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1、力 偶 系,第 三 章,3-1 力对点的矩,力对点的矩是度量力对刚体绕点转动的作用效应。 记为 M O ( F ),a. 平面内力对点之矩,平面上力对点之矩的两要素： 1）力的大小与力臂的乘积 2）转动方向,力使物体绕矩心逆时针转为正，反之为负。,O 称为矩心 h 称为力臂,平面力对点之矩为代数量 且 M O ( F ) = F h,或 M O ( F ) = 2OAB 单位：Nm 或 KNm,空间力系中力对点之矩的三要素：,MO (F) = rF 力对点之矩矢（过矩心O的定位矢量 ）,b. 空间力对点之矩矢,3）转动方向,2）力与矩心组成的平面方位,1）力的大小与力臂的乘积,3）矢量的指向按
2、右手法则确定了转向,空间力对点之矩为矢量 记作 MO (F),1）矢量的模等于力矩的大小,2）矢量的方位与力和矩心组成的平面的法向平行,矢径的矢量表达式： r = x i + y j + z k,= ( y Z - z Y ) i + ( z X - x Z ) j +( x Y - y X )k,力F的矢量表达式： F = X i + Y j + Z k,力F对 o 点之矩矢的表达式：,A,1）力对点之矩随矩心的变化而变化（力关于各点的转动作用效应不同）,2）力沿作用线滑移时，力对点之矩不变（h不变）,3）F=0或力作用线通过矩心，力对点之矩为零,合力矩定理,设 r 为矩心到汇交点的矢径，R
3、 为F1、F2、Fn的合力，即： R = F1 + F2 + Fn 可得： MO (R) = rR = r( F1 + F2 + Fn ) = r F1 + r F2 + + r Fn = MO (F1) + MO (F2) + + MO (F n ) 也就是：,汇交力系的合力对点的矩等于该力系所有分力对同一点之矩矢的矢量和。,证：,合力矩定理的两个用处:,1)求力矩 2)确定合力作用线位置,例3-1曲拐OAB。已知 OAABP,求MO ( P )。,解法一 依定义解,MO ( P ) = P h = P OB sin MO ( P ) =P (OA2+AB2 )12 sin ,解法二 合力矩
4、定理解,MO ( P )= MO ( Px ) + MO ( Py ) = MO ( Py )=P sin OB MO ( P ) = P ( OA2+AB2 )12 sin ,水平梁 AB 受三角形分布载荷作用，载荷的最大载荷集度为 q，梁长 l 。求合力作用线的位置。,例3-2,合力对 A 点的矩可由合力矩定理得：,解：距 A 端为 x 的微段 dx上作用力的大小为 qx dx,三角形面积,作用线过 几何中心,其中 qx = q x / l 设合力P 到 A点的距离 h,合力的大小为,3-2 力偶矩矢,1.两个共面力的合成,1)相交的两力,2)平行同向的两力,3)平行反向且大小不等的两力,
5、R1= F1+ F2,R2= F1- F2,合力作用线位置由合力矩定理确定:,MO ( R )= MO ( F1 ) + MO (F2 ),AO/BO = F2 / F1,4)平行反向且大小相等的两力,力偶只能对物体发生转动作用效应,R = 0,？,？,？,力 偶 由两个等值、反向且不共线的平行力组成的力系。记作 （ F，F ）,2. 力偶与力偶矩,力偶 由两个等值、反向且不共线的平行力组成的力系。记作（ F，F ）,这一矢量称作 力偶矩矢 记 作 M,两个力所在平面 力偶作用面,两个力间的垂距d 力偶臂,空间力偶三要素,2）方位与作用面法向n平行,3）指向与力偶转向的关系服从右手螺旋法则,1
