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1、数学模型综合题练习（一）学 院：班 级：姓名及学号车道被占用对城市道路通行能力的影响摘要 现车道被占用时是引起交通阻塞的重要因素，本文旨在通过数学建模的方法对同一横断面的实际交通通行能力进行分析，从而研究出由交通事故所引起的车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间以及上游车流量间的关系。针对问题1，通过对视频1数据的采集、整理，计算出了在同一横断面正常情况下实际通行能力的平均值与饱和值以及在事故发生期，在同一横断面实际通行能力的平均值和饱和值。通过对两种情况下数据的对比，可以明显的看出事故时期同一横断面的平均通行能力和饱和通行能力明显小于正常情况下同一横断面实际通行能力的平均值和饱和
2、值。因此，描述出出现交通事故后同一横断面的实际通行能力由强变弱。针对问题2，为比较视频1、视频2中交通事故所占用车道的不同，对同一横断面的实际通行能力是否有差异，从四个方面进行了比较分析。方面1:将视频1、2中的平均通行能力和饱和通行能力进行比较；方面2：通过交通波模型以及排队论模型的原理，计算视频1、2阻塞时间，进行比较；方面3：统计视频1、2出现排队长度达120m的次数，进行比较；方面4：计算视频1、2上游车流量与所处时间的关系。通过四个方面的比较分析，得出在上下班高峰期的上游车流量大于平常期，对通行能力有一定的影响，但是交通事故所占车道的不同，对同一横断面实际通行能力有一定的差异度。针对
3、问题3，运用排队论的理论以及交通波模型的方法，对由交通事故引起的排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间以及上游车流量间的关系，得出有关排队长度的表达式。针对问题4，运用问题3中所得出的表达式，进行反推运算，从而求出事故的持续时间。本文主要通过人工对视频里的数据进行采集、整理，运用了Excel软件进行计算，避免了过于繁杂编程以及较为复杂的模型，较为简单的得出结论，适用于数据量较小的问题中。关键词： 交通波模型 排队论理论 多方面比较 通行能力1、 问题重述车道被占用是指因交通事故、路边停车、占道施工等因素，导致车道或道路横断面通行能力在单位时间内降低的现象。由于城市道路具有交通流密度大、
4、连续性强等特点，一条车道被占用，也可能降低路段所有车道的通行能力，即使时间短，也可能引起车辆排队，出现交通阻塞。如处理不当，甚至出现区域性拥堵。车道被占用的情况种类繁多、复杂，正确估算车道被占用对城市道路通行能力的影响程度，将为交通管理部门正确引导车辆行驶、审批占道施工、设计道路渠化方案、设置路边停车位和设置非港湾式公交车站等提供理论依据。视频1（附件1）和视频2（附件2）中的两个交通事故处于同一路段的同一横断面，且完全占用两条车道。请研究以下问题：1. 根据视频1（附件1），描述视频中交通事故发生至撤离期间,事故所处横断面实际通行能力的变化过程。2. 根据问题1所得结论，结合视频2（附件2）
5、，分析说明同一横断面交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异。3. 构建数学模型，分析视频1（附件1）中交通事故所影响的路段车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系。4. 假如视频1（附件1）中的交通事故所处横断面距离上游路口变为140米，路段下游方向需求不变，路段上游车流量为1500pcu/h,事故发生时车辆初始排队长度为零，且事故持续不撤离。请估算，从事故发生开始，经过多长时间，车辆排队长度将到达上游路口。注：只考虑四轮及以上机动车、电瓶车的交通流量，且换算成标准车当量数。2、 所查数据车辆类型标准车当量数小型车辆1pcu中型车辆1.5pcu大
6、型车辆2pcu拖挂型车辆3pcu摩托车0.4-0.6pcu三、问题假设1、所有中型车辆均算作小车型；2、视频中所出现的所有电瓶车均算作摩托车类型，标准当车量取0.5pcu；3、视频中所出现的所有公交车均当作大型车辆处理；4、假设视频中所有车辆的行驶速度均相等；5、在计算横断面通行能力的时，所选横断面是同一横断面；6、假设视频中的车道从左往右依次编号为1、2、3；7、假设视频中所处路段只发生一起交通事故，其他车辆状况良好，不发生车祸、抛锚、追尾等其他 交通事故。4、 符号系统t1 视频1事故前期正常行驶所用的时间t2 视频1事故发生时期所用时间t3 视频1事故后期正常行驶所用时间 视频1事故前期
