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1、第五章 大数定律及中心极限定理,概率统计是研究随机变量规律性的数学学科，而随机现象的规律性只有对大量的随机现象的考察中才能显现出来，研究大量随机现象的统计规律，常常采用极限定理的形式去刻画，由此导致对极限定理的研究，极限定理的内容非常广泛，本章只讨论大数定理和中心极限定理。,第一部分 大数定律,一、契比雪夫不等式,三、基本定理,二、典型例题,四、小结,一、契比雪夫不等式,证明,取连续型随机变量的情况来证明.,切比雪夫不等式,得,契比雪夫不等式的含义,契比雪夫不等式用于估计X落入区间(E(X)-, E(X)+)的概率 当方差D(X)很小时, X落入区间(E(X)-, E(X)+)是大概率事件;
2、X落入区间(E(X)-, E(X)+)之外是小概率事件.,例5-1 设X是抛掷一枚骰子所出现的点数,若给定=2, 2.5, 实际计算P|X-E(X)|, 并验证契比雪夫不等式成立.,解:,X的分布律为,所以,故,二、典型例题,例5-1 设X是抛掷一枚骰子所出现的点数,若给定=2, 2.5, 实际计算P|X-E(X)|, 并验证契比雪夫不等式成立.,|X-7/2|,5/2 3/2 1/2 1/2 3/2 5/2,若=2, 则P|X-E(X)|=P|X-7/2|2,=1/3,可见契比雪夫不等式成立,例5-1 设X是抛掷一枚骰子所出现的点数,若给定=2, 2.5, 实际计算P|X-E(X)|, 并验
3、证契比雪夫不等式成立.,|X-7/2|,5/2 3/2 1/2 1/2 3/2 5/2,若=2.5, 则P|X-E(X)|=P|X-7/2|2.5,=1/3,可见契比雪夫不等式成立,例 已知随机变量X的期望E(X)=100,方差D(X)=10,估计X落在80到120内的概率.,解,解,例5-2,练习1 某厂生产的一批产品，一等品率为15%，现从 中随机的抽取10000件发往外地，试估计其中一等品的件数与1500件相差不超过100的概率 .,练习2,解,练习1 某厂生产的一批产品，一等品率为15%，现从中随机的抽取10000件发往外地，试估计其中一等品的件数与1500件相差不超过100的概率 .
4、,练习2,解,定理5-2（贝努利大数定理）,三、基本定理,关于贝努利定理的说明:,故而当 n 很大时, 事件发生的频率与概率有较大偏差的可能性很小. 在实际应用中, 当试验次数很大时, 便可以用事件发生的频率来代替事件的概率.,独立同分布随机变量序列,设随机变量序列X1, X2,Xn, 是相互独立的,若对任意的n1, X1, X2,Xn是相互独立的, 且所有的变量Xi又具有相同的分布,则称X1, X2,Xn, 是独立同分布随机变量序列。,定理5-3（独立同分布随机变量序列的契比雪夫大数定律）,契比雪夫定理的特殊情况,表达式的意义,证明,由契比雪夫不等式可得,则,关于定理5-3的说明:,（这个接
5、近是概率意义下的接近）,即在定理条件下, n个随机变量的算术平均, 当n无限增加时, 几乎变成一个常数.,定理5-3的另一种叙述:,四、小结,两个大数定理,契比雪夫不等式,贝努利大数定理,契比雪夫定理的特殊情况,频率的稳定性是概率定义的客观基础, 而伯努利大数定理以严密的数学形式论证了频率的稳定性.,第二部分 中心极限定理,一、问题的引入,二、基本定理,三、小结,正态分布在概率论与数理统计中占有很重要的地位，在自然界与工程实践中经常遇到大量的随机变量都是服从正态分布的. 在某些条件下，即使原来不服从正态分布的一些随机变量，它们的和的分布当随机变量的个数无限增加时也趋于正态分布。 在概率论中，把
