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1、一、全微分的定义一、全微分的定义二、函数可微的充分与必要条件二、函数可微的充分与必要条件第四节第四节 全微分全微分则函数微分为当 很小时第四节第四节 全微分全微分问题导言：一元函数微分回顾例 正方形面积改变量.20020)(2)(xxxxxxS20)(2xxxS 的线性主部的线性主部x高阶无穷小高阶无穷小)(xoxxS02x0 xx 0 xx 微分定义 若函数改变量 ),()(0 xoxxfydxxfdy)(0 由两部分组成.一部分 是关于 的线性主部,另一部分 是比 高阶的无穷小.一、全微分的定义 引例 设矩形金属薄板长为x,宽为y,则面积 S=x y.薄板受热膨胀,长自x0增加 ,宽自 y
2、0 增加 ,其面积相应增加 xy0000)(yxyyxxSyxxy00yxSyxxy00yx,yxxy 0yx 0yx00yxS 22)()(yx即).(oyx其中可表示为，则令SAyBx00,).(oyBxAS 定义 设二元函数 z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内有定义,如果z=f(x,y)在点(x0,y0)的全增量),(),(0000yxfyyxxfz可表示为),(oyBxAz其中A,B与 无关，是比 高阶的无穷小,则称 为函数 z=f(x,y)在点(x0,y0)处的全微分,记作dz.即yx ,)(,)()(22oyxyBxA,dyBxAz也称函数 z=f(x,y)在点(x0,y
3、0)处可微.问题:(1)函数在什么下可微？(2)全微分表达式中的A，B 如何？定理 若函数 z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微,则f(x,y)在该点的两个偏导数存在,并且 A=fx(x0,y0),B=fy(x0,y0).证 因为f(x,y)在点(x0,y0)处可微，则有)(oyBxAz取 ，此时 ，则有0y|x|),(|),()0,(0000 xoxAyxfyxxfz两边同除以 ，再令 取极限，得0 xx.|)(|lim),(),(lim000000AxxoxAxyxfyxxfxx二、函数可微的必要与充分条件这样,二元函数 z=f(x,y)在点(x0,y0)处的全微分可以表达为),(),
4、(0000yxfAyxfxx存在，且这就证明了).,(),(0000yxfByxfyy存在，且同理可证,),(),(d0000yyxfxyxfzyx若规定 .于是全微分又可写成yyxxdd，.d),(d),(d0000yyxfxyxfzyx 若函数 f(x,y)在开区域 D内每一点处都可微,则称f(x,y)在域 D内可微.且yyxfxyxfzyxd),(d),(d 定理 如果函数 z=f(x,y)在(x0,y0)点可微,则函数 z=f(x,y)在点(x0,y0)处连续.证 根据函数可微的定义，有),(oyBxAz当 时，有 ，0,0yx0.0)(o于是所以 z=f(x,y)在点(x0,y0)处
5、连续.0lim00zyx因此.0lim00zyx，二元函数连续：二元函数连续、偏导数与全微分之间关系 前述定理说明二元函数全微分存在一定连续,偏导数一定存在.反之则不然.0 00),(222222yxyxyxxyyxf例 函数在原点(0,0)处的偏导数存在.且但在点(0,0)处不连续,故在(0,0)点是不可微的.0)0,0(,0)0,0(yxff下面的定理给出了函数 z=f(x,y)可微的充分条件.例 函数 ,在点(0,0)处是连续的,但在(0,0)点偏导数不存在.故在(0,0)点是不可微的.22),(yxyxf 定理 设函数 z=f(x,y)在点(x,y)存在连续的偏导数 则函数 z=f(x
6、,y)在点(x,y)可微.),(),(yxfyxfyx函数连续函数可导函数可微连续偏导数函数连续偏导数与全微分之间的关系例 求 的全微分.3233yxyxz解,6332xyyxxzyyzxxzzddd，2239yxxyz.d)9(d)63(22332yyxxxxyyx例 求 在点(2,1)处的全微分.xyze解 由于 是连续函数.xyyxyxxyxfyyxfe),(,e),(,e)1,2(2xf所以在点(2,1)处的全微分为,e2)1,2(2yf且三、全微分在近似计算上的应用.),(),(yyxfxyxfdzzyx.),(),(),(),(00000000yyxfxyxfyxfyyxxfyx增
7、量的近似公式有函数都较小时且连续数的两个偏导在点当二元函数,),(),(),(),(yxyxfyxfyxPyxfzyx函数值的近似公式例 计算 的近似值 解.),(yxyxf设函数.02.0,04.0,2,1yxyx取,1)2,1(f,),(1yxyxyxf,ln),(xxyxfyy,2)2,1(xf,0)2,1(yf由公式得08.102.0004.021)04.1(02.202.2)04.1(.),(),(),(),(yyxfxyxfyxfyyxxfyx近似公式 例 某企业的成本C与产出的商品A和B的数量 之间的关系为 21,qq2221215.0qqqqC 现A的产量从100增加到105，而B的产量由50增加到52，求成本大约增加多少？解2211dqqCqqCCC212121)5.02()5.02(qqqqqq时当2,50,5,1002211qqqq9752)1005.0502(5)505.01002(C即成本大约增加975