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1、第四节 分布函数的拟合优度检验,前面几节中讨论了总体分布形式已知时关于总体参数的假设检验。但在许多实际问题中并不能预先知道总体分布的形式。这时，就需要根据样本提供的信息，对总体的分布作出假设，并对此假设进行检验。本节我们将介绍由英国统计学家卡尔皮尔逊提出的 拟合优度检验法。,拟合优度检验法的基本原理和步骤：,1. 提出原假设,H0 ：总体 X 的分布函数为F (x),备择假设H1 ：,总体 X 的分布函不是F (x),(1)备择假设可以不必写出.,(2)若X是离散型总体，原假设相当于：,H0 ：总体 X 的分布律为：PX=xi= pi ,i=1,2, ,若X是连续型总体，原假设相当于：,H0
2、：总体 X 的概率密度为f (x).,说明:,(3) 若在原假设 H0下，总体分布的形式已知，但有r 个参数未知，这时需要用极大似然估计法先估计这 r 个参数.,2. 将 x 轴分成K个互不重迭的小区间：,3.计算样本的n个观察值落入以上每个区间的个数，记为fi （ i=1,2, ,K），称其为实际频数. 所有实际频数之和 f1+ f2+ + fk 等于样本容量n.,4.在原假设H0为真时，计算总体落入每个区间的概率Pi=F（bi）- F（bi-1）（ i=1,2, ,K），于是npi就是落入第i个区间的样本值的理论频数.,反映了实际频数与理论频数的差异.,当原假设H0为真，样本容量又充分大时
3、，两者,并证明了如下定理：,的差异应不会太大，皮尔逊由此引进统计量：,定理（皮尔逊）若 n 充分大，H0为真时，不论 H0中的分布属于什么类型，统计量,总是近似服从自由度为K-r-1的 分布，即,其中r是分布中被估计的参数的个数.,由此得,5.检验统计量：,拒绝域：,要适当合并区间以满足这个要求。,拟合优度检验法是在n充分大的条件下得到,的，所以在使用时必须注意 n要足够大及 npi不能太小，,根据实际经验，要求 n 50，理论频数npi 4 ，否则,注:,例1.某个城市在某一时期内共发生交通事故600次，按不同颜色小汽车分类如下,如果交通事故的发生与汽车的颜色无关，则每种颜色的小汽车发生交通
4、事故的可能性是一样的.,问：交通事故是否与汽车的颜色有关？,分析：,解：,原假设,检验统计量：,拒绝域：,列表计算,红 棕 黄 白 灰 蓝,n=600,-25,25,30,-20,35,15,75 125 70 80 135 115,1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6,100 100 100 100 100 100,6.25,6.25,9,4,12.25,2.25,40,所以拒绝H0，认为交通事故与汽车的颜色有关.,因为,例2.某电话交换台，在100分钟内记录了每分钟被呼唤的次数X，设f i为出现该 X值的频数，结果如下：,问总体X（电话交换台每分钟呼唤次数）服从泊松分布吗？,解：
5、,按题意，原假设,由于未知，首先须用极大似然估计法，求得的估计值（看七章二节例5）：,检验统计量：,拒绝域：,列表计算：,1 2 3 4 5 6 7 8,n=100,7 12 18 17 20 13 6 7,1.3099,-0.02 -0.34 0.18 -2.29 3.30 0.95 -1.46 -0.32,0.00006 0.0094 0.0018 0.2719 0.6521 0.0749 0.2857 0.0140,7.02 12.34 17.82 19.29 16.70 12.05 7.46 7.32,0.0702 0.1234 0.1782 0.1929 0.1670 0.1205
6、0.0746 0.0732,因为,所以接受H0，,认为电话交换台每分钟呼唤次数X 服从泊松分布.,说明:,将n=0和n=1合并，n=8与n9合并是为了,保证理论频数npi 4.,例3.为了研究患某种疾病的2159岁男子的血压（收缩压，单位：mm-Hg ）这一总体X，抽查了100个男子，得 ， ，样本值分组如下：,取=0.10，检验2159岁男子的血压（收缩压）总体X是否服从正态分布。,解：,按题意，原假设,由于,2未知，首先须用极大似然估计法，求得其估计值（看教科书七章二节例2）：,检验统计量：,拒绝域：,列表计算：,H0为真时，,列表计算：,1 2 3 4 5 6 7 8,n=100,5 8
7、 22 27 17 9 5 7,(，99.5) 99.5,109.5) 109.5,119.5) 119.5,129.5) 129.5,139.5) 139.5,149.5) 149.5,159.5) 159.5, ),0.0655 0.1056 0.1772 0.2231 0.1989 0.1329 0.0661 0.0307,6.55 10.56 17.72 22.31 19.89 13.29 6.61 3.07,-1.55 -2.56 4.28 4.69 -2.89 -4.29 2.32,0.3668 0.6206 1.0338 0.9859 0.4199 1.3848 0.5560,5.3678,因为,所以接受H0，,即2159岁男子的血压（收缩压）总体X服从正态分布。,