6、有关论证随机变量和的极限分布为正态分布的一类定理称为中心极限定理。,一、问题的引入,二、基本定理,定理5-4（独立同分布的中心极限定理）,定理5-4表明:,注：,1、,注：,2、,例5-3 对敌人的防御地段进行100次射击，每次射击的命中目标的炮弹数是一个随机变量，其数学期望为2，均方差为1.5，求这100次射击中有180颗到220颗炮弹命中目标的概率.,解,设Xi (i=1,2,100)为第i次射击时命中目标的炮弹数，,由于100次射击时命中目标的炮弹数为,则由题意Xi (i=1,2,100)同分布且相互独立， E(Xi)=2, D(Xi)=1.52,则,例5-4 某种电器元件的寿命服从均值
7、100（单位：小时）的指数分布，现随机抽出16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件寿命总和大于1920小时的概率.,解,设Xi (i=1,2,16)为第i只电器元件的寿命，,由于16只电器元件的寿命总和为,则由题意Xi (i=1,2,100)同分布且相互独立， E(Xi)=100, D(Xi)=1002,则,解,由定理5-4, 随机变量 Z 近似服从正态分布 N (0,1) ,练习,其中,证明,根据第二章第二节可知,定理5.5 (德莫佛拉普拉斯中心极限定理),Zn,根据定理5-4得,定理表明:,正态分布是二项分布的极限分布, 当n充分大时, 可以利用该定理来计算二项分布的概率.,Zn,
8、2、在贝努利试验中，若事件A发生的概率为p.又设 为n次独立重复试验中事件A发生的频率，则当n充分大， 近似服从于正态分布,结论：,1、在贝努利试验中，若事件A发生的概率为p.又设 为n次独立重复试验中事件A发生的频数，则当n充分大， 近似服从于正态分布,解,例5-5,根据定理5-5，,服从标准正态分布,解,例5-6 某单位内部有1000台电话分机，每台分支有5%的时间使用外线电话，假定各个分支是否使用外线是相互独立的，该单位总支至少需要安装多少条外线，才能以95%以上的概率保证每台分支需要使用外线不被占用？,根据题意，N为满足条件的 最小正整数,由于,故,查标准正态分布表得,故,由此,即该单
9、位总支至少需要62条外线，才能以95%以上的概率保证每台分支在使用外线时不被占用。,一船舶在某海区航行, 已知每遭受一次海浪的冲击, 纵摇角大于 3 的概率为1/3, 若船舶遭受了90 000次波浪冲击, 问其中有29 50030 500次纵摇角大于 3 的概率是多少？,练习1,练习2 某保险公司的老年人寿保险有1万人参加,每人每年交200元. 若老人在该年内死亡,公司付给家属1万元. 设老年人死亡率为0.017,试求保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率.,练习1 一船舶在某海区航行, 已知每遭受一次海浪的冲击, 纵摇角大于 3 的概率为1/3, 若船舶遭受了90000次波浪冲击, 问其中有
10、29 50030 500次纵摇角大于 3 的概率是多少？,解,将船舶每遭受一次海浪的冲击看作一次试验,并假设各次试验是独立的,在90000次波浪冲击中纵摇角大于 3 的次数为 X,则 X 是一个随机变量,所求概率为,分布律为,直接计算很麻烦，利用德莫佛拉普拉斯定理,练习2 某保险公司的老年人寿保险有1万人参加,每人每年交200元. 若老人在该年内死亡,公司付给家属1万元. 设老年人死亡率为0.017,试求保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率.,解,设 X 为一年中投保老人的死亡数,则,则保险公司亏本的概率为,由德莫佛拉普拉斯定理知,三、小结,二个中心极限定理,独立同分布的中心极限定理,德莫佛拉普拉斯中心极限定理,中心极限定理表明, 在相当一般的条件下, 当独立随机变量的个数增加时, 其和的分布趋于正态分布.,