13章 结构弹性稳定.pdf

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1、13-1 概述 13-2 用静力法确定临界荷载 13-3 用能量法确定临界荷载 13-4 具有弹性支座压杆的稳定 13-5* 剪力对临界荷载的影响 13-6* 组合压杆 13-7* 变截面杆的稳定问题 13-8* 圆环及拱的稳定 第13章结构弹性稳定 本章内容提要及基本要求本章内容提要及基本要求： 本章主要介绍了弹性结构的稳定性计算问题本章主要介绍了弹性结构的稳定性计算问题。通过本章通过本章 的学习的学习，主要应掌握主要应掌握： （1 1）结构失稳概念结构失稳概念； （2 2）利用静力法利用静力法、能量法确定临界荷载能量法确定临界荷载； （3 3）具有弹性压杆的稳定性分析具有弹性压杆的稳定性分

2、析 1313- -1 1 概述概述 本节主要内容本节主要内容： 一一、结构失稳的概念结构失稳的概念 二二、结构失稳两种基本形式结构失稳两种基本形式 三三、临界荷载临界荷载 四四、求解临界荷载的方法求解临界荷载的方法 五五、结构稳定自由度结构稳定自由度 结构一旦失稳，外界荷载与结构内部抗力之间的平 衡成为不稳定的，它稍受干扰即产生急剧增长的变形 而迅速破坏，因此失稳现象是突然的、灾难性的。 （3）中性稳定平衡状态：结构由稳定平衡状态 到不稳定平衡的中间过渡状态称为中性平衡状态。 一一、结构失稳的概念结构失稳的概念 （1）稳定平衡状态：设结构原来处于某个平衡状态，后来由于 受到轻微干扰而稍微偏离其

3、原来平衡状态；当干扰消失后，如果 结构能够回到原来的位置，则原来的平衡状态为稳定平衡状态； （2）不稳定平衡状态：如果结构继续偏离，不能回到原来 的位置，则原来的平衡状态称为不稳定平衡状态。 结构失稳：随着荷载的增大，结构的原始平衡状 态可能由稳定平衡状态转变为不稳定平衡状态，这 时原始平衡状态丧失其稳定性，即为结构失稳（或 结构屈曲）。 二二、结构失稳两种基本形式结构失稳两种基本形式 1、第一类失稳：分支点失稳 简支压杆理想体系（完 善体系）:杆件的轴线是 理想的直线（即没有初始 曲率），荷载F是理想的 中心受压荷载（即没有偏 心）。 随着压力F逐渐增大的过程，考察压力F与中心挠度y之间的关

4、 系曲线（称为F-y曲线或平衡路径），存在两个阶段: 当FFcr时：压杆存在两种不同形式的平衡状态，即直线形式的平衡状态 （直线BC）和弯曲形式的平衡状态（大挠度理论曲线BD、小挠度理论直线BD）。 平衡路径I的C点对应的原始平 衡状态是不稳定的。如果压杆受 到干扰而弯曲，则当干扰消失 后，压杆并不能回到C点对应的原 始平衡状态，而是继续弯曲，直 到图中D点对应的弯曲形式的平衡 状态为止。因此，当FFcr时，在 原始平衡路径I上，点C所对应的 平衡状态是不稳定的。 分支点：两条平衡路径I和II的交点B称为分支点。 分支点失稳：分支点B将原始平衡路径I分为两段：前段OB上的点属于稳定 平衡，后段

5、BC上的点属于不稳定平衡。也就是说，在分支点B处，原始平衡 路径I由稳定平衡转为不稳定平衡，出现稳定性的转变。具有这种特征的失 稳形式称为分支点失稳形式。 临界荷载Fcr：分支点对应的荷载称为临界荷载，对应的平衡状态就是临 界状态。 丧失第一类稳定性的特征是丧失第一类稳定性的特征是：结构的平衡形式即内力和变形状态发生质的结构的平衡形式即内力和变形状态发生质的 突变突变，所有平衡形式成为不稳定的所有平衡形式成为不稳定的，同时出现新的有质的区别的平衡形式同时出现新的有质的区别的平衡形式， 具有平衡二重性具有平衡二重性。 第一类失稳形式第一类失稳形式 承受均布水压的圆 环，当压力达到临界 值qcr时

