填空题的做法第二讲改.ppt

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1、第2讲填空题的做法,1.填空题的类型填空题具有小巧灵活、结构简单、概念性强、运算量不大、不需要写出求解过程而只需要写出结论等特点.从填写内容看，主要有两类：一类是定量填写，一类是定性填写.,2.填空题的特征只需要将结论直接写出的“求解题”. 填空题与选择题也有质的区别：第一，表现为填空题没有备选项，第二，填空题的结构往往是在一个正确的命题或断言中，抽出其中的一些内容（既可以是条件，也可以是结论），留下空位，让考生独立填上，考查方法比较灵活.,3.解填空题的基本原则解填空题的基本原则是“小题不能大做”，基本策略是 “巧做”.解填空题的常用方法有：直接法、特例法、数形结合

2、法等.,一、直接法,例1 （2009海口模拟）在等差数列an中，a1=-3，11a5=5a8-13，则数列an的前n项和Sn的最小值为 . 思维启迪计算出基本量d，找到转折项即可.,解析设公差为d，则11(-3+4d)=5(-3+7d)-13， d= . 数列an为递增数列. 令an0，-3+（n-1） 0，n ， nN*，前6项均为负值，Sn的最小值为S6=- . 答案,变式训练1 （2009全国理，14）设等差数列an的前n项和为Sn,若S9=72，则a2+a4+a9= . 解析设等差数列的首项为a1，公差为d, 则a2+a4+a9=a1+d+a1+3d+a1+8d=3(a1+4

3、d), 又S9=72，S9=9a1+ d=9(a1+4d)=72, a1+4d=8,a2+a4+a9=24.,24,二、特例法,例2 （2009东营调研）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，如果a、b、c成等差数列，则 = . 思维启迪由题意知，本题结果与ABC的形状无关，只需取符合要求的特殊值即可.,解析方法一取特殊值a=3,b=4,c=5，则cos A= ,cos C=0, . 方法二取特殊角A=B=C= ,cos A=cos C= , . 答案,探究提高当填空题题设条件中虽含有某些不确定量，但填空题结论唯一或题设条件暗示答案为定值时，可以考虑采用特殊化技巧.在解

4、题过程中，将题中变化的不定量选取适当特殊值（或特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊方程、特殊模型，或图形的特殊位置，特殊点等）进行处理，从而快速得出结论，大大简化推理论证过程.,变式训练2 已知直线ax+by+c=0与圆O：x2+y2=1相交于A、B两点，且|AB|= ，则 = . 解析特殊化，取a=1,b=0,c=- , 设A（x1,y1）,B(x2,y2)，则 x1=x2= ,y1y2=- =- , =x1x2+y1y2= - =- .,三、转化法,有的题目可以将命题转化，使问题化繁为简、化陌生为熟悉，从而将问题解决.,例3 若数列an中，a1=1,an+1=3Sn(n1)，则Sn= .

5、解析方法一 an+1=3Sn(n1), an=3Sn-1(n2), -得an+1-an=3(Sn-Sn-1)=3an(n2), an+1=4an(n2)，又a2=3S1=3a1=3， =4(n2)，a2,a3,an是首项为3，公比为4的等比数列，,Sn= 当n=1时，4n-1=1，即Sn=4n-1(n1). 方法二 an+1=3Sn(n1)， Sn+1-Sn=3Sn（n1），即Sn+1=4Sn（n1），又S1=a1=1， =4（n1），即Sn是首项为1，公比为4的等比数列. Sn=4n-1（n1）.,答案 4n-1,探究提高以上两种解法体现了对关系式an+1=3Sn （n1）的两种不同

6、的处理方法，方法一是消去Sn，此时要用变量观点看待关系式an+1=3Sn（n1），先得到其姊妹式an=3Sn-1（n2），然后通过两式相减得到an+1与an的关系式，再对an+1与an的关系式进行处理，求出an的通项公式，进而求出Sn.方法二是利用an+1=Sn+1-Sn消去an+1从而得到Sn+1与Sn的关系式，通过研究数列Sn的特性，再求出其通项公式.,变式训练3 二次函数y=ax2+bx+c(xR)的部分对应值如下表：则不等式ax2+bx+c0的解集是 . 解析据表中可得c=-6,ax2+bx+c=0的两根分别为 x1=-2,x2=3, =-6得a=1,- =-2+3得b=-1 y=

