河北大学自控课件7.ppt

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1、第七章 线性离散系统,离散系统的基本概念 信号的采样和保持 差分方程与Z变换 脉冲传递函数 离散系统的性能分析,一、基本概念,如果控制系统的某些环节或元件，其工作信号在时间上是离散的，即仅在离散的时间点上取值，这样的动态系统称为离散系统或采样控制系统。 线性离散控制系统是指系统的连续部分是线性的，且采样器的输出信号与输人信号也成线性关系的离散控制系统。,采样控制系统 数字控制系统,1. 采样控制系统,(a) 炉温连续控制系统,(b) 炉温采样控制系统,t,t,炉温,阀门开度,炉温采样控制系统框图,2. 数字控制系统,A/D：模数转换器，将连续的模拟信号转换为离散的数字信号。包括采样与量化两过程

2、。,D/A：数模转换器，将离散的数字信号转换为连续的模拟信号。包括解码与复现两过程。,计算机控制系统的优点,有利于实现高精度， 采样信号特别是数码信号的传递，能有效地抑制噪声，从而提高了系统的抗干扰能力。 由于采用计算机作为系统的控制器，因而这类系统不仅能完成复杂的控制任务，而且还易于实现修改控制器的结构参数，以满足工程实际的需要。 计算机除了作控制器之外，还兼有显示报警等多种功能。,二、信号的采样和保持,1. 信号采样及数学描述,2. 载波脉冲序列的选择,实际系统中不可能得到理想的单位脉冲 ，都是以不同形式的脉冲来代替。,傅立叶变换,不论脉冲函数的形状如何，在 接近0的低频段，频谱总是近似等

3、于冲量 惰性对象的频率特性的通频带相对于脉冲函数的频谱要窄得多。 在高频段，输入脉冲的频谱虽然因脉冲形状不同而不同，但由于对象的频率特性已逐渐减小到几乎等于0，所以脉冲频谱中的高频成分在输出中反映不出来。,3. 采样定理,采样信号需要恢复成连续信号才能对对象进行控制，这个工作是由保持器来完成的。 信号能否恢复到原来的形状，除取决于保持器的性能外，更重要的还取决于采样信号所包含的反映原信号波形信息的频谱形状保留的完备的程度。,香农定理：如果被采样的连续信号x(t)的最高次谐波的角频率为m ，采样信号角频率为c ，当满足c 2 m时，可以用理想的滤波器将采样后的信号x*(t)不失真地复现为x(t)

4、。,4. 零阶保持器,理想滤波器,零阶保持器,零阶保持器的幅值随的增大而衰减，具有明显的低通滤波器特性。但它并不是理想滤波器，还允许高频分量通过。由于采样系统中的连续部分也具有低通滤波特性，会使通过保持器的高频成分的绝大部分被滤掉，加之零阶保持器比较简单，所以在实际中被广泛采用。,三、差分方程与Z变换,反映系统动态特性的信息是脉冲或数字序列，微商的概念在此失去了意义。因此用差分方程和脉冲传递函数来描述系统的动态特性。,1. Z变换的定义,2. Z变换的方法 （级数求和法和部分分式法）,例7-2,的Z变换,级数求和法,将Z变换的定义式展开： E(z)=e(0)+e(T)z-1+ e(2T)z-2

5、+ e(nT)z-n+ 对于常用函数Z变换的级数形式，都可以写出其闭合形式。,例7-3,的Z变换。, 先求出已知连续时间函数e(t)的拉氏变换E (s)； 将E (s)展开成部分分式之和的形式； 求拉氏反变换，再求Z变换E(z)。,部分分式法,例7-4 已知,求,逐项取拉氏变换，可得,由Z变换表可得,3. Z变换的性质,(1) 线性定理 若 E1(z)=Ze1(t)，E2(z)=Ze2(t)，a为常数，则 Ze1(t)+e2(t)= E1(z)+ E2(z)，Zae(t)=a E(z),例 已知e(t)=1(t-T),求Z变换E(z)。,(2) 实数位移定理 若 E(z)=Ze(t)， 则 Z