6、，出现了非圆 的新的平衡形式。 图图b b-承受均布荷载的抛物线拱承受均布荷载的抛物线拱，图图c c 所示刚架所示刚架， 荷载达到临界值之前处于受压状态荷载达到临界值之前处于受压状态，荷载达到临界荷载达到临界 值时出现同时具有压缩和弯曲变形的值时出现同时具有压缩和弯曲变形的新的平衡形式新的平衡形式。 图图c c-悬臂悬臂工字梁工字梁，荷载达到临界值前仅在复板平面荷载达到临界值前仅在复板平面 内弯曲内弯曲，荷载达到临界值时发生斜弯曲和扭转荷载达到临界值时发生斜弯曲和扭转的的新的新的 平衡形式平衡形式。 非完善体系压杆：有初曲率的压杆和承受偏心荷载的压杆，这种压杆称为 2、第二类失稳：极值点失稳

7、F-y曲线关系：从一开始加载就处于弯曲平衡状态，即：在初始阶段挠度增 加较慢，以后逐渐变快，当F接近中心压杆的欧拉临界值时，挠度趋于无限大 （小挠度理论曲线OA，大挠度理论曲线OBC ）。 B点为极值点，荷载达到极大 值。在极值点以前的曲线段OB，其平衡状态是稳定的；在极值点以后的曲线段 BC，当挠度增大时，其相应的荷载值反而下降，平衡状态是不稳定的。在极值 点处，平衡路径由稳定平衡转变为不稳定平衡。这种失稳形式称为极值点失 稳，属于第二类失稳。极值点相应的荷载极大值称为临界荷载。 非完善体系的极 值点失稳特征：平 衡形式不出现分支 现象，而F-y曲线具 有极值点。 三、临界荷载 稳定平衡与不

8、稳定平衡的分界处称为临界状态，此时作用结 构的荷载称为临界荷载Fcr； 它是使结构原有平衡形式保持稳定的最大荷载； 结构稳定性问题的研究关键在于确定其临界荷载及进行稳定 性验算，以保证结构不能因失稳而丧失承载能力。 四四、求解临界荷载的方法求解临界荷载的方法：静力法静力法、能量法能量法 cr F，用表示，它是使结构原有平衡形式保持稳定的最大荷载， 也是使结构产生新的平衡形式的最 临界荷载 小荷载。 确定临界荷载的两种方静力法法：和能量法 静力法：以结构失稳时平衡的二重性为依据，应用静力平 衡条件，寻求结构在新的形式下能维持平衡的荷载，其最小 值即为临界荷载。 能量法：以结构失稳时平衡的二重性为

9、依据，应用以能量 形式表示的平衡条件，寻求结构在新的形式下能维持平衡的 荷载，其最小值即为临界荷载。 五五、结构稳定自由度结构稳定自由度 稳定自由度：指为了确定结构失稳时所有可能的变形状态所需要的独立参 数数目。 图图a所示支承在抗转所示支承在抗转 弹 簧 上 的 刚 性 压弹 簧 上 的 刚 性 压 杆杆，确定失稳时变确定失稳时变 形状态独立参数为形状态独立参数为 1，只有只有一个自由度一个自由度。 图图b所示结构所示结构， 则需两个独立参则需两个独立参 数数，具有具有两个自两个自 由度由度。 图图c所示弹性压杆所示弹性压杆，则则 需 无 限 多 个 独 立 参需 无 限 多 个 独 立 参

