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1、第 1 章,随机过程,2,主要内容：,随机过程的基本概念及其统计特性,连续时间随机过程的微分和积分,随机过程的平稳性和遍历性,联合平稳随机过程,正态随机过程,马尔可夫链,3,随机变量,与时间无关,随机过程,与时间相关,4,1.1 随机过程的基本概念及统计特性,自然界事物的变化分为两大类：确定性过程和随机过程。,确定性过程： 1）每次试验得到的观测 过程都相同。 2）具有确定形式的变化 过程，或可用一个时 间t的确定函数表示。,随机过程： 1）每次试验得到的观测 过程都不同。 2）没有确定的变化形式 或不能用一个时间t 的确定函数表示。,5,一 定义,1.接收机噪声电压观测方式：对相同接收机同时
2、观测,从试验可知，每次得到的结果不同，且变化的规律不能用一个确定的函数来描述,噪声电压的起伏波形,6,随机相位信号,7,若 和 为常数， 是随机取值的随机变量，电压波形为,随机振幅信号,8,9,10,定义2 ：设有一个过程X(t) ，若对于每一个固定的时刻 ， 是一个随机变量，则X(t) 称为随机过程。,11,12,上面两种随机过程的定义，从两个角度描述了随机过程。具体的说： 作观测时，常用定义1，这样通过观测的试验样本来得到随机过程的统计特性； 对随机过程作理论分析时，常用定义2，这样可以把随机过程看成为n维随机变量， n越大采样时间越小，所得到的统计特性越准确。,13,14,15,16,随
3、机过程按时间和状态的分类,17,18,3 按概率分布的特性来分类,高斯随机过程 瑞利随机过程 对数正态随机过程 马尔可夫随机过程,4 按统计特性来分类,平稳随机过程 非平稳随机过程,5 按随机过程在频域的带宽分类,宽带随机过程 窄带随机过程 白噪声 有色噪声,19,三 随机过程的概率分布,随机过程是一族时间函数，在一次具体试验中、函数族中哪一个函数（样本）出现时是服从某种概率分布的，因而对随机信号不能采用通常的对确定性信号的表述方法，而必须用概率统计，即统计特性的描述方法。,1、概率密度函数或概率分布函数的描述方法是全面、 完整的描述方法。 2、数字特征（期望、方差、相关函数）的描述方法 是的
4、宏观、概括的描述方法。,统计特性的描述方法分为两个大类：,20,当仪器记录随机过程X(t)的变化过程时候，一般不可能 也没有必要连续的记录全部过程，而只要记下X(t)在确定时 刻t1, t2, , tn上的量。 由随机过程的定义可知，在确定t值上，随机过程变为随 机变量，仪器记录的结果是n维随机变量X(t1),X(t2),X(tn)， 如果说记录时间间隔t= ti-ti-1相当小(n足够大)时，多维随 机变量 X(t1), X(t2) , X(tn) 可以足够完整表示出随机过程 X(t)。 在一定近似程度上，可以通过研究多维随机变量来代替 对随机过程的研究，且n取值越大，代替的越精确。当n 时
5、，随机过程的概念可以作为多维随机变量的概念在维数无 穷大情况的自然推广。,21,22,二维概率分布函数,FX(x1,x2;t1,t2)=PX(t1)x1, X(t2)x2,为了描述在任意两个时刻t1和t2的状态间的内在联系,可以引入二维随机变量X(t1),X(t2)的分布函数FX(x1,x2；t1,t2)，它是二随机事件X(t1)x1和X(t2)x2同时出现的概率，即,称为随机过程X(t)的二维分布函数。,若FX(x1,x2;t1,t2)对x1，x2的二阶混合偏导存在，即,为随机过程X(t)的二维概率密度。,二维概率密度函数,注意：X(t1)及X(t2)为同一随机过程上的随机变量。 二维分布比
6、一维分布包含可更多的信息，但仍不 能完整的反应出随机过程的全部统计特性。,23,24,25,四 随机过程的数字特征,随机变量的数字特征（期望、方差、相关系数） 通常是确定值。 随机过程的数字特征（期望、方差、相关函数） 通常是确定性函数。,随机过程的数字特征的计算方法: 先把时间t固定，然后用随机变量的分析方法来计算。,26,1 数学期望（均值函数）,显然， 是某一个平均函数，随机过程的诸样本在它的附近起伏变化，如图所示：,随机过程的均值是时间t的函数，称为均值函数。 物理意义：如果随机过程表示接收机的输出电压，那么它的数学期望就是输出电压的瞬时统计平均值。,27,统计均值是对随机过程中所有样
7、本函数在时间t的所有取值进行概率加权平均，所以又称为集合平均。它反映了样本函数统计意义下的平均变化规律，是所有样本函数在各个时刻摆动的中心。,28,29,物理意义： 如果 表示噪声电压，则 均方值 表示消耗在单位电阻上的瞬时功率统计平均值。 方差 表示消耗在单位电阻上的瞬时交流功率统计平均值。,30,31,3 自相关函数,数学期望和方差是描述随机过程在各个孤立点时刻的重要数字特征。它们反应不出来整个随机过程不同时间的内在联系。,比较具有相同数学期望和方差的两个随机过程。,32,自相关函数用来描述随机过程任意两个时刻状态之间的内在联系，通常用 描述。,描述了整个随机过程任意两个不同时刻的内在关系
8、：线性相关性 若 则,33,34,4 自协方差函数,若用随机过程的两个不同时刻之间的二阶混合中心矩来定义相关函数，我们称之为自协方差函数，简称协方差函数。用 表示，它反映了任意两个时刻的起伏值之间相关程度。,中心化自相关函数,35,36,37,例：求随机相位正弦波 的数字期望，方差及自相关函数。式中， 为常数，是区间0， 上均匀分布的随机变量。,解：由题可知：,数学期望,38,方差,39,自相关函数,40,例 设随机过程 ，其中V是在（0，1）是均 匀分布的随机变量，求过程X（t）的均值和自相 关函数。,41,42,例 设随机振幅信号为 其中 为常数，V是标准正态随机变量。 求该随机信号的均值、方差、相关函数和协方 差函数。,43,解,44,45,46,3 n维特征函数,47,例 设 为相互独立的随机变量序列， 其分布为 求随机过程 的一维分布。,48,若 存在，则有 设 ， 为常数，则n维随机变量 的特征函数为 设 的特征函数为 ，而 的特征函数为 ，则 相互独立的充要条件为,48,49,