单调与最大小值.ppt

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1、1.3.1 单调性与最大（小）值,第一课时 函数单调性的概念,问题提出,德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试，得到了以下一些数据：,函数的单调性,思考1:当时间间隔t逐渐增 大你能看出对应的函数值y 有什么变化趋势？通过这个 试验，你打算以后如何对待 刚学过的知识? 思考2:“艾宾浩斯遗忘曲线” 从左至右是逐渐下降的，对此， 我们如何用数学观点进行解释？,知识探究（一）,考察下列两个函数:,（1） ； (2),思考1:这两个函数的图象分别是什么？二者有何 共同特征？,思考2:如果一个函数的图象从左至右逐渐上升， 那么当自变量x从小到大依次取值时，函数

2、值y的变化情况如何？,思考4:我们把具有上述特点的函数称为增函数， 那么怎样定义“函数 在区间D上是增函数”？,对于函数定义域I内某个区间D上的任意两个自变量 的值，若当 时，都有 , 则称函数 在区间D上是增函数.,思考3:如图为函数 在定义域I内某个区间D上的图象，对于该区间上任意两个自变量x1和x2，当 时， 与 的大小关系如何？,知识探究（二）,考察下列两个函数:,（1） ； (2),思考1:这两个函数的图象分别是什么？二者有何 共同特征？,思考2:我们把具有上述特点的 函数称为减函数，那么怎样定 义“函数 在区间D上是减 函数”？,对于函数定义域I内某个区间D上的任意两个自变量 的值

3、，若当 , 则称函数 在区间D上是减函数.,思考3:对于函数定义域I内某个区间D上的任意两个自变量 的值，若当 时，都有 ,则函数 在区间D上是增函数还是减函数？,思考4：如果函数y=f(x)在区间D上是增函 数或减函数，则称函数 在这一区间具有 （严格的）单调性，区间D叫做函数 的 单调区间.那么二次函数在R上具有单调性吗？ 函数 的单调区间如何？,理论迁移,例1 如图是定义在闭区间 -5，6上的函数 的图象，根据图象说出 的单调区间，以 及在每一单调区间上， 函数 是增函数还 是减函数.,例3 试确定函数 在区间 上的单调性.,例2 物理学中的玻意耳定律 告诉我们，对于一定量的气体，当其体

4、积V 减小时，压强p将增大. 试用函数的单调性 证明.,小 结,利用定义确定或证明函数f(x)在给定的 区间D上的单调性的一般步骤：,1.取数:任取x1，x2D，且x1x2； 2.作差:f(x1)f(x2)； 3.变形:通常是因式分解和配方; 4.定号:判断差f(x1)f(x2)的正负; 5.小结:指出函数f(x)在给定的区间D上的 单调性.,作业： P32 练习：1，2，3，4.,第二课时 函数单调性的性质,1.3.1 单调性与最大（小）值,问题提出,1. 函数在区间D上是增函数、减函数的定义是什 么？,3. 增函数、减函数有那些基本性质？,2. 增函数、减函数的图象分别有何特征？,函数单调

5、性的性质,知识探究（一）,若 呢？,对于函数 定义域内某个区间D上的任意两个自变量的值 ,若当 时，都有 (1) ,则称函数 在区间D上是增函数； (2) ,则称函数 在区间D上是减函数.,思考2：若函数 在区间D上为增函数， 为常数，则函数 、 的单调性如何？,思考3：若函数 、 在区间D上都是增函数， 则函数 、 在区间D上的单调性 能否确定？,如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，则 称函数 在这一区间具有（严格的）单调性，区 间D叫做函数 的单调区间，此时也说函数 在这一区间上是单调函数.,知识探究（二）,思考1：函数 是单调函数吗？,思考3：一个函数在其定义域内，就单调性而

6、言 有哪几种可能情形？,思考2：函数 在R上具有单调性吗？ 其单调区间如何？,思考4:若函数 在区间D上具有单调性， ,那么 分别在区间A、B上具有单调性吗？,思考6:一般地，若函数 在区间A、B上是单调函数，那么 在区间 上是单调函数吗？,理论迁移,例 已知函数 ，求不等式 的解集.,作业: P39 习题1.3A组：1，2，4.,1.3.1 单调性与最大（小）值,第三课时 函数的最值,问题提出,1.确定函数的单调性有哪些手段和方法？,2.函数图象上升与下降反映了函数的单调性， 如果函数的图象存在最高点或最低点，它又 反映了函数的什么性质？,函数的最值,知识探究（一）,观察下列两个函数的图象：

7、,思考1:这两个函数图象有何共同特征？,思考2:设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M， 则对函数定义域内任意自变量x，f(x)与M的大小 关系如何？,函数图象上最高点的纵坐标叫什么名称？,思考3:设函数 ，则 成立吗？ 的最大值是2吗？为什么？,思考4:怎样定义函数 的最大值？用什么符号 表示？,思考5:函数的最大值是函数值域中的一个元 素吗？如果函数 的值域是(a,b)，则函 数 存在最大值吗？,思考6:函数 有最大 值吗？为什么？,知识探究（二）,观察下列两个函数的图象：,思考1:这两个函数图象各有一个最低点，函数图 象上最低点的纵坐标叫什么名称？,思考2:仿照函数最大值的定义，怎样