10、 数数，具有具有无限多自由无限多自由 度度。 1313- -2 2 用静力法确定临界荷载用静力法确定临界荷载 本节主要内容本节主要内容： 一一、有限自由度临界荷载的计算有限自由度临界荷载的计算 二二、无限自由度临界荷载的计算无限自由度临界荷载的计算 用静力法确定临界荷载，是以结构失稳时平衡的二重性为依据， 应用静力平衡条件，寻求结构在新的形式下能维持平衡的荷载，其 最小值即为临界荷载。 一一、有限自由度临界荷载的计算有限自由度临界荷载的计算 例1：所示单自由度结构为刚性压杆，其 下端抗转弹簧的刚度k（发生单位转角所 需的力矩）。设压杆偏离竖直位置时仍 处于平衡状态，则： 0sin0 A MFl

11、k sin()小挠度理论 0Flk 0()有新的平衡形式 0Flk cr k F l 这是结构不仅在原有形式下而 且在新的形式下也能保持平衡 的条件，它反映了失稳时平衡 形式具有二重性这一特征，故 称为稳定方程或特征方程。 0sin0 A MFlk sin cr k F l 0 cr k F l 两条平衡路径交点（分支点）处0 0 lim()1 sin 说明：1、大挠度理论表明：当荷载超过Fcr后，要使杆继续偏转，必须施 加更大的荷载； 2、小挠度理论未能反映当较大时平衡路径II的上升趋势，即：不管转角 多大，荷载均保护Fcr不变，即随遇平衡（图中AB段，这是由于采用假设带 来的一种假象） 3

12、、按静力法，采用小挠度理论与大挠度理论所得分支点荷载完全相同。 按大挠度理论讨论分析： 当当 0 时时，与与F的数的数 值仍一一对应值仍一一对应，如图如图c中的中的 AC段段。 解:设体系由原始平衡状态的原始平 衡位置转到任意变形的新的平衡形式 时，设B点和C点的位移分别为y1和 y2， 2 21 1 12 ( )0 20 ( )0 20 B C Fy MFkyllFy l Fy MFky llFy l 12 12 20 20 klF yFy FyklF y 12 2 0 2 klFF yy FklF 若 、 不全为零，则： 即新的平衡形 式，即平衡形式 具有平衡二重性。 3 kl F kl

13、展开解得： 说明结构失稳的形式说明结构失稳的形式： 总结n个稳定自由度的结构临界荷载的确定： 1、对于具有n个稳定自由度的结构，先假设结构偏离初始平衡 位置，处于新的平衡形式（需设n个独立参数确定）； 2、对新的平衡形式可列出n个平衡方程，它们是关于n个独立参 数的齐次方程； 3、根据这n个参数不能全为零（否则对应于原有平衡形式）， 因而其系数行列式应等于零的条件便可建立稳定方程或特征方 程，即： 0D 4、此稳定方程有n个根，即有n个特征荷载，其中最小都为临界 荷载。 强度问题和稳定问题的本质区别强度问题和稳定问题的本质区别 强度问题：找出结构在稳定平衡状态下的最大应力，它 的前提是稳定平衡

14、，是应力问题应力问题； 稳定问题：是要防止结构不稳定平衡状态的发生，找出 结构外力与内力之间不稳定的平衡状态，即在干扰作用下 结构变形急剧增长的平衡状态，研究的是变形问题变形问题； 结构强度计算：是防止最大应力不超过材料极限强度； 结构稳定计算：是防止不稳定平衡状态的发生； 结构强度计算的平衡方程是建立在结构未变形前的原始 位置，而稳定计算的平衡方程必须按变形后的位置确定。 结构的稳定计算与强度计算同等重要结构的稳定计算与强度计算同等重要，在结构设计中必在结构设计中必 须考虑须考虑。 例例- -求图求图a a所示结构的临界荷载所示结构的临界荷载。两弹性支座刚度均为两弹性支座刚度均为k k。 解

15、解：结构有两个自由度结构有两个自由度，失稳时失稳时A A、 B B点的位移如图点的位移如图b b。 设位移是微小的设位移是微小的，由由M MB B=0=0，M MC C=0=0 02 0)( 211 112 lkylkyFy lkyyyF 即即 )a( )( )( 02 0 21 21 klyyFkl FyyFkl y y1 1、y y2 2不全为零不全为零，则应有则应有 0 )2( )( klFkl FFkl 展开展开 0)(3 22 klklFF 解得解得 kl kl klF 382. 0 618. 2 2 53 临界荷载临界荷载 klF382. 0 cr 由(a)式不能求得y1、y2的确