6、e(t-kT)=z-kE(z), Ze(t+kT)=,解：,(3) 复数位移定理 已知e (t)的z变换为E(z) ，则有,根据复数位移定理，有,例 已知e(t)=t e-at,求Z变换E(z)。,Ze(t) e at=E(z e at),解：已知单位斜坡信号的z变换为,(4) z域微分定理 若 e (t)的z变换为E(z)，则,若 e (t)的z变换为E(z)，则 zane(t)=E(z/a) , a为常数,例 试求ncost的Z变换。,(5) z域尺度定理,解：由变换表,若e (t)的z变换为E(z)，并有极限 存在，则,(6) 初值定理,若e (t)的z变换为E(z)，函数序列e(nT)

7、为有限值(n=0,1,2,)， 且极限 存在，则,设x(nT)和y(nT)为两个采样函数，其离散卷积定义为 x(nT)y(nT)= ，则卷积定理为： Zx(nT)y(nT)=X(z)Y(z),(7) 终值定理,（8）卷积定理,4. Z反变换,Z变换表实际只能给出原函数的一串离散数值x(k)，而不能给出原函数x(t ),级数展开法,只要求得上述形式 的级数，便知道时间函数在采样点的函数值序列。,利用X(z)的形式是有理分式的特点，将X(z)通过部分分式分解为低阶的分式之和。这些低阶分式可直接与Z变换表对照求出其Z反变换。在部分分式法中时，通常首先将式X(z)/z展成部分分式，这是由于在X(z)中

8、通常合有一个z因子，这样进行部分分式往往比较容易。,部分分式法,例7-8 设,求其Z反变换。,解：,例7-9,用部分分式法求,解：首先将,进行部分分式分解,再求,的分解因式,由表7-1查得,5. 线性常系数差分方程及其解法,1. 迭代法 根据给定差分方程和输出序列的初值，则可以利用递推关系，一步一步算出输出序列。,2.Z变换法 用Z变换法解差分方程的实质，是对差分方程两端取Z变换，并利用Z变换的位移性质，得到以z为变量的代数方程，然后对代数方程的解C(z)取Z反变换即求得输出序列。,式中：k第k个采样周期； n系统的阶次。,一般n阶线性定常离散系统的输出和输入之间的关系，可用n阶常系数差分方程

9、描述。,工程中常用迭代法和Z变换法来求解差分方程：,四、脉冲传递函数,脉冲传递函数：零初始条件下，系统输出C(t)的z变换C(z)与输入r(t)的z变换R(z)之比，称为脉冲传递函数，即G(z)=C(z)/R(z)。,1. 脉冲传递函数,采样系统的方框图,脉冲传递函数的传递关系,注意：脉冲传递函数表示的是输出离散信号与输入的离散信号之间的关系，只有输入确实是离散的信号的时候才能借助式 求取输出的离散形式。,由于输入信号没有经过采样，不是脉冲序列，所以不能用C(z)=R(z)G(z) 来求。应该先由连续系统求出C(s) ，再进Z变换。,2. 串联环节的脉冲传递函数,中间有采样器的开环串联系统,中

10、间无采样器的开环串联系统,当相互串联的两个环节中间有采样器存在时，或者前面环节的输出是离散信号时，则环节串联的脉冲传递函数是两个环节各自脉冲传递函数的乘积，而当两个环节间没有采样器存在，并且前面环节的输出也不是离散信号时，则其脉冲传递函数是S域总传递函数的Z变换。,有零阶保持器的情况,连续信号进入连续环节,C1,C2,例7-12 求图示系统的脉冲传递函数。,解,例7-13 求图示系统的脉冲传递函数,解,思考题,已知某系统的单位脉冲响应 求系统的脉冲传递函数。 某离散系统的差分方程为 求其脉冲传递函数。,2. 闭环系统的脉冲传递函数,由于环节串接时脉冲传递函数受采样器位置和数目的影响，因此闭环系

