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1、导数的应用,1导数与函数的单调性,f(x)0,f(x)0,思考感悟 1若函数f(x)在(a，b)上单调递增，那么一定有f(x)0吗？f(x)0是否是f(x)在(a，b)上单调递增的充要条件？ 提示：函数f(x)在(a，b)上是增函数，则f(x)0，f(x)0是f(x)在(a，b)上单调递增的充分不必要条件,2函数的极值 (1)设函数f(x)在点x0及其附近有定义，如果对x0附近的所有点，都有f(x)f(x0)，就说f(x0)是f(x)的一个_，记作_极大值与极小值统称为_,极大值,y极大值f(x0),极小值,y极小值f(x0),极值,(2)判别f(x0)是极值的方法 一般地，当函数f(x)在点
2、x0处连续时： 如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是_,极大值,极小值,思考感悟 2导数为零的点一定是极值点吗？ 提示：对于可导函数来说，函数在某点x0的导数为0是函数在该点处取得极值的必要不充分条件，即yf(x)在x0处取得极值必有f(x0)0，但反过来不成立如f(x)x3，则f(x)3x2，f(0)0，但x0不是f(x)x3的极值点，事实上f(x)x3在R上单调递增，另一方面对于可导函数f(x)，若f(x)在x0的两侧异号，则xx0必是f(x)的一个极值点,3函数的最值 函数f(x)在a，b上必有最值的条件： 如果在区间a，b上函数yf(x)的图像是一条_的曲线
3、，那么它必有最大值和最小值,连续不断,思考感悟 3极值与最值有何区别与联系？ 提示：极值与最值的区别和联系： (1)函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部范围对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较 (2)函数的极值不一定是最值，需对极值和区间端点的函数值进行比较，或者考查函数在区间内的单调性,(3)如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值 (4)可导函数的极值点导数为零，但是导数为零的点不一定是极值点，如函数yx3在x0处导数为零，但x0不是极值点,1(教材习题改编)函数f(x)x3axb在区间
4、(1,1)上为减函数，在(1，)上为增函数，则( ) Aa1，b1 Ba1，bR Ca3，b3 Da3，bR 答案：D,2设f(x)是函数f(x)的导函数，将yf(x)和yf(x)的图像画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是( ) 答案：D,3若函数yex mx有极值，则实数m的取值范围是( ) Am0 B m 0 C m 1 D m 1 解析：选B.yex m ，函数yex mx有极值，则函数yex mx在定义域内不单调， m 0.,4(原创题)函数f(x)xlnx的单调递增区间是_,5(教材习题改编题)已知函数f(x)x312x8在区间3,3上的最大值与最小值分别为M，m，则Mm_. 答案
5、：32,此类题主要考查求函数的导数、单调性的判定以及单调性的应用，是高考考查的重点，考题可能以小题形式出现，也可以以中档大题形式出现应注意函数yf(x)在区间(a，b)上可导，则f(x)0是函数yf(x)在(a，b)上递增的充分条件，并非充要条件,【思路点拨】 对(1)，先求导，再将导函数转化为二次函数问题，最后通过对二次函数的讨论解决问题；对(2)，由(1)作为基础，(2)的求解就变成了增函数、减函数在定区间上的最值问题，求解即得,(2)当a3时，方程g(x)0有两个不同的实根x11，x22. 由(1)知，在1，e2内，当x2时f(x)取得极值， f(1)0，f(2)23ln2，f(e2)e
6、22e25. 因为f(2)f(1)f(e2)，所以f(x)在区间1，e2上的值域为23ln2，e22e25 ,【误区警示】 本题对综合能力要求较高，在考场解答中容易出现以下问题： (1)求导失误不少考生在第一步出现计算上的错误，而导致失分考场上作答时，即使到了最后也要沉着应战，把该拿的分拿到手 (2)求导后不能准确转化为二次函数去讨论，而是陷入分式函数的复杂讨论中不能自拔解决这一点需要有较强的观察能力以及平时解决复杂问题的基本数学功底，这样才能保证在考场上的发挥,(3)对第(1)问解答，影响着第(2)问的求解错误的发生就是因为第(1)问解答的失误，导致第(2)问得出错误结果,求可导函数f(x)
7、的极值的步骤： (1)求导数f(x)； (2)求方程f(x)0的根； (3)检验f(x)在方程f(x)0的根的左右的符号：如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数yf(x)在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，右侧附近为正，那么函数yf(x)在这个根处取得极小值,(2010年高考安徽卷)设函数f(x)sinxcosxx1,0x2，求函数f(x)的单调区间与极值 【思路点拨】 列表讨论f(x)与f(x)的变化情况求单调区间与极值 【解】 由f(x)sinxcosxx1,0x2， 知f(x)cosxsinx1，,当x变化时，f(x)，f(x)变化情况如下表：,【名师点评】 可导函数的
