C. D. 解： 令.21.设函数 ，则 （ ）A. B. C. D. 解： .22.函数 在定义域上内 （ ） A.有极大值，无极小值 B. 无极大值，有极小值 C.有极大值，有极小值 D

15、. 无极大值，无极小值解： 是极大值.23设D为圆周由围成的闭区域 ，则 （ ） A. B. 2 C.4 D. 16解：有二重积分的几何意义知：区域D的面积为.24.交换二次积分，常数）的积分次序后可化为 （ ）A. B. C. D. 解： 积分区域.25.若二重积分，则积分区域D为（ ） A. B. 得分评卷人C. D. 解：在极坐标下积分区域可表示为：，在直角坐标系下边界方程为，积分区域为右半圆域26.设为直线上从点到的直线段,则 （ ）A. 2 B.1 C. -1 D. -2解： 从1变到0，.27.下列级数中，绝对收敛的是 （ ）A B C D 解： 收敛.28. 设幂级数为常数），在

16、点处收敛，则 （ ）A. 绝对收敛 B. 条件收敛 C. 发散 D. 敛散性不确定解：在收敛，则在绝对收敛，即级数绝对收敛. 29. 微分方程的通解为 （ ） A. B. C. D. 解： .30.微分方程的特解用特定系数法可设为 （ ）A. B. C. D. 解：-1不是微分方程的特征根，为一次多项式，可设 .二、填空题（每小题2分，共30分）31.设函数 则_.解：.32.=_.解：. 33.设函数，则_.解： .34.设函数在处取得极小值-2，则常数分别为_.解：.35.曲线的拐点为 _.解： .36.设函数均可微，且同为某函数的原函数，有 则_.解：. 37. _.解：.38.设函数

17、，则 _.解： .39. 向量的夹角为_.解： . 40.曲线绕轴旋转一周所形成的旋转曲面方程为 _. 解：把中的换成，即得所求曲面方程.41.设函数 ，则 _.解： .42.设区域，则.解： . 43. 函数在 处展开的幂级数是. 解： .44.幂级数的和函数为 _.解：,.45.通解为（为任意常数）的二阶线性常系数齐次微分方程为_.解： .得分评卷人三、计算题（每小题5分，共40分）46计算 .解： .47.求函数的导数.解：取对数得 ：，两边对求导得：所以.48.求不定积分 .解： .49.计算定积分. 解： .50.设 ，其中皆可微，求 .解： .51计算二重积分，其中由所围成.解：积

18、分区域如图06-1所示，xyo12图06-1可表示为：. 所以 .52求幂级数的收敛区间（不考虑区间端点的情况）.解： 令，级数化为 ，这是不缺项的标准的幂级数.因为 ，故级数的收敛半径，即级数收敛区间为（-3，3）.对级数有，即.故所求级数的收敛区间为.53求微分方程 通解.解：微分方程可化为 ，这是一阶线性微分方程，它对应的齐次线性微分方程通解为.设非齐次线性微分方程的通解为，则，代入方程得.故所求方程的通解为.得分评卷人四、应用题（每小题7分，共计14分）54. 某公司的甲、乙两厂生产同一种产品，月产量分别为千件；甲厂月生产成本是（千元），乙厂月生产成本是（千元）.若要求该产品每月总产量

19、为8千件，并使总成本最小，求甲、乙两厂最优产量和相应最小成本.解：由题意可知：总成本，约束条件为.问题转化为在条件下求总成本的最小值 .把代入目标函数得 的整数）.则，令得唯一驻点为，此时有.故 是唯一极值点且为极小值，即最小值点.此时有.所以 甲、乙两厂最优产量分别为5千件和3千件，最低成本为38千元.55.由曲线和轴所围成一平面图形,求此平面图形绕轴旋转一周所成的旋转体的体积.解：平面图形如图06-2所示,此立体可看作X型区域绕轴旋转一周而得到。利用体积公式.显然，抛物线与两交点分别为（1，0）、（2，0）,平面图形在轴的下方.xyO 12图06-2故 .得分评卷人五、证明题（6分）56.