7、x2-x-6,x2-x-60的解集是(-,-2)(3,+).,(-,-2)(3,+),四、图象分析法（数形结合法）,依据特殊数量关系所对应的图形位置、特征，利用图形直观性求解的填空题，称为图象分析型填空题，这类问题的几何意义一般较为明显.,例4 已知A=x|-2xa，B=y|y=2x+3，xA，C=z|z=x2，且xA，若CB，则实数a的取值范围为 . 解析 y=2x+3在-2,a上是增函数， -1y2a+3，即B=y|-1y2a+3. 作出z=x2的图象，该函数定义域右端点x=a有三种不同的位置情况如图所示.,答案（-,-2） ,3 探究提高解决集合问题首先要看清元素究竟是什么，然后把

8、集合语言“翻译”为一般的数学语言，进而分析条件与结论的特点，再将其转化为图形语言，利用数形结合的思想来解决.,变式训练4 若a0，b0，且当时，恒有ax+by1，则以a，b为坐标的点P（a，b）所形成的平面区域的面积等于 . 解析平面区域如图所示，,令目标函数z=ax+by, 恒有ax+by1，zmax1，而z=ax+by是一组斜率为- 的直线，因为b0，所以直线越向上z值越大，当- -1时，z在A点取最大，zmax=b1, 当- -1时，z在B点取最大值zmax=a1， a,b满足平面区域为边长为1的正方形，面积为1.,答案 1,五、构造法,构造型填空题的求解，需要利用已知条件和结

9、论的特殊性构造出新的数学模型，从而简化推理与计算过程，使较复杂的数学问题得到简捷的解决，它来源于对基础知识和基本方法的积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到过的类似问题中寻找灵感，构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模型，使问题快速解决.,例5 函数f(x)= 的最大值为M，最小值为m，则M+m= . 解析分子和分母同次的特点，分子展开，得到部分分式, f(x)=1+ ,f(x)-1为奇函数，则m-1=-（M-1），M+m=2.,2,探究提高整体思考，联想奇函数，利用其对称性简化求解，这是整体观念与构造思维的一种应用.注意到分式类函数的结构特征，借助

10、分式类函数最值的处理方法，部分分式法，变形发现辅助函数为奇函数，整体处理最大值和最小值的问题以使问题简单化，这种构造特殊函数模型的方法来源于对函数性质应用的深刻理解.,变式训练5 已知定义在R上的函数y=f（x）满足 f（x+ ）=-f（x）且函数y=f（x- ）为奇函数，则下列命题中错误的是 . 函数f（x）的最小正周期是3 函数f（x）的图象关于点（- ,0）对称函数f（x）的图象关于y轴对称方程f（x）=0在区间0，2 004上恰有668个根解析方法一（逆向思维法）由f（x+ ）=-f(x),得 f（x+3）=f（x）,故为真；因函数y=f（x- ）为奇函数，其图象关于原点O对

11、称，将y=f（x- ）的图象向左平,移个单位，得到y=f(x) ，所以函数y=f(x)的图象关于点（- ,0）对称，为真；由y=f（x- ）为奇函数，得f（-x- ）=-f（x- ）, 用x- 替换上式中的x,得f（-x）=-f（x- ）. 又知f（x- + ）=-f（x- ）,则f(-x)=f(x),即f（x）为偶函数，则为真；对，由、，画出图形，不难判断在区间0，2 004上有1 336个根. 方法二（构造函数法）由题意构造函数f(x)= sin（ x+ ）+k，因为f(x)的最小正周期为3，所以 = ，因为函数y=f（x- ）为奇函数,所以f（-x- ）,=-f(x- )，所以s

12、in (-x- )+ +k=-sin (x- )+ -k,所以k =0, = ，所以f (x)=-cos x，易知选项、为真，故选,答案 ,规律方法总结 1.解填空题的一般方法是直接法，除此以外，对于带有一般性命题的填空题可采用特例法，和图形、曲线等有关的命题可考虑数形结合法.解题时，常常需要几种方法综合使用，才能迅速得到正确的结果. 2.解填空题不要求求解过程，从而结论是判断是否正确的唯一标准，因此解填空题时要注意如下几个方面：（1）要认真审题，明确要求，思维严谨、周密，计算有据、准确；（2）要尽量利用已知的定理、性质及已有的结论；（3）要重视对所求结果的检验.,1.（2009北京理，

13、14）已知数列an满足：a4n-3 =1,a4n-1=0,a2n=an,nN*,则a2 009= ,a2 014= . 解析 a2 009=a4503-3=1,a2 014=a1 007=a2524-1=0.,1,0,2.已知函数f(x)= ,那么f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f +f +f = . 解析 f（x）+f = = =1 f（1）+f（1）=f（2）+f =f（3）+f =f（4）+f =1.原式=,3.曲线方程|x2-1|=x+k的实根随k的变化而变化，那么它的实根的个数最多有个. 解析如图所示，参数k是直线 y=x+k在y轴上的截距，通过观察直线y=x+k与y