16、定解答，但可以求出两者的比值。 将klF 2 53 代回(a)式可得 618. 0 53 51 1 2 y y 相应的位移图如图c。 将 klF 2 53 代回(a)式可得 618. 1 53 51 1 2 y y 相应的位移图如图d。 实际结构必先以图d的形式失稳，图c只是理论上存在。 )a( )( )( 02 0 21 21 klyyFkl FyyFkl 二二、无限自由度临界荷载的计算无限自由度临界荷载的计算 1、先假设结构已处于新的平衡形式（曲线变形形式曲线变形形式），），对新 的平衡形式下建立平衡方程（注意注意：在无限自由度体系中在无限自由度体系中，平平 衡方程是微分方程而不是代数方程

17、衡方程是微分方程而不是代数方程，这是与有限自由度体系不这是与有限自由度体系不 同的同的）。 2、求解此微分方程：将微分方程整理成标准形式并求解，利 用边界条件得到一组与未知数数目相同的齐次方程，根据平衡 二重性为获得非零解，使其系数行列式D=0建立稳定方程； 3、解稳定方程，取最小者即为临界荷载。 （注意注意：对无限自由度体系对无限自由度体系，稳定方程是超载方程稳定方程是超载方程，有无穷多有无穷多 处根处根( (试算法试算法) )，因而有无穷多个特征荷载因而有无穷多个特征荷载（相应有无穷多种变相应有无穷多种变 形曲线形式形曲线形式），），其中最小者为临界荷载其中最小者为临界荷载）。）。 在无限

18、自由度体系中在无限自由度体系中，静力法解题思路静力法解题思路： 例：图示两端铰支的等截面中心受压弹性直杆，求解其临界荷载。 解：1、在临界状态下，设其已处于新的曲线平衡 形式y=f(x)，则其任一x截面的弯矩为 ： S MFyFlx 挠曲线的近似微分方程表示为 () s FyF lxMFy y EIEIEI 0 F yy EI 2、此微分方程的通解为 cossinyAnxBnx 2 F n EI 000 (AB) cossin00 xyA AnlBnlxly 边界条件： 当时， 关于参数 、 的齐次方程组 当时， 当A=B=0时y=0(对应于原有的直线平衡形式)；对于新的弯曲 平衡形式，则要求

19、A、B不全为零，则要求上述方程组的系数 行列式应等于零，即得稳定方程为： 欧拉公式欧拉公式 EI l k F 2 22 10 0sin()0(0,1,2) cos()sin() nlnlkk nlnl 2 F n EI 使压杆保持微弯平衡状态 的压力有多个，取最小值 EI l Fcr 2 2 cossinsin() nl yAnxBnxBx l 两端铰支压杆挠曲线方程为： 说明不同支承情况弹性压杆临界荷载值： EI l Fcr 2 2 )5 . 0( EI l Fcr 2 2 )7 . 0( 3、一端固定、一端铰支轴心受压杆： 2、两端固定轴心受压杆： 4、一端固定、一端自由轴心压杆 1、两端

20、铰支轴心受压杆： EI l Fcr 2 2 EI l Fcr 2 2 )2( EI l Fcr 2 2 )( ll ll5 . 0 ll7 . 0 ll2 不同压杆届曲后不同压杆届曲后 挠曲线上正弦半挠曲线上正弦半 波的长度波的长度。 例：求如图a所示一端固定另一端铰支的等截面中心受压弹性直杆 的临界荷载。 )( S xlFFyM 挠曲线的近似微分方程为： S( )FyF lxM y EIEI )( S xl EI F y EI F y 2 22 S () F n EI F yn ynlx F 2、微分方程的通 解为： )(sincos S xl F F nxBnxAy 0 000 0 0 c

