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1、第三节第三节 无穷小与无穷大无穷小与无穷大一、无穷小量一、无穷小量二、无穷大量二、无穷大量三、无穷小与无穷大的关系三、无穷小与无穷大的关系一、无穷小量.,000等可以换成无穷小定义中的xxxxxxxxx 第三节 无穷小与无穷大注意无穷小量是在某一过程中,以零为极限的变量，而不是绝对值很小的数.0是可以作为无穷小量的唯一的一个数.定义 若 则称 是极限过程 下的无穷小量，简称无穷小.,0)(lim0 xxx0 xx)(x1.无穷小量的定义 1.要指明自变量的变化过程(如 )；说明:在确定一个量是否为无穷小量应注意0 xx 2.在这个过程中,函数 f(x)以0为极限.11)(1)(时不是无穷小在时
2、的无穷小，但函数是函数xxxfxxxf例.00lim 220时的无穷小量是，知由xxxx例均为无穷小，时，当xxxxxarctan,tan,arcsinsin02.极限与无穷小量的关系0)(lim)(lim00AA Axfxxxxx).()(,)(0 xAxf xxx 且时为无穷小在即则取设,)()(,)(lim0AxfxAxf xx证(必要性),()()(lim0 xAxf Axfxx的充分必要条件是定理 ,)(0即时为无穷小在其中xxx.0)(lim 0 xxx，则且设充分性0)(lim)()()(0 xxAxf xx.0)(lim)(lim00AA xAxfxxxx 例 当 时，将函数
3、写成其极限值与一个无穷小量之和的形式 xxxxf1)(1)11(lim1lim)(limxxxxfxxx因为解时的无穷小为中的而xxxxxxf1111)(所以，为所求极限值与一个无穷小量之和的形式 xxf11)(无穷小与微积分 无穷小量在建立微积分时具有基础性的地位，早期的微积分常称为无穷小分析.在17世纪下半叶微积分创立以后，微积分在解决过去无法解决的许多实际问题中显示了巨大的威力，但由于当时还没有建立起严密的极限理论，在实际应用中常常将无穷小时而变成0，时而又说不是0，显得很“神秘”，难以捉摸，甚至微积分的主要创立者牛顿，也难以摆脱由无穷小引起的概念上的混乱，因此，微积分的“神秘性”受到了
4、唯心主义哲学家们的猛烈攻击，嘲笑无穷小是“逝去的鬼魂”.引起了数学史上著名的“第二次数学危机”.为了微积分的健康发展，也为了摆脱这种危机，以及克服由于没有严格的极限理论而导致的一些混乱，许多数学家在为微积分建立严密的理论基础方面做出了许多工作.性质1 有限个无穷小的代数和仍为无穷小.性质2 有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小.推论 常量与无穷小之积为无穷小.性质3 有限个无穷小之积为无穷小.3.无穷小的性质注意:无穷多个无穷小量的代数和未必是无穷小量.注意：两个无穷小之商未必是无穷小.,)0(sin为无穷小又xx解xxx1sinsinlim0求极限例，即有界因为1/1sinx01sinsinli
5、m0 xxx 定义 设函数f(x)在 的某去心邻域 内有定义.若当 时,无限增大,则称 f(x)当 时 为无穷大量，简称无穷大，并且记为二、无穷大0 xx|)(|xf|00 xx0 x).()()(lim00 xxxfxfxx或0 xx 若当 时,(或 )无限增大,则称 f(x)当 时为正无穷大(或负无穷大),记为0 xx)(xf)(xf0 xx xf xfxxxx)(lim)(lim00或 无穷大的几点说明：1.函数 f(x)当 时为无穷大,则极限 是不存在的.简记为0 xx)(lim0 xfxx)(lim0 xfxx 2.无穷大量是一个绝对值可无限增大的变量,不是绝对值很大很大的固定数.类
6、似地可以给出x的其他趋向下的无穷大量定义.)(lim;)(lim)(lim)(lim)(lim00 xfxf xf;xf;xf xxxxxxx.)(,)(lim,)(,000的铅直渐近线为曲线则称直线即为无穷大量时如果当xfyxxxfxfxx xx无穷大的图形特征,1lim0 xx例xxxxlnlim,2lim0 xy121xy 三、无穷小与无穷大的关系定理即无穷小与无穷大的关系为：在自变量的同一趋向下,无穷大的倒数是无穷小,无穷小(不等于0)的倒数是无穷大.需要指出的是无穷大与无穷小不同的是：在自变量的同一变化过程中，两个无穷大的和、差与商是没有确定结果的，需具体问题具体考虑.)(1lim0)(0)(lim;0)(1lim)(lim 0000 xfxfxfxfxfxxxxxxxx，则，且若反之，则若