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1、0,（Rotation of Rigid Body about a Fixed Axis）,4.1 刚体的运动,4.5 刚体的角动量和角动量守恒定律,4.4 定轴转动中的功和能,4.2 刚体定轴转动,4.3 转动定律及应用举例,退 出,第四章 刚体的定轴转动,1,刚体（rigid body）：特殊的质点系在外力作用下，形状和体积不变化， 理想化的模型。,平动（translation）时，刚体上所有点运动都相同，故刚体可简化为质点。,上页,下页,退出,返回,4.1 刚体的运动,2,刚体的一般运动，都可看作是平动和转动的叠加，所以平动和转动可以描述所有质点的运动。,如果刚体的各个质点在运动中都绕同
2、一直线作圆周运动，称转动（rotation）； 这一直线称转轴。,上页,下页,退出,返回,3,刚体的定轴转动,上页,下页,退出,返回,4,角加速度矢量,速度加快时，角加速度和角速度同向，否则反向。,为了充分反映刚体转动的快慢，引入角速度矢量 ，方向由以下关系确定,上页,下页,退出,返回,4.2 刚体的定轴转动 （rotation about affixed axis）,5,一、转动动能和转动惯量,上页,下页,退出,返回,6,为刚体对 z 轴的转动惯量,Rotational inertia,转动惯量的计算,J 为标量,上页,下页,退出,返回,与刚体的质量有关,质量一定时与质量的分布有关，即与刚体
3、的形状、大小、各部分的密度有关；,与转轴的位置有关,SI：,7,二. 常用的几个J,均匀圆环：,均匀圆盘：,上页,下页,退出,返回,8,均匀杆：,上页,下页,退出,返回,对C轴：,对A轴：,9,=0,=m,上页,下页,退出,返回,10,上页,下页,退出,返回,11,力与力臂的乘积。,F,P,d,r,r,根据矢量乘积法则：,用矢量方法表示力矩：,单位：牛顿米， N m,方向：从r 沿小于 角右旋到F，大拇指指向。,4.3 转动定律及应用举例,一、力矩,上页,下页,退出,返回,12,r,F,M,M 的方向垂直于 r 与 F 构成的平面。,例2：一匀质细杆，长为 l 质量为 m ，在摩擦系数为 的水
4、平桌面上转动，求摩擦力的力矩 M阻。,上页,下页,退出,返回,13,解：杆上各质元均受摩擦力作用，但各质元受的摩擦阻力矩不同，靠近轴的质元受阻力矩小，远离轴的质元受阻力矩大，,细杆的质量密度,质元质量,质元受阻力矩,上页,下页,退出,返回,14,细杆受的阻力矩,由细杆质量,有,上页,下页,退出,返回,15,1.第一定律：一个可绕固定轴转动的刚体，当它所受的合外力矩等于零时，它将保持原有的角速度不变。,二、 转动定律,上页,下页,退出,返回,从实验可知，刚体转动的角加速度与合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。,写成等式,2.第二定律,16,与牛II比较：,上页,下页,退出,返回,在国际单位制
5、下 k=1,刚体作定轴转动时，合外力矩等于刚体的转动惯量与角加速度的乘积。,1. 是矢量式,2. 具有瞬时性。,17,1.确定研究对象。,2.受力分析（只考虑对转动有影响的力矩）。,3.列方程求解(平动物体列牛顿定律方程，转动刚体列转动定律方程和角量与线量关系)。,三. 解题方法及应用举例,第一类问题：已知运动情况和 J，确定运动学和动力学的联系- ，从而求出 M或 F。,上页,下页,退出,返回,18,例3：长为 l、质量为 m 的细杆，初始时的角速度为 0，由于细杆与桌面的摩擦，经过时间 t 后杆静止，求摩擦力矩 M阻。,解：以细杆为研究对象，只有摩擦阻力产生力矩，由匀变速转动公式：,上页,
6、下页,退出,返回,19,细杆绕一端的转动惯量,则摩擦阻力矩为：,上页,下页,退出,返回,20,第二类问题：已知 J 和力矩M ：求出运动情况 a 和 及 F。,例4：质量为 m1和m2两个物体，跨在定滑轮上 m2 放在光滑的桌面上，滑轮半径为 R，质量为 M，求：m1 下落的加速度，和绳子的张力 T1、T2。,T1,T2,上页,下页,退出,返回,21,解：受力分析,（1）,（2）,（3）,T1,T2,上页,下页,退出,返回,22,联立方程（1）-（4）求解得,讨论：当 M=0时,上页,下页,退出,返回,23,第三类问题：已知运动情况 和力矩M ，求未知刚体转动惯量 J。,例5：测轮子的转动惯量
7、 用一根轻绳缠绕在半径为 R、质量为 M 的轮子上若干圈后，一端挂一质量为 m 的物体，从静止下落 h 用了时间 t ,求轮子的转动惯量 J。,上页,下页,退出,返回,24,以m为研究对象,以M为研究对象,物体从静止下落时满足,补充方程：,联立方程（1）-（4）求解得：,上页,下页,退出,返回,25,4.4 定轴转动中的功能关系,一. 力矩的功,上页,下页,退出,返回,将F分解为切向力和法向力。,刚体转过 d, 作用点的位移为 ds, 法向力Fn 不作功，只有切向力作功，,其中,由功的定义,26,上页,下页,退出,返回,对于恒力矩作功,恒力矩的功为力矩与角位移的乘积。,由功率的定义：,二、力矩