14、=|x2-1|的公共点的变化情况，并通过计算可知，当 k 时，有2个实根. 综上所述，可知实根个数最多为4个.,4,4.离心率为黄金比的椭圆称为“优美椭圆”. 设 =1(ab0)是优美椭圆，F、A分别是它的左焦点和右顶点，B是它的短轴的一个端点，则 ABF = . 解析本题主要考查“优美椭圆”的相关知识，它必然具有椭圆的相关性质，不妨设c= -1， a=2，B为椭圆的短轴的一个上端点，则b= . 有F（1- ，0），A（2，0），B（0，）. 所以 =（2，- ）, =(1- ,- ). 则 =0，所以夹角为90，即ABF=90.,90,5.已知等差数列an的公差d0，且a1,a3

15、,a9成等比数列，则 = . 解析由已知得 =a1a9,(a1+2d)2=a1(a1+8d), a1=d, .,6.ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H， =m（）,则实数m= . 解析（特殊值法）当B=90时，ABC为直角三角形，O为AC中点. AB、BC边上高的交点H与B重合. ，m=1.,1,7.圆x2+y2=1的任意一条切线l与圆x2+y2=4相交于A（x1,y1）, B(x2,y2)两点，O为坐标原点，则x1x2+y1y2= . 解析如图，AOB中，OA=OB=2， OCAB，OC=1，因此AOB=120. 所以x1x2+y1y2= =| | |cos 1

16、20=-2.,-2,8.直线y=kx+3k-2与直线y=- x+1的交点在第一象限，则k的取值范围是 . 解析因为y=kx+3k-2，即y=k(x+3)-2，故直线过定点P（-3，-2），而定直线y=- x+1在两坐标轴上的交点分别为A（4，0），B（0，1）.如图所示，求得 k1.,k1,9.设f(x)= 若方程f(x)=x有且仅有两个实数解，则实数a的取值范围是 . 解析先给a一个特殊值，令a=0，可画出x0时的图象.当00时的图象，其图象呈周期变化，然后再由参数a的意义使图象作平移变换，由此确定-a的取值范围，最后求出a的取值范围.,（-,2）,10.已知二次函数f

17、(x)的二次项系数为a，且不等式 f(x)-x的解集为（1，2），若f(x)的最大值为正数，则a的取值范围是 . 解析二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式 f(x)-x的解集为（1，2），即不等式f(x)+x0的解集为(1,2),则设f(x)+x=a(x-1)(x-2)(a0), 即f(x)=ax2-(3a+1)x+2a(a0). 又f(x)的最大值为正数，则解得a(-,-3-2 )(-3+2 ,0).,（-,-3-2 ）(-3+2 ,0),11.不等式 x的解集为 . 解析令y1= ,y2=x，则不等式 x的解就是使y1= 的图象在y2=x的上方的那段对应的横坐标.如图

19、og2(1+x),正确.,13.若a=(1, )，|a-b|=1，则|b|的取值范围是 . 解析方法一（换元法） |a-b|=1，设a-b=（cos ,sin ），则b=a-(cos ,sin ) =(1, )-(cos ,sin )=(1-cos , -sin ),|b|= = = ,1|b|3.,方法二（利用向量模的几何意义）如图所示，设b=(x,y),则a-b=(1-x, -y),|a-b|=1, (1-x)2+( -y)2=1,即(x-1)2+(y - )2=1,又,|b|= , |b|的取值范围即为圆(x-1)2+(y- )2=1上的点到原点距离的最大值和最小值之间的值.

20、,|b|max= +1=3,|b|min= -1=1， 1|b|3.,方法三（数形结合）如图所示，因为a=(1, ),所以a= 的端点A在以原点为圆心， 2为半径的圆上，因为|a-b|=1，所以a-b= 的端点B在单位圆上，b= a- = - = ，由图可知1 |b|3.,14.（2009宁夏、海南理，14）已知函数y=sin( x+ ) ( 0,- )的图象如下图所示，则 = . 解析由图象知函数y=sin( x+ )的周期为 . 当x= 时，y有最小值-1，因此 (kZ). - , .,15.对于满足0p4的一切实数x，不等式x2+px 4x+p-3恒成立，则x的取值范围是 . 解析由不等式x2+px4x+p-3恒成立. 得（x-1）p+x2-4x+30恒成立. 构造函数f（p）=（x-1）p+x2-4x+3. 当x=1时，f（p）=0，不满足f（p）0. f（p）表示p的一次函数， p0，4 函数f（p）的图象是一条线段，要使f（p）0 在0，4上恒成立，需满足，,即解得x-1或x3. 所以x的取值范围是（-，-1）（3，+）.,答案（-，-1）（3，+）,返回,

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