8、定义函数 的最小值？,一般地，设函数 的定义域为I，如果存在实数m满足： （1）对于任意的 , 都有 ; （2）存在 ，使得 . 那么称m是函数 的最小值，记作,知识探究（三）,思考1:如果在函数 定义域内存在x1和 x2， 使对定义域内任意x都有 成立，由此你能得到什么结论？,思考2:对一个函数就最大值和最小值的存在性而 言，有哪几种可能情况？,思考3:如果函数 存在最大值，那么有几个？,思考4:如果函数 的最大值是b，最小值是a， 那么函数 的值域是a，b吗？,理论迁移,例1已知函数 ，求函数 的最大值和最小值.,例2（05年湖南卷）某公司在甲、乙两地销售一种 品牌车，利润（万元）分别为

9、和 ，其中x为销售量（辆），若该公司在 这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( ) A、45.6万元 B、45.606万元 C、45.56 万元 D、45.51万元,A,作业 P39 习题1.3A组：5 B组：1，2.,1.3.2 奇偶性,第一课时 函数的奇偶性,问题提出,1.研究函数的基本性质不仅是解决实际问题的需要，也是数学自身发展的必然结果. 例如事物的变化趋势，利润最大、效率最高等，这些特性反映在函数上，就是要研究函数的单调性及最值.,2.我们从函数图象的升降变化引发了函数的单调性，从函数图象的最高点最低点引发了函数的最值，如果从函数图象的对称性出发又能得到什么性质？,函数的奇偶

10、性,知识探究（一）,考察下列两个函数： (1) ; (2) .,思考1:这两个函数的图象分别是什么？二者有何共同特征？,思考2:对于上述两个函数，f(1)与f(-1)，f(2)与f(-2)，f(3)与f(-3)有什么关系？,思考3:一般地，若函数y=f(x)的图象关于y轴对称，则f(x)与f(-x)有什么关系？反之成立吗？,思考4:我们把具有上述特征的函数叫做偶函数，那么怎样定义偶函数？,如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)成立，则称函数f(x)为偶函数.,f(x)=f(-x),思考5:等式f(-x)=f(x)用文字语言怎样表述？,自变量相反时对应的函数值相等,思

11、考6:函数 是偶函数吗？偶函数的定义域有什么特征？,偶函数的定义域关于原点对称,知识探究（二）,考察下列两个函数： (1) ; (2) .,思考1:这两个函数的图象分别是什么？二者有何共同特征？,思考2:对于上述两个函数，f(1)与f(-1)，f(2)与f(-2)，f(3)与f(-3)有什么关系？,思考3:一般地，若函数y=f(x)的图象关于坐标原点对称，则f(x)与f(-x)有什么关系？反之成立吗？,思考4:我们把具有上述特征的函数叫做奇函数，那么怎样定义奇函数？,如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)成立，则称函数f(x)为奇函数.,f(x)=-f(-x),思

12、考5:等式f(-x)=-f(x)用文字语言怎样表述？,自变量相反时对应的函数值相反,思考6:函数 是奇函数吗？奇函数的定义域有什么特征？,奇函数的定义域关于原点对称,理论迁移,例1 判断下列函数的奇偶性: (1) ; (2) .,例2 已知定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数，都有 成立. （1）求f(1)和f(-1)的值； （2）确定f(x)的奇偶性.,例3 确定函数 的单调区间.,作业: P36练习：1，2,1.3.2 奇偶性,第二课时 函数的奇偶性的性质,问题提出,1.奇函数、偶函数的定义分别是什么？,2.奇函数和偶函数的定义域、图象分别有 何特征？,奇偶性的性质,3.函数的奇偶性有

13、那些基本性质？,知识探究（一）,思考1:是否存在函数f(x)既是奇函数又是偶函数？若存在，这样的函数有何特征？,f(x)=0,思考2:一个函数就奇偶性而言有哪几种可能情形？,思考3:若f(x)是定义在R上的奇函数，那么 f(0)的值如何？,f(0)=0,思考4:如果函数f(x)具有奇偶性,a为非零常数，那么函数af(x)，f(ax)的奇偶性如何？,思考5:常数函数 具有奇偶性吗？,思考1:如果函数f(x)和g(x)都是奇函数，那么f(x) + g(x)，f(x) - g(x)， f(x)g(x) ，f(x)g (x)的奇偶性如何？,知识探究（二）,思考2:如果f(x)是定义在R上的任意一个函数，那么f(x) + f(-x)，f(x) - f(-x)奇偶性如何？,f(x) + f(-x)是偶函数,f(x) - f(-x)是奇函数,思考3:二次函数 是偶函数的条件是什么？ 一次函数 是奇函数的条件是什么？,b=0,理论迁移,例1 已知f(x)是奇函数，且当 时， ,求当 时f(x)的解析式.,例2 设函数 ，已知 是偶函数，求实数m的值.,m=-4,例3 已知f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x都有 ，若当 时， ,求 的值.,例4 已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在 上是增函数，f(-2)=0，求不等式 的解集.,作业: P39习题1.3A组：6 B组：3,