8、极值点必须是导数为0的点，导数为0的点不一定是极值点可导函数f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x0)0，且在x0的左侧与右侧的f(x)的符号不同不可导的点也可能是极值点,当a0时，f(x)，f(x)随x的变化情况如下表： 由此表可知f(x)在点x1，x2处分别取得极大值和极小值,当a0时，f(x)，f(x)随x的变化情况如下表： 由此表可知f(x)在点x1，x2处分别取得极大值和极小值 综上所述，当a，b满足b2a时，f(x)能取得极值,求f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤： (1)求函数yf(x)在(a，b)内的极值 (2)将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(
9、b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值,(2010年高考重庆卷)已知函数f(x)ax3x2bx(其中常数a，bR)，g(x)f(x)f(x)是奇函数 (1)求f(x)的表达式； (2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间1,2上的最大值与最小值 【思路点拨】 (1)由g(x)是奇函数可得关于a，b的方程，进而求得a，b的值(2)利用g(x)讨论g(x)的单调性，进而可求得极值，把g(x)的极值和在1,2上的端点值比较可求得最值,【名师点评】 求在闭区间a，b上连续，开区间(a，b)内可导的函数的最值时，可将过程简化，即不用判断使f(x)0成立的点是极大值点还是极小值点，直接将
10、极值点与端点处的函数值进行比较，就可判定最大(小)值,在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合用导数求解实际问题中的最大(小)值时，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点也就是最值点,方法技巧 1注意单调函数的充要条件，尤其对于已知单调性求参数值(范围)时，隐含恒成立思想(如例2变式) 2求极值时，要步骤规范表格齐全，含参数时要讨论参数的大小 3极值是一个局部性概念，一个函数在其定义域内可以有许多个极大值和极小值，在某一点的极小值也可能大于另一点的极大值，也就是说极大值与极小
11、值没有必然的大小关系,若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调递增或递减的函数没有极值(如课前热身3) 4在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较(如例4),失误防范 1利用导数讨论函数的单调性需注意以下几个问题 (1)确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间 (2)在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于0的点外，还要注意定义区间内的不连续点或不可导点,(3)注意在某一区间内f(x)0(或f(x)0)是函
12、数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分不必要条件 2研究函数f(x)的极值是通过检验f(x)在方程f(x)0的根的左、右函数值的符号来判定的，因此难点是如何判定这个根左、右函数f(x)值的符号，并与函数f(x)的极大值、极小值对应化解的方法是列出x、f(x)、f(x)变化的图表，得到f(x)在每个区间上的符号，即可得到函数对应的极大值、极小值,函数极值的另一个难以理解的问题是极大值、极小值的大小关系，即函数的极大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小突破这一难点的方法是正确理解极值是一个局部的概念，可以通过画出函数在整个定义域上的图像，对比图像进行分析判断 3求函数最值时，不可想当然
13、地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论 4要强化自己用导数知识处理函数最值、单调性、方程的根、不等式的证明等数学问题的意识,从近两年的高考试题来看，利用导数来研究函数的单调性、极值、最值以及生活中的优化问题已成为炙手可热的考点，既有小题，也有解答题，小题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，解答题主要考查导数与函数单调性或方程、不等式的综合应用 预测2012年高考仍将以利用导数研究函数的单调性、极值、最值为主要考向，同时也应注意利用导数解答生活中的优化问题,【名师点评】 (1)本题易失误的是：忽视定义域的限制；分类依据不明确，分类讨论时“重”或“漏”；不能合理运用导数知识解题，思路
14、受阻 (2)函数的导数与其单调性之间的关系可以从以下三个方面理解： 在某个区间(a，b)上，若f(x)0，则f(x)在这个区间上单调递增；若f(x)0，则f(x)在这个区间上单调递减；若f(x)0恒成立，则f(x)在这个区间上为常数函数；若f(x)的符号不确定，则f(x)不是单调函数,若函数yf(x)在区间(a，b)上单调递增，则f(x)0，其逆命题不成立，因为f(x)0包括f(x)0或f(x)0，当f(x)0时，函数yf(x)在区间(a，b)上单调递增，当f(x)0时，f(x)在这个区间内为常数函数；同理，若函数yf(x)在区间(a，b)上单调递减，则f(x)0，其逆命题不成立使f(x)0的离散的点不影响函数的单调性,