21、ossin0 S S F Al F xyyF Bn Fxly AnlBnl 由边界条件： ， ， 解：1、设其已处于新的曲线平衡形式，则任一截 面的弯矩为： 方程是关于方程是关于A A、B B、F FS S/ /F F的的 齐次方程组齐次方程组，A A= =B B= =F FS S/ /F F=0=0 时满足时满足，此时各点位移此时各点位移y y 均为零均为零。对新的平衡形式对新的平衡形式 要求三者不全为零要求三者不全为零，方程方程 (b)(b)的系数行列式应为的系数行列式应为 零零，得稳定方程得稳定方程： 10 010tan cossin0 l nnlnl nlnl 3 3、此超越方程图解法

22、求解此超越方程图解法求解，如图如图b b。 nly 1 nlytan 2 与与 交点的横坐标即为方程的根交点的横坐标即为方程的根。最最 小根小根nlnl在在3 3/2/24.74.7左侧附近左侧附近，试试 算求得准确解算求得准确解。493. 4nl 求得临界荷载值为求得临界荷载值为 EI l EI l EInF 2 2 2 cr 19.20493. 4 1313- -3 3 用能量法确定临界荷载用能量法确定临界荷载 用能量法确定临界荷载，就是以结构失稳时平衡的二重性为 依据，应用以能量形式表示的平衡条件，寻求结构在新的形 式下能维持平衡的荷载，其中最小者即为临界荷载。 本节主要内容本节主要内容

23、： 一一、势能驻值原理势能驻值原理 二二、有限自由度临界荷载的计算有限自由度临界荷载的计算 三三、无限自由度临界荷载的计算无限自由度临界荷载的计算 一一、势能驻值原理势能驻值原理1 1、线弹性变形体系的变形势能线弹性变形体系的变形势能（应变能应变能） 弹性体的应变能，即物体变形过程中贮存在物体内部的势能 杆件应变能密度：单位杆长由于杆件产生应变而储存的能 量，等于截面内力在应变上所作的功，即： 222 000 000 2 1 2 1 2 1 . EIGA k EA dEId k GA AdE MddFdFv r r sN 弯刚度：截面抗拉、抗剪、抗、 变；：轴向、剪力、弯曲应、 EIkGAEA

24、/ 杆件结构应变能：由应变能密度沿杆件长度积分得到杆件 应变能，由各杆应变能之和即为杆件结构应变能，即： ) 2 1 2 1 2 1 ( 222 dsEIdsGA k dsEA dsvV 弯曲应变能： dsEIV 2 2 1 拉伸应变能： 剪切应变能： 22 22 1 l l EA dsEAV dsGA k V 2 2 1 2 2、线性变形体系的总势能线性变形体系的总势能 P EV为结构的势能（总势能）; 为结构在可能位移状态下的应变能; 考虑结构的各种几何可能位移状态，结构在可能位移状态下 的势能定义为两部分能量之和，即： PP EVV P V 为外力(荷载)势能,即各荷载在其相应位移上所作

25、虚功总和的负值： 1 n Pii i VF 梁、刚架结构总的势能可表示为： 22 11 11 22 nn Piiii ii EEIdsFEIdsF （y ） 可表述为：在位移是可能位移的前提下（满足支承条件及位移 连续条件），如果与位移相应的内力（即根据物理条件由此位 移求得的内力）还是可能的内力，则该位移必使其势能为驻 值，也就是结构势能的一阶变分等于零。反之，在位移是可能 位移的前提下，如果此位移使势能为驻值，则该位移相应的内 力必然是可能内力。 0 P E 3 3、势能驻值原理势能驻值原理： 相应的内力 为可能内力 相应的势能 为驻值 在位移为可能位 移的前提下 说明：在所有可能位移中，

