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1、,平面与平面垂直的判定定理,复习回顾,1.在平面几何中“角“是怎样定的？,从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。,或: 一条射线绕其端点旋转而成的图形叫做角。,2.在立体几何中,“异面直线所成的角“是怎样定义的？,直线a、b是异面直线,经过空间任意一点O,分别引直线a /a, b/ b,我们把相交直线a 和 b所成的锐角 （或直角）叫做异面直线所成的角。,3.在立体几何中,“直线和平面所成的角“是怎样定义的？,平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角, 叫做这条直线和这个平面所成的角。,异面直线所成的角与直线和平面所成的角,它们的共同特征都是将三维空间的角转化为二维空间的角,即平面角。,一
2、个平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中的每一部分都叫做半平面。,一条直线上的一个点把这条直线分成两个部分，其中的每一部分都叫做射线。,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。,这条直线叫做二面角的棱。,这两个半平面叫做二面角的面。,二面角由半平面-线-半平面构成。,l,A,B,P,Q,二面角的表示,l,二面角 l ,二面角CAB D,二面角的画法,角,从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。,定义,构成,边点边 （顶点）,表示法,AOB,图形,以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。,平面角是直角的二面角叫做直二
3、面角.,二面角的度量,l,二面角的平面角的三个特征:,1.点在棱上,2.线在面内,3.与棱垂直,二面角的大小的范围:,二面角的平面角的作法：,1、定义法,3、垂面法,2、三垂线定理法,练习：指出下列各图中的二面角的平面角：,二面角B-BC-A,l,二面角-l-,O,E,O,O,二面角A-BC-D,D,A,O,D,例1 已知锐二面角 l ，A为面内一点，A到 的距离为 2 ，到 l 的距离为 4，求二面角 l 的大小。,解：,过 A作 AO于O，过 O作 OD l 于D，连AD,则由三垂线定理得 AD l,AO=2 ，AD=4, AO为 A到的距离 ， AD为 A到 l 的距离,ADO就是二面角
4、 l 的平面角,sinADO=, ADO=60,二面角 l 的大小为60 ,在Rt ADO中，,AO AD,l,二面角的计算：,1、找到或作出二面角的平面角,2、证明 1中的角就是所求的角,3、计算出此角的大小,一“作”二“证”三“计算”,你发现了什么？,观察生活,注意观察： 1.门轴与地面的关系 2.门轴与门面的关系 3.门面与地面的关系,线线垂直,线面垂直,面面垂直,如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.,A,B,简记：线面垂直，则面面垂直,符号:AB, 经过AB, 则,证明两个平面垂直有那些方法？,1.定义法,2.两平面垂直的判定定理,二、两个平面垂直的判定定理
5、:,建筑工人砌墙时， 如何使所砌的墙和水平面垂直？,应用于生活,例2 如图,AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在的平面,C是 圆周上不同于A,B的任意一点, 求证;平面PAC平面PBC,河堤斜面,练习:,小结,一、二面角的定义,二、二面角的表示方法,三、二面角的平面角,四、二面角的平面角的作法,五、二面角的计算,六、面面垂直的判定定理,练习 如图，已知A、B是120的二面角l棱l上的两点，线段AC，BD分别在面，内，且ACl，BDl ，AC=2，BD=1，AB=3，求线段CD的长。,l,O,OAC 120,AO=BD=1, AC=2,四边形ABDO为矩形, DO=AB=3,练习 如图，已知A、B是120的二面角l棱l上的两点，线段AC，BD分别在面，内，且ACl，BDl ，AC=2，BD=1，AB=3，求线段CD的长。,l,BDl AOBD，四边形ABDO为矩形, DO l ， AO=BD ACl ， AOl ， l 平面CAO AOl CODO,O,在Rt COD中，DO=AB=3,E,解：在平面内，过A作AOl ，使 AO=BD,连结CO、DO, 则OAC就是 二面角l的平面角，即 OAC 120，, BD=1 AO=1，在OAC中，AC=2， ,如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.,