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1、基础部 王 静,第4章 微分方程建模,艾滋病现在无疑是现代历史上最严重的瘟疫从1981年发现以来的20多年间，它已经吞噬了近3000万人的生命.据统计，2004年有490万人被艾滋病毒感染，同时有300多万艾滋患者死亡.在我国，2005年的疫情评估结果显示：艾滋病毒感染者和艾滋病人约65万，且疫情发展呈上升趋势，并由高危人群向一般人群扩散，存在进一步蔓延的危险. 建立数学模型研究艾滋病的发展趋势，尽量不涉及太多的医学知识.,4.1 问题驱动：艾滋病的发展,背景:,人体的免疫系统中起关键作用的就是淋巴细胞，它分为T细胞和B细胞. T细胞由骨髓产生，在胸腺内成熟，能直接攻击入侵者T细胞又分CD4T
2、和CD8T两种类型. CD4T细胞可以对微生物的入侵立即发出警报，并指挥CD8T细胞等做出反应，投入战斗B细胞对入侵者产生抗体，抗体与入侵者进行肉搏并将其消灭 在AIDS感染初期，进入人体的HIV首先侵入CD4T细胞内，或侵入巨噬细胞等其他细胞，将病毒带到局部淋巴结，引起各种急性症状，于是CD8T细胞、抗体等做出反应，从而控制疾病的发展，使血液中的HIV持续在一个较稳定的水平，疾病进入潜伏期接着HIV对巨噬细胞、CD4T细胞等的感染，免疫系统逐步被破坏，被感染的CD4T细胞由裂解而大量产生HIV当正常的CD4T细胞急剧减少、HIV迅速增加时，病情发作，随时出现的各种病原都可能引起感染，病人最后
3、因各种机能衰竭而死亡,图4 - 1 AIDS进程示意图,4.2 常微分方程基础,4.2.1 基本概念,1 常微分方程 含有自变量、未知函数以及未知函数的导数或微分的方程，称为微分 方程. 在微分方程中，自变量和未知函数可以不出现，但未知函数的导数或微分必须出现. 未知函数是一元函数的微分方程，叫做常微分方程. 未知函数是多元函数的微分方程，叫做偏微分方程.,4.2.1 基本概念,微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶数.,1 常微分方程,4.2.1 基本概念,2 线性和非线性微分方程,若微分方程中关于未知变量及其导数都是线性的，那么该微分方程就称为线性微分方程，否则就称为非线
4、性微分方程.,如形式为,的方程就是 阶线性微分方程.,4.2.1 基本概念,3 微分方程的解、通解和特解,如果一个函数代入微分方程后, 方程的两端恒等, 则称此函数为该微分方 程的一个解. 如,和 都是一阶微分方程,的解.,4.2.1 基本概念,3 微分方程的解、通解和特解,如果一个微分方程的解中含有任意常数,并且所含独立任意常数的个数等于 该微分方程的阶数时,则这个解叫做该微分方程的通解.如果从一个微分方程的 通解中根据已知条件将任意常数确定下来得到的解,则这个解叫做微分方程的 特解. 用来确定通解中任意常数而得到特解的已知条件叫做初始条件.,求微分方程的解的过程，叫做解微分方程.,二阶微分
5、方程,的通解为,满足初始条件 的特解为,4.2.2 一阶微分方程的求解方法,1 可分离变量的微分方程,形式：,分离变量法：（1）分离变量 （2）两边积分 （3）求积分 （ 为任意常数 ） 其中 和 分别是 和 的原函数.,注意：补充令 的解.,4.2.2 一阶微分方程的求解方法,2 齐次微分方程,形式：,求解齐次微分方程时，只要作变换,，于是有,从而原方程可化为,是可分离变量的微分方程. 按分离变量法，求出其通解，,再将变量,还原为,，所得函数就是齐次方程的通解.,4.2.2 一阶微分方程的求解方法,2 齐次微分方程,例3 求微分方程,的通解.,解: 原方程可化为,它显然是齐次方程.令,，则,
6、，,即,两边积分得,或,用,代换上式中的,将其代入原方程得,4.2.2 一阶微分方程的求解方法,3 一阶线性微分方程,形如,(1),的微分方程叫做一阶线性微分方程,其中,与,都是,的函数.如果,时,则方程(85)变形为,(2),称为一阶线性齐次微分方程.而,时,方程(1)称为一阶线性非齐次微分方程.,一阶线性齐次微分方程通解可由分离变量法求得为,(3),一阶线性非齐次微分方程通解可由常数变易法求得.具体方法为：,把齐次方程(2)的通解中的,换成,的函数,是待定函数,即令,(4),于是,(5),将(4)及(5)代入非齐次方程（1)中可得,即,将得到的 代入（4），即得一阶线性非齐次微分方程（1）
7、的通解为,(6),例4 求微分方程,的通解.,解: 原方程是一阶线性非齐次微分方程，用通解公式（6）可得,4.3 用MATLAB解微分方程,4.3.1 微分方程（组）的解析解,命令：dsolve(eqn1, eqn2,，var) 功能：求微分方程或微分方程组的通解. 命令：dsolve(eqn1, eqn2,，cond1, cond2, ,var) 功能：求微分方程或微分方程组的特解. 其中eqni表示第i个常微分方程，var表示微分方程（组）中的自变量，默认时自变量为t. 在matlab中，约定用字母D表示求微分，D2，D3，表示求高阶微分.任何D后跟着的字母为因变量。例如 应表示为：Du=
8、1+u2.,例1 求,的通解。,解 dsolve(D2y+2*x=2*y,x) ans = exp(2(1/2)*x)*C2+exp(-2(1/2)*x)*C1+x,例2 求,的通解及满足初始条件 的特解.,解 dsolve(Dy=a*y,x) ans = C1*exp(a*x) %通解 dsolve(Dy=a*y,y(0)=b,x) ans = b*exp(a*x) %特解,例3 求微分方程组,的通解。,解 x,y=dsolve(Dx=y,Dy=-x); x=simple(x) %将x化简 x = -C1*cos(t)+C2*sin(t) y=simple(y) y = C1*sin(t)+