26、真实位移使势能为驻值；反 之，使势能为驻值的可能位移就是真实位移。 二二、有限自由度临界荷载的计算有限自由度临界荷载的计算 例1：所示单自由度结构为刚性压杆，其下端抗 转弹簧的刚度k（发生单位转角所需的力矩）。 设压杆偏离竖直位置时仍处于平衡状态。把荷载 F看作重量，体系总势能为弹簧应变能与荷载势 能之和。 l k F Flk d dE cr P 0 0)( 0 可得：能驻值条件置能维持平衡，则由势若结构在偏离后的新位 2 2 1 kV 弹簧的应变能： 2 .)cos( 2 FlllFV P 荷载势能： 222 )( 2 1 22 1 Flk Fl kVVE PP 结构的势能为： 用能量法和静

27、力法导出的特征方用能量法和静力法导出的特征方 程是一样的程是一样的，即势能驻值条件等即势能驻值条件等 价于用位移表示的平衡方程价于用位移表示的平衡方程。 2 )( 2 1 FlkEP 讨论势能Ep的正定性： 说明三种平衡形 式的能量特征： 若结构势能极小 则为稳定平衡， 势能极大则为不 稳定平衡，若势 能不发生变化则 为随遇平衡。势 能驻值原理就是 用能量形式表示 的平衡条件。 解:设体系由原始的平衡状态的原始平衡位置转到任 意变形的新的平衡形式时，设B点和C点的位移分别 为y1和y2。根据小变形，可知D点的水平位移为： 2 2222 12121122 11 2 yyyyyy yy ll 荷载

28、势能为： 弹性支座的应变能为： 22 1122P F VFyy yy l 22 12 2 k Vyy 体系的总势能为 2222 121122 2 PP kF EVVyyyy yy l 用能量法和静力用能量法和静力 法导出的特征方法导出的特征方 程是一样的程是一样的，即即 势能驻值条件等势能驻值条件等 价于用位移表示价于用位移表示 的平衡方程的平衡方程。 1 2 0 0 P P E y E y 12 12 20 20 klF yFy FyklF y 应用势能驻值原理： 12 2 0 2 klFF yy FklF 若 、 不全为零，则： 3 kl F kl 展开解得： 2222 121122 2

29、PP kF EVVyyyy yy l 12 12 , (,) n P PPn a aa E EEa aa 1、对于有限自由度结构，所有可能的位移状态只用有限个独立参数 即可表示，结构的势能可表示为只是这有限个独立参数的函数。 1 11 00 PP P dEdE Ea dada 2、当结构处于平衡时，单自由度体系，势能驻值条件可表示为： ，即 总结具有总结具有n n个自由度能量法求解思路个自由度能量法求解思路： 12 12 PPP Pn n EEE Eaaa aaa 对多自由度体系，其势能驻值条件可表示为： 12 0 P n Eaa a 3、由及、 的任意性可知 1 2 0 0 0 P P P

30、n E a E a E a 12 12 n n aaa aaa 得到一组含有 、， 的齐次 线性方程，由于 、，不全为零 建立稳定方程（或特征方程） 临界荷载 例3-3 图a所示压杆EI为无穷大，上端水平弹簧的刚度为k，试确 定其临界荷载。 解解：单自由度结构失稳时发生微小的偏单自由度结构失稳时发生微小的偏 离如图离如图b b。 1 2 2 22 1 1 2 22 11 2 1 1 1 22 y llyll l yy ll ll L 弹簧的应变能为弹簧的应变能为 2 111 2 1 2 1 kyykyV 外力势能为外力势能为 2 1 2 y l F FV 结构的势能为结构的势能为 2 1P 2

31、 y l Fkl VVE 若图若图b b结构能维持平衡则有结构能维持平衡则有0 d d 1 1 P y l Fkl y E y y1 10 0，故故0 Fkl可知可知临界荷载为临界荷载为： cr Fkl 例例3 3- -4 4 用能量法求图用能量法求图a a所示结构的临界荷载所示结构的临界荷载。 解解：结构具有两个自由度结构具有两个自由度，失稳时发生失稳时发生 图图b b所示位移所示位移。 结构处于平衡时结构处于平衡时： 2 2 2 1 2 1 2 1 kykyV 结构的结构的总总势能为势能为： l yy l y FFV 2 )( 2 2 12 2 2 )2(2)( 2 1 2 221 2 1