20、设在（，为常数）上连续， 证明： .并计算. 证明：因为，而，故即有 . 利用上述公式有.2007年河南省普通高等学校选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试高等数学试卷题号一二三四五六总分核分人分数一. 单项选择题（每题2分，共计50分）在每小题的备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题干后面的括号内.不选、错选或多选者，该题无分.1.集合的所有子集共有 （ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 解：子集个数。2.函数的定义域为 （ ） A. B. C. D. 解： 。3. 当时，与不等价的无穷小量是 ( ) A. B. C. D. 解：根据常用等价关系知，只有与比较不是等价的。应选A。

21、4.当 是函数 的 （ ） A.连续点 B. 可去间断点 C.跳跃间断点 D. 第二类间断点解： ；。5. 设 在处可导，且，则的值为（ ） A.-1 B. -2 C. -3 D.-4 解： 。 6.若函数在区间内有，则在区间内，图形 （ ）A单调递减且为凸的 B单调递增且为凸的 C单调递减且为凹的 D单调递增且为凹的解：单调增加；凸的。应选B。7.曲线的拐点是 （ ） A. B. C. D. 解：，应选A 。8.曲线的水平渐近线是 （ ）A. B. C. D. 解： 。9. （ ） A. 0 B. C.2 D. 1 解： 。 10.若函数是的原函数，则下列等式正确的是 （ ）A. B. C.

22、 D. 解：根据不定积分与原函数的关系知，。应选B。 11. （ ）A. B. C. D. 解：。12. 设，则 （ ） A.-3 B.-1 C.1 D.3 解： 。13. 下列广义积分收敛的是 （ ） A. B. C. D. 解：由积分和积分的收敛性知，收敛，应选C 。14. 对不定积分，下列计算结果错误是 （ ） A. B. C. D. 解：分析结果，就能知道选择C。15. 函数在区间的平均值为 （ ）A. B. C. 8 D. 4解： 。16. 过轴及点的平面方程为 （ ） A. B. C. D. 解：经过轴的平面可设为，把点代入得应选C。也可以把点代入所给的方程验证，且不含。17. 双

23、曲线绕轴旋转所成的曲面方程为 （ ）A. B. C. D. 解：把中换成得，应选A。18. （ ） A. B. C.0 D. 极限不存在解： 。 19.若，则 （ ） A. B. 1 C. D. 0 解： 。20. 方程 所确定的隐函数为，则 （ ）A. B. C. D. 解：令，应选A。21. 设为抛物线上从到 的一段弧，则 （ ） A.-1 B.0 C.1 D.2解：从0变到1， 。22.下列正项级数收敛的是 （ ）A. B. C. D. 解：对级数、需要利用积分判别法，超出大纲范围。级数有结论：当时收敛，当时发散。级数、与级数利用比较判别法的极限形式来确定-发散的，应选C。23.幂级数的

24、收敛区间为 （ ） A. B. C. D.解： 令，级数化为收敛区间为，即。24. 微分特解形式应设为 （ ） A. B. C. D. 解： 不是特征方程的特征根，特解应设为。应选B。25.设函数是微分方程的解，且，则在处（ ）A.取极小值 B. 取极大值 C.不取极值 D. 取最大值解：有 。得分评卷人二、填空题（每题2分，共30分）26.设，则_.解： 。27._.解：构造级数，利用比值判别法知它是收敛的，根据收敛级数的必要条件。 28.若函数在处连续，则_. 解：。29.已知曲线上点处的切线平行于直线，则点的坐标为 _解：。30.设，则 _解： 。31.设，则_解： 。32. 若函数在处

25、取得极值2，则_，_解：；。33. _解：。34_ 解：。35.向量的模_解：。36. 已知平面：与平面：垂直，则_解：。37.设，则_ 解：。 38.已知，交换积分次序后，则_ 解： ，所以次序交换后为。39.若级数收敛，则级数的和为 _解：，而，所以。40.微分方程的通解为_ 解：有二重特征根1，故通解为（为任意常数）。得分评卷人三、判断题（每小题2分，共10分）你认为正确的在题后括号内划“”，反之划“”.41.若数列单调，则必收敛. ( )解：如数列单调，但发散，应为。42.若函数在区间上连续，在内可导，且，则一定不存在，使. ( )解：如在满足上述条件，但存在，使得，应为。43. (

26、)解：第二步不满足或，是错误的，事实上。应为。44. ( )解：因，由定积分保序性知：，应为。45.函数在点处可微是在处连续的充分条件.( )解：在点处可微可得在点处连续，反之不成立，应为应为。得分评卷人四、计算题（每小题5分，共40分）46求. 解： 。47.求函数的导数.解： 两边取自然对数得 ，-（1分） 两边对求导得：，-（3分）即，-（4分）故 。-（5分）48.求不定积分.解： -（1分） -（3分）-（4分）。-（5分）49.计算定积分 .解：因，所以-（2分）-（4分）。-（5分）50.设，且为可微函数，求. 解：令 ，有，利用微分的不变性得 -（3分） -（4分） -（5分）51计算，其中为圆环区域：.解：积分区域如图07-1所示：的边界、用极坐标表示分别为，；故积分区域在极坐标系系下为图07-1，-（2分）