9、C2*cos(t),4.3.2 微分方程的数值求解方法,微分方程数值解法的基本思想是： 对求解区间进行剖分，把连续问题的求解变为求解在一系列离散网格节点上的值. 将微分方程离散成在节点上的近似公式或近似方程，把求精确解析解的问题化为利用近似公式求近似数值解的问题 结合定解条件求出近似解. 向前欧拉公式、向后欧拉公式、梯形公式、改进的欧拉方法、 龙格库塔方法,例4 用向前欧拉法和改进的欧拉法解初值问题 ， 取步长h=0.1，并与精确值比较。方程的解析解为,4.3.3 龙格库塔法的MATLAB实现,对于微分方程（组）的初值问题,龙格库塔方法的Matlab命令为ode23,ode45.程序为： t,
10、x=solver(f,ts,x0,options) solver取以上两个函数之一，不同的函数代表不同的算法，其中ode23运用 二三阶龙格库塔算法，ode45运用四五阶龙格库塔算法，一般常用 ode45（精度较高）. f是待解方程写成的m函数文件名 function dx=f(t,x) dx=f1;f2;fn; ts=t0 tf，t0 、tf为自变量的初值和终值；x0为函数的初值；options用于 设定误差限（可以缺省，缺省时设定为相对误差 ，绝对误差 ）， 程序为：options=odeset(reltol,rt, abstol,at) 这里rt，at分别为设定的相对误差和绝对误差. t
11、,x为输出矩阵，分别表示自变量t和因变量x的取值.,4.3.3 龙格库塔法的MATLAB实现,例5 解微分方程组,解 建立m文件test.m： function dy=test(t,y) dy=zeros(3,1); dy(1)=y(2)*y(3); dy(2)=-y(1)*y(3); dy(3)=-0.51*y(1)*y(2); 取t0=0，tf=12，输入命令： T,Y=ode45(test,0 12,0 1 1); plot(T,Y(:,1),-,T,Y(:,2),*,T,Y(:,3),+),4.4 微分方程模型,背景,世界人口增长概况,中国人口增长概况,研究人口变化规律,控制人口过快增
12、长,指数增长模型马尔萨斯提出 (1798),常用的计算公式,x(t) 时刻t的人口,基本假设 : 人口(相对)增长率 r 是常数,今年人口 x0, 年增长率 r,k年后人口,随着时间增加，人口按指数规律无限增长,4.4.1 Malthus模型,指数增长模型的应用及局限性,与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合,适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代,可用于短期人口增长预测,不符合19世纪后多数地区人口增长规律,不能预测较长期的人口增长过程,19世纪后人口数据,人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：,资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用,且阻滞作用随人口数量增加而变大,假设,r固有增长率
13、(x很小时),xm人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）,4.4.1 Logistic模型,x(t)S形曲线, x增加先快后慢,阻滞增长模型(Logistic模型),参数估计,用指数增长模型或阻滞增长模型作人口 预报，必须先估计模型参数 r 或 r, xm,利用统计数据用最小二乘法作拟合,例：美国人口数据（单位百万）,专家估计,阻滞增长模型(Logistic模型),模型检验,用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较,实际为281.4 (百万),模型应用预报美国2010年的人口,加入2000年人口数据后重新估计模型参数,Logistic 模型描述人口、树木、鱼群等， 在经济领域中的应用(如耐
14、用消费品的售量),阻滞增长模型(Logistic模型),3.1亿,4.5 微分方程稳定性理论简介,对象仍是动态过程，而建模目的是研究时间充分长以后过程的变化趋势 平衡状态是否稳定。,不求解微分方程，而是用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性。,4.5.1 一阶微分方程的平衡点与稳定性,F(x)=0的根x0 微分方程的平衡点,准则：,4.5.2 捕鱼问题,再生资源（渔业、林业等）与非再生资源（矿业等）,再生资源应适度开发在持续稳产前提下实现最大产量或最佳效益。,在捕捞量稳定的条件下，如何控制捕捞使产量最大或效益最佳。,如果使捕捞量等于自然增长量，渔场鱼量将保持不变，则捕捞量稳定。,背景,假设,
15、无捕捞时鱼的自然增长服从 Logistic规律,单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比,建模,捕捞情况下渔场鱼量满足,不需要求解x(t), 只需知道x(t)稳定的条件,r固有增长率, N最大鱼量,h(x)=Ex, E捕捞强度,x(t) 渔场鱼量,产量模型,产量模型,稳定性判断,x0 稳定, 可得到稳定产量,x1 稳定, 渔场干枯,E捕捞强度,r固有增长率,产量模型,图解法,P的横坐标 x0平衡点,P的纵坐标 h产量,产量最大,控制渔场鱼量为最大鱼量的一半,效益模型,假设,鱼销售价格p,单位捕捞强度费用c,单位时间利润,在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使效益最大.,求E使R(E)最大,渔场鱼量,收入 T = ph(x) = pEx,支出 S = cE,