32、P yFklyFyyFkl l VVE 0)2( 1 0)( 1 21 2 P 21 1 P yFklFy ly E FyyFkl ly E 若若y y1 1、y y2 2不能全为零不能全为零，则则： 0 )2( )( FklF FFkl 03 222 lkklFF展开整理得展开整理得 kl kl klF 382. 0 618. 2 2 53 解得解得 klF382. 0 cr 最小值为临界荷载最小值为临界荷载 三、无限自由度的稳定问题 3、为了求非零解，齐次方程的系数行列式应为零，由此 求出特征荷载值； 无限自由度体系的临界荷载根据能量法求解思路： 1、对于满足位移边界条件的任一可能位移状态

33、对于满足位移边界条件的任一可能位移状态（曲线形曲线形 式式），求出势能； 2、由势能的驻值条件，可得包含待定参数的齐次方程 组； 4、临界荷载是所有特征值中的最小值。 1122 1 n nnii i ii yaxaxaxax xa 式中：是满足位移边界条件的已知函数， 是任意参数。 实际中求解策略：无限自由度有限自由度 1、假设压杆挠曲线函数y为有限个已知函数的线性组合： 12 , n a aa2、结构的所有变形形态由n个独立参数所确定，原无限自由度 结构就简化为只有n个自由度，因而可按有限自由度的情况来确定临界荷 载，很显然，所得解只是一个近似解。 3、解答的近似程度取决于所假设的挠曲线与真

34、实挠曲线的接近 程度。 4、一般来讲，求出的临界荷载总比精确解大。这是因为所假设 的挠曲线与真实的挠曲线不相同，故相当于加入了某些约束，从 而增大了压杆抵抗失稳的能力；而且对常用的挠曲线函数选择的 项数越多，一般能提高计算临界荷载的精度。 【例13-3】图示两端简支的中心受压柱，试用能量法求其临界荷载。 挠曲线上任一微段ds竖向位移差值： 2 22 22 1 11 (11) 22 ddsdydxdxydx dxyydx 荷载作用点下降的距离: 2 0 1 2 l ydx 2 0 2 l P F VFydx 外力势能为： 2 2 00 11 22 ll MEIy M VdxVEI ydx EI

35、22 00 1 22 ll PP F EVVEI ydxydx 1、外力势能的计算： 2、弯曲应变能的计算（忽略轴向变形和剪切变 形的影响）： 3、结构势能的计算 sin x ya l 2 24 2 2 22 00 2 2 2 2 22 00 1 sin 224 sin 224 ll ll P EIaxEI VEI ydxdxa lll FFax VydxdxFa lll 情况1：假设挠曲线为正弦曲线（要满 足位移边界条件） 42 2 22 44 PP EI EVVF a ll 422 0 222 0 22 a cr EIEI FF lll 42 22 0 22 P dEEI F a dall

36、 与静力法所得的精确解相同与静力法所得的精确解相同，这是因这是因 为所设挠曲线与真实挠曲线相同为所设挠曲线与真实挠曲线相同。 22 00 1 22 ll PP F EVVEI ydxydx 3 6416 0 3 P dEEI F a dall 2 2 4 2() a ylxx l 情况 ：设挠曲线为抛物线：（满足位移边界条件） 2 2 2 23 00 2 2 2 2 00 2 3 1832 22 48 (2 ) 223 328 3 ll ll P PP EIaEI VEI ydxdxa ll FFa VydxlxdxFa ll EI EVVF a ll 0 32 641612 0(21.6%)

37、 3 a cr EIEI FF lll 误差达 22 00 1 22 ll PP F EVVEI ydxydx 233 3 342 0x 1612 F Fl xxxx ya EIlll 情况3：以中点受横向荷载 时的挠曲线作为近似曲线： 3 0 32 4824 0 5 482410 0(1.3%) 5 P a cr dEEI F a dall EIEI FF lll 误差达 2 2 2 22 33 00 2 2 2 2 22 3 00 2 3 22424 2 31212 2 25 2412 5 ll ll P PP xEI VEI ydxVEIadxa ll Fx VydxFadxFa lll