8、的功率,则,27,刚体在力矩的作用下转过一定角度，力矩对刚体做了功，作功的效果是改变刚体的转动状态，改变了刚体的什么状态？,由力矩的功定义：,三、刚体绕定轴转动的动能定理,其中力矩,则功,上页,下页,退出,返回,28,刚体定轴转动的动能定理,刚体转动动能定理：合外力矩对绕定轴转动的刚体作功的代数和等于刚体转动动能的增量。,上页,下页,退出,返回,29,1.确定研究对象。,2.受力分析，确定作功的力矩。,3.确定始末两态的动能，Ek0、Ek。,4.列方程求解。,例6：一细杆质量为m，长度为l，一端固定在轴上，静止从水平位置摆下，求细杆摆到铅直位置时的角速度。,四、应用转动动能定理解题方法,上页,
9、下页,退出,返回,30,解：以杆为研究对象，,只有重力产生力矩，且重力矩随摆角变化而变化。,重力矩作功：,上页,下页,退出,返回,31,始末两态动能：,由动能定理：,上页,下页,退出,返回,32,当系统中既有平动的物体又有转动的刚体，且系统中只有保守力作功，其它力与力矩不作功时，物体系的机械能守恒。,其中,例7：如图所示的物体系中，倔强度系数为 k的弹簧开始时处在原长，定滑轮的半径为 R、转动惯量为 J，质量为 m 的物体从静止开始下落,求下落 h 时物体的速度 v。,上页,下页,退出,返回,33,解：在物体 m 下落过程中只有重力和弹力保守力作功，物体系机械能守恒。,选择弹簧原长为弹性 0
10、势点，物体下落 h 时为重力 0 势点。,求解得,上页,下页,退出,返回,34,在质点运动中介绍了冲量的概念-力对时间的累积效应。 在刚体转动中引入冲量矩的概念-力矩对时间的累积效应。,冲量：,冲量矩：,单位：牛顿米秒（ N m s）,上页,下页,退出,返回,4.5 刚体的角动量和角动量守恒定律,35,质点的动量定理,由冲量矩定义：,其中,上页,下页,退出,返回,其中,36,定义：,为角动量，,单位：千克米2/秒（kgm2/s）,方向：与角速度方向一致。,上页,下页,退出,返回,37,对于质点也可引入角动量的概念。,例如人造地球卫星绕地球转动,质点的转动惯量为：,则,角动量定义,注意,上页,下
11、页,退出,返回,其中r 为质点到轴的距离,38,角动量定理(动量矩定理)：刚体受到的冲量矩等于刚体角动量的增量。,上页,下页,退出,返回,39,质点系的动量守恒定律：当合外力为0时，动量守恒。,对于刚体所受的合外力矩为0时,又如何呢？,由角动量定理：,上页,下页,退出,返回,40,角动量(动量矩)守恒定律:当刚体受到的合外力矩为0 时，刚体的角动量守恒。,上页,下页,退出,返回,条件：当刚体受到的合外力矩为0时，,1.角动量(动量矩)守恒定律,41,.对于非刚体，转动惯量J发生变化的物体，,由于J =C，,上页,下页,退出,返回,2.明确几点,.对于刚体定轴转动，转动惯量J为常数，角速度 也为
12、常数， =0,即刚体在受合外力矩为0时，原来静止则永远保持静止，原来转动的将永远转动下去。,42,上页,下页,退出,返回,43,例8：人与转盘的转动惯量J0=60kgm2,伸臂时臂长为l1= 1m，收臂时臂长为 l2= 0.2m。人站在摩擦可不计的自由转动的圆盘中心上，每只手抓有质量 m=5kg的哑铃。伸臂时转动角速度 1 = 3 s-1,求收臂时的角速度 2 。（人手臂收缩引起的角动量变化不计）,上页,下页,退出,返回,44,解：整个过程合外力矩为0，角动量守恒，,J0=60kgm2，l1= 1m， l2= 0.2m, m=5kg， 1 = 3 s-1,上页,下页,退出,返回,45,由转动惯
13、量的减小，角速度增加。,在此过程中机械能不守恒，因为人收臂时做功。,上页,下页,退出,返回,1 = 3 s-1,46,解：两飞轮通过摩擦达到共同速度,合外力矩为0，系统角动量守恒。,共同角速度,例9：两个共轴飞轮转动惯量分别为J1、J2，角速度分别为 1 、2，求两飞轮啮合后共同的角速度 。啮合过程机械能损失。,上页,下页,退出,返回,47,其中,共同角速度,啮合过程机械能损失,上页,下页,退出,返回,48,例11: 长为l，质量为m0的细棒，可绕垂直于一端的水平轴自由转动。棒原来处于平衡状态。现有一质量为m的小球沿光滑水平面飞来，正好与棒下端相碰（设碰撞完全弹性）使杆向上摆到 处，求小球的初速度。,解：第一过程：小球和棒完全弹性碰撞。,上页,下页,退出,返回,49,第二过程：从碰撞后得到角速度到棒上升到=60处。取棒、地球为系统。因系统中无外力和非保守内力做功。所以系统的机械能守恒，即,由上列三式解得,上页,下页,退出,返回,50,例12: 一质量M，半径为R的圆柱，可绕固定的水平轴自由转动。今有一质量为m，速度为v0的子弹，水平射入静止的圆柱上部(近似看作在圆柱边缘)，且停留在圆柱内, 求：（1）子弹与圆柱的角速度。 （2）该系统的机械能的损失。,解：（1）子弹与圆柱发生完全非弹性碰撞。,上页,下页,退出,返回,51,（2）损失的机械能：,其中,上页,下页,退出,返回,