11、统的脉冲传递函数也将有不同的形式,输出c(t)对于输入r(t)的脉冲传递函数,2. 闭环系统的脉冲传递函数,由于环节串接时脉冲传递函数受采样器位置和数目的影响，因此闭环系统的脉冲传递函数也将有不同的形式,输出c(t)对于干扰输入f(t)的脉冲传递函数,第一条：是抓住采样开关处的输出信号作为中间变量，根据信号流经回路后在采样开关处闭合建立方程 第二条：能熟练运用串联开环系统Z传递函数的推导方法正确写出一条通路的Z传递函数，或输出变量的Z变换式。,五、离散系统的性能分析,为系统的闭环脉冲传递函数，设它有n个极点用,若,系统的输入序列在输出中得到复现，系统是稳定的。,离散控制系统稳定的充要条件是：系

12、统闭环脉冲传递函数的所有极点均位于Z平面上的单位圆内。,1. 稳定性,S域到Z域的映射,离散系统的稳定性判据,，,Z平面上的特征方程f(z)=0,在W平面上的特征方程f(w)=0,f(z)=0的所有根位于Z平面的单位圆内,f(w)=0的所有根位于W平面左半平面,S域的虚轴映射成Z域的圆周；左半S平面映射在圆周内；右半S平面映射在圆周外,例 设闭环离散系统如图所示，其中采样周期 ，试求系统稳定时K的临界值。,闭环脉冲传递函数,故闭环特征方程,令,化简后，得,列出劳思表,为保证系统稳定，必须使,即,系统稳定的临界增益,例：设系统的结构图如下图所示，采样周期T=1s 。设 K=10,试分析系统的稳定

13、性，并求系统的临界放大系数。,解 （1）,由此得系统特征方程为 z2+2.31z+3=0 求解得一对共轭复根 1=-1.156j1.29 2=-1.156-j1.29 分布在单位圆外，因此系统是不稳定的。,得系统特征方程为 z2-(1.368-0.368K)z+(0.368+0.264K) =0,（2） 系统开环脉冲传递函数,得到系统的临界放大系数为: Kc=2.4,列劳思表 w2 2.736-0.104K 0.632K w1 1.264-0.528K 0 w0 0.632K,为使系统稳定，须有,进行w变换得 (2.736-0.104K)w2+(1.264-0.528K)w+0.632K=0,

14、2. 稳态误差,计算方法,用Z变换终值定理求出系统的稳态误差 (z-1)E(z)的极点全部位于Z平面上的单位圆内（包括z=1） 由误差的Z变换象函数E(z)求出误差的时域表达式e(k)，然后按照稳态误差的定义 求得稳态误差表达式。,例 如图所示离散系统，其中T=0.1s,K=1，输入连续信号r(t)分别为1(t)和t,试求离散系统相应的稳态误差。,(1) 单位阶跃输入时 r(t)=1(t),(2) 单位斜坡输入时 r(t)=t,(3) 单位加速度输入时 r(t)=t2/2,误差系数法,在采样系统中我们则根据开环脉冲函数G(z)中含有的z=1的极点的个数也把系统分成0型、1型、2型等。,例： 设

15、系统的结构图如下图所示，K=1, T=0.1s ,r(t)=1(t)+t, 求系统的稳态误差。,系统的稳态误差为,解：系统的开环传递函数为,把T=0.1代入化简得,3. 离散系统的动态性能分析,闭环极点位置与自由响应的关系,系统的自由响应由跟系统特征根对应的运动形式组成 系统的动态性能取决于闭环极点的分布位置,例: 试用根轨迹法分析图示系统。,可求得开环脉冲传递函数,由系统的开环传递函数,系统有两个开环极点p1=1,p2=0.368，和一个开环零点z=0。 根据绘制根轨迹的规则可知，当K从0变至+时根轨迹是一个圆。其中一个分离点和一个会合点的坐标分别为0.607和0.607。 根轨迹与单位圆交点的K值可以根据模条件求得为4.33，它就是系统的临界开环比例系数。 当0K4.33时该系统的闭环极点都在单位圆内，或是两个实极点，或是一对共扼复极点。,