38、 EI EVVF a ll 为使求解的 误差不致过 大，通常可取 在某一横向荷 载作用下的挠 曲线作为失稳 时的近似挠曲 线。 22 00 1 22 ll PP F EVVEI ydxydx 例：利用能量法确定一端固定一端铰支压杆的临界荷载。 解解：按两个自由度计算按两个自由度计算，查表取级数的查表取级数的 前两项前两项 ) 35 3 5 1 15 2 ( 2 ) 5 24 84( 2 2 2 7 21 62 1 5 2 2 5 21 42 1 3 P alaalal F alaalal EI E 若若a a1 1、a a2 2不全为零应有不全为零应有： 2 cr 92.20 l EI F P

39、 23 12 1 23 P 12 2 d 21 0 (4)(4)0 d 1510 d1243 (4)()00 10535d E EIl F aEIll F a a E EIl F aEIll F a a 0 35 3 5 24 10 1 4 10 1 4 15 2 4 32 32 FlEIlFlEI FlEIlFlEI 02240128 2 22 2 l EI F l EI F 比精确解大比精确解大3.6%3.6%。 )()( 3 2 2 1 xlxaxlxay 例例3 3- -7 7 试求图试求图a a所示等截面竖直压杆在自重作用下的临界荷载所示等截面竖直压杆在自重作用下的临界荷载。 解解：

40、压杆承受的是均布荷载压杆承受的是均布荷载。 如图如图b b，微段微段d ds s的转角为的转角为y y( (x x) )，微段微段 以上部分的竖向位移为以上部分的竖向位移为 xyxyxxsd)( 2 1 d)(1ddd 22 微段以上部分荷载微段以上部分荷载F FS S= =q q( (l l- -x x) )在此在此 位移上作功为位移上作功为 xyxlqd)( 2 1 )( 2 外力势能为外力势能为 l xyxlqV 0 2 d)( 2 1 查表取三角级数的前两项有查表取三角级数的前两项有 l x a l x ay 2 3 cos1 2 cos1 21 qaaaaxyxlqV l 2 2 2

41、 21 2 1 2 0 2 32 49 4 3 32 4 d)( 2 1 3 2 2 4 2 1 4 0 2 64 81 64 d)( 2 1 l EI aaxyEIV l 2 2 2 3 4 21 2 1 2 3 4 P 32 49 64 81 4 3 32 4 64 aq l EI aqaaq l EI E 0 16 49 32 81 4 3 0 4 3 16 4 32 2 2 3 4 1 2 P 21 2 3 4 1 P aq l EI qa a E qaaq l EI a E a a1 1、a a2 2不全为零应有不全为零应有 0 16 49 32 81 4 3 4 3 16 4 32

42、 2 3 4 2 3 4 q l EI q qq l EI 整理得整理得05576.7505915.106382413. 1 2 33 2 l EI q l EI q 方程的最小根即为临界荷载方程的最小根即为临界荷载 3 cr 838. 7 l EI q 此问题的精确解为此问题的精确解为3 cr 837. 7 l EI q 1313- -4 4 具有弹性支座压杆的稳定具有弹性支座压杆的稳定 本节主要内容本节主要内容： 一一、具有弹性支座的压杆具有弹性支座的压杆 二二、具有弹性支座压杆的稳定性具有弹性支座压杆的稳定性 图图a所示刚架所示刚架，AB杆杆 上端铰支上端铰支；下端不下端不 能移动但可转动能移动但可转动， 其转动受其转动受BC杆弹性杆弹性 约束约束，可用抗转弹可用抗转弹 簧表示簧表示，如图如图b。 抗转弹簧刚度抗转弹簧刚度k1：使梁使梁BC的的B端发生单位转端发生单位转 角时所需的力矩角时所需的力矩。由图由图c可得可得 1 1 1 3EI k l 一、具有弹性支座的压杆 弹性压杆简化的标准：除所选压杆外，结构其余部分必须满 足：无压杆原则、不重复原则 无压杆原则：除所选