6、)力和力偶臂乘积,2)力偶作用面的方位,3)力偶的转向,空间力偶系的力偶为矢量,1）其长度表示力偶矩大小,空间力偶系的力偶,平面力偶系的力偶,若在所研究的问题中，所有的力偶都作用在同一平面内，则称为平面力偶系。,平面力偶系的力偶为代数量,以力偶矩 M 描述,力偶矩 M = F d = 2 ACB 一般以逆时针为正，反之为负，单位与力矩相同。,平面力偶的两要素,1)力和力偶臂的乘积,2)力偶的转向,力偶矩矢可以平行搬移，且不需确定矢的初端位置。, F = - F ,注意到力偶矩的大小为,M 为 自 由 矢,M 为 自 由 矢,M 为 自 由 矢,M 为 自 由 矢,O,力偶矩矢是自由矢量,力偶对
7、空间任一点的矩都相等，即等于力偶矩矢。,证： 如图求力偶（F，F ）对任意点，如 O 点的矩。,画出 O 点到二力作用点 A、B 的矢径,所以，力偶对空间任意点的矩矢与矩心无关。空间力偶对任一点的转动效应相同.,3-3 力偶的等效条件和性质,作用于刚体上的两力偶，若它们的力偶矩矢相等，则此二力偶等效。,作用于同一平面的两力偶，若它们的力偶矩相等，则此二力偶等效。,力偶的等效条件,性质一,（1） 力偶在其作用面内只要力偶矩不变（即力与力偶臂的积不变），它就可以随意的转移，,（2） 力偶的作用面可以随意平行搬移，不改变它对刚体的作用效应。,也可以增大力的同时减小力偶臂（或减小力的同时增大力偶臂），
8、不改变它对刚体的作用效应。,性质二 力偶不能与一个力相平衡。,由性质一知总可以转动力偶和平行搬移力偶作用面使三力有两个交点，这与平衡汇交定理相矛盾。,仍由性质一知总可以转动力偶和平行搬移力偶作用面使力偶中的一个力与所谓的平衡力合成为一个大小及方位都与力偶的另一个力不同的力,这与二力平衡原理相矛盾 。,证：用反证法。即假设平衡力存在,1、平衡力与力偶作用面平行。,2、 平衡力与力偶作用面不平行。,性质三 力偶没有合力,证： 仍用反证法，即假定力偶有合力，那么总可找到一个与此力大小相等，方向相反而作用线共线的力与此力平衡，即力与力偶相平衡。与性质二矛盾。 性质一、二和三告诉我们力偶只能与力偶等效而
9、不能与单个力等效。,力偶只能与力偶相平衡,力偶只能与力偶相平衡,力偶只能与力偶相平衡,力偶只能与力偶相平衡,3-4 力偶系的合成,任意个力偶可以合成为一个合力偶，这个合力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和。 M = M1+M2+ +Mn = M i,M1 + M2 = rBAF1 + rBAF2 = rBA( F1 + F2 ) = rBAR = M,设有两个力偶，由性质一,将力偶中两力分别移到两力偶作用面交线上的两点 A 和 B,可得到两个汇交力系，其合力分别为R 、 R 。,如有n个力偶，按上法依次合成,最后得一力偶,合力偶矩矢为 M = M1+M2+ +Mn = M I,3-5 力偶系的平衡
10、条件,在平面力偶系中合力偶矩等于各分力偶矩的代数和。 M = M1+M2+ + Mn = M i,由合成结果可知：,平面力偶系平衡条件：,三铰刚架由两直角刚架组成，AC 部分上作用一力偶，其力偶矩为 M， 自重不计， 且 a : c = b : a，求A、B支座的反力。,例3-3,AC为对象，M = 0 ,考虑CB部分为二力构件，得：,解： 由 a : c = b : a 知：AC CB，,受力分析,图示机构自重不记。圆轮上的销子 A 放在摇杆 BC上的光滑导槽内。M 1 = 2kNm，OA = r = 0.5m 。图示位置OAOB，= 30，且系统平衡。求作用于摇杆 BC 上力偶的矩 M 2 及 O、B 支座的反力。,例3-4,解：受力分析,续例2-5,先以轮为对象， M = 0 ， M1 - FA r sin = 0,再以摇杆为研究对象 由力偶平衡条件,M = 0 ，,M2 = 4M1 = 8kNm,M 1 =2kNm，OA = r = 0.5m,