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1、一、 二重积分 二、三重积分 三、曲线积分 多元函数积分学 四、曲面积分 一、二重积分的概念和性质 1定义 ： 2几何意义： 表示曲顶柱体的体积 性质：线 线性性质质； 可加性； 单调性； 若估值性质： 中值定理： 则至少存在一点 , 使得 设函数 在闭区域 上连续, 则 积分中值定理 二、二重积分的计算方法 1利用直角坐标计算 （1）X-型区域： . (2)过任一x a , b ,作垂直于 x轴的直线 穿过D的内部 从D的下边界曲线穿入内层积分的下限 从D的上边界曲线穿出内层积分的上限 (1) 确定积分区域D在x轴上的投影a , b 定限步骤： （2）Y-型区域： 2利用极坐标计算 (2)
2、从D的边界曲线 穿入, 从 穿出 (1) 确定D夹在哪两条射线之间，定出定限步骤： 过极点作一极角为的射线 常见计算类型 1. 选择积分顺序 原则：能积分，少分块 解 原式 解： 2. 交换积分顺序根据给出的积分上下限定出积分区域 3. 利用对称性简化计算 要兼顾被积函数和积分区域两个方面，不可误用 （1）若D关于 x 轴对称，则 当f ( x , y )关于 y 为奇函数， 当f ( x , y )关于 y 为偶函数， （2）若D关于 y 轴对称，则 当f ( x , y )关于 x 为奇函数， 例 . 将化为在极坐标系下的二次积分。 1） 4） 4. 极坐标系下二重积分的定限 2） 3）
3、分析 由于被积函数中含有绝对值, 所以应首先 在给定的积分区域内,求出 的解析表达式，即去掉绝对值。 5. 其它 三、三重积分的计算方法 1利用直角坐标计算 u“坐标面投影”法 确定 在xoy面上的投影区域D (1) 定限步骤： 作垂直于 xoy面的直线， 从曲面穿入， 从曲面穿出， (2) 三、三重积分的计算方法（坐标面投影法） 1利用直角坐标计算 (1) 投影 求积分域 在xOy 面上的投影区域 Dxy; (2) 定限 x y z O S2 S1 Dxy z1 (x, y) z2(穿越法) 步骤： 其中 为三个坐标例. 计算三重积分 所围成的闭区域 . 解: 面及平面 解: 1 投影 消去
4、z 2 定限 y O x 11 2 定限 2利用柱面坐标计算 计算方法： 三重积分的投影方法结合二重积分的极坐 标运算 其中为由例2. 计算三重积分 所围 解: 及平面 柱面 成半圆柱体. O x y Dxy： 解： 1、 体积 四、几何应用 若曲面方程为： 曲面S的面积为 2、曲面面积 解： 例. 计算双曲抛物面被柱面 解: 曲面在 xOy 面上投影为 则 所截出的面积 A . 注： 常用二次曲面 旋转抛物面 : 锥面: 球面 椭球面 椭圆抛物面 : 柱面: (方程中缺少某一变量) (1)对光滑曲线弧 第十一章 曲线积分与曲面积分 一、对弧长的曲线积分 (化为定积分计算） 则 定 限 1.
5、基本计算方法 对有向光滑弧 二、对坐标的曲线积分 (化为定积分) 对有向光滑弧 解 2. 利用格林公式（必要时可作辅助线） 3. 利用积分与路径无关（取折线） 例 解 L y x O L y x O 例、 解 设则 三、对面积的曲面积分 (化为二重积分） 四、对坐标的曲面积分 1、基本计算方法 (化为二重积分)：一代、二投、三定号 上正下负 前正后负 右正左负 小结: 要点为： 将曲面的方程表示为二元显函数，代入 被积函数，将其化成二元函数 将积分曲面投影到与面积元素（如dxdy） 同名的坐标面上（如xoy 面） 由曲面的侧确定二重积分的正负号 一代、二投、三定号 曲面取上侧、前侧、右侧时为正 注: 积分曲面的方程必须表示为单值显函数 否则分片计算，再讲结果相加 曲面取下侧、后侧、左侧时为负 代: 投: 定号: 2. 利用高斯公式（化为三重积分） 1、注意公式使用条件： 2、添加辅助面的技巧：一般取平行坐标面的平面， 且与原曲面共同构成边界 曲面的外侧或内侧 解 x y z O 1