7、总标准车当量 视频1事故发生期总标准车当量 视频1事故后期总标准车当量 视频1正常行驶时通行能力的平均值 视频1事故时期通行能力的平均值 事故时期时间间隔代码 视频1正常行驶时间间隔代码t4 视频2事故前期正常行驶所用的时间t5 视频2事故发生时期所用时间t6 视频2事故后期正常行驶所用时间 视频2事故前期总标准车当量 视频2事故发生期总标准车当量 视频2事故后期总标准车当量 视频1正常行驶时间间隔代码 高峰期车流量 正常情况下的车流量 高峰后车流量5、 模型建立及求解5.1 问题1：视频1中，事故所处横断面实际通行能力的变化 对于问题1而言，要研究事故所处横断面实际通行能力的变化，我们必须要
8、知道，在没有发生事故车辆正常行驶的过程中横断面的通行能力和在发生事故后横断面的通行能力。因此，我们对视频1进行了数据的收集和整理，整理结果如下表：事故前期正常行驶车辆类型(所用时间t1：240s)车量(单位：辆）事故发生期车辆类型（所用时间t2：1080s）车量(单位：辆）事故后期正常行驶车辆类型（所用时间t3：120s）车量(单位：辆）小型车辆47小型车辆235小型车辆31大型车辆6大型车辆16大型车辆4摩托车20摩托车50摩托车6总标准车当量 （pcu）69总标准车当量 （pcu）292总标准车当量 （pcu）42表5-1-1：视频1整理所得数据由于在事故前期的车流量不大，而事故后期的车流
9、量明显加大，为了计算车辆正常行驶时横断面通行能力的平均值，以及在事故发生时期横断面通行能力的平均值，我们将事故前期正常行驶的总标准车当量、时间和事故后期正常行驶的总标准车当量、时间合并在一起进行计算。计算正常行驶时通行能力的平均值：计算事故时期通行能力的平均值：正常行驶时通行能力 的平均值0.308事故时期通行能力的平均值0.270表5-1-2：视频1通行能力与时间比平均值的比较通过计算所得视频1正常行驶横断面通行能力的平均值和事故时期横断面通行能力的平均值的比较，我们不难发现，当出现车祸时（事故所占两条道路，只有一条道路可以通车），事故时期的横断面通行能力明显较正常行驶横断面通行能力弱。然而
10、，视频1中正常行驶横断面通行能力的平均值和事故时期横断面通行能力的平均值只能反映总体的情况，因此，我们又对在横断面当车流量处于饱和时，进行了数据收集，整理，时间间隔为60s，所得数据如下表：事故时期时间间隔代码小型车辆（单位：辆）大型车辆（单位：辆）摩托车（单位：辆）pcupcu/s171722.50.375230525.50.425200321.50.3521704190.3171422190.3171610180.31814220.367表5-1-3： 事故发生时期横断面车流量达饱和时所得数据 正常行驶时间间隔代码小型车辆（单位：辆）大型车辆（单位：辆）摩托车（单位：辆）pcupcu/s3
11、24542.50.708表5-1-4：正常行驶时横断面车流量达饱和时所得数据根据表3和表4所得的数据，我们可以看出，在同一横断面车流量达到饱和的时候，正常行驶的通行能力达到了0.708pcu/s，而在事故发生期的通行能力最高的才只能达到0.425pcu/s，明显可以看出，在正常行驶下的通行能力远大于事故时期的通行能力。横断面的通行能力由强变弱。5.2 问题2：同一横断面交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异5.2.1 交通事故所占车道不同同一横断面平均通行能力以及饱和通行能力的比较 为了比较分析同一横断面交通事故所占车道不同，对该横断面实际通行能力影响是否有所差异，我们对视频2中
12、所收集整理得来的数据采取了同视频1一样的处理方法，数据如下表：事故前期正常行驶车辆类型(所用时间t4：120s)车量(单位：辆）事故发生期车辆类型（所用时间t5：1740s）车量(单位：辆）事故后期正常行驶车辆类型（所用时间t6：50s）车量(单位：辆）小型车辆38小型车辆531小型车辆33大型车辆1大型车辆52大型车辆4摩托车15摩托车173摩托车4总标准当车量 （pcu）47.5总标准当车量 （pcu）721.5总标准当车量 （pcu）43表5-2-1-1：视频2整理所得数据正常行驶时通行能力 的平均值0.532事故时期通行能力的平均值0.415表5-2-1-2：视频2通行能力平均值的比较
13、事故时期时间间隔代码小型车辆（单位：辆）大型车辆（单位：辆）摩托车（单位：辆）pcupcu/s181120.50.3422004220.3672114250.4171721126.50.442932160.267152521.50.3581824240.4表5-2-1-3： 事故发生时期横断面车流量达饱和时所得数据正常行驶时间间隔代码（时间间隔：50s）小型车辆（单位：辆）大型车辆（单位：辆）摩托车（单位：辆）pcupcu/s3344430.86表5-2-1-4：正常行驶时横断面车流量达饱和时所得数据根据以上数据，我们对视频1和视频2进行比较，比较如下：图5-2-1-1：视频1与视频2通行能力
14、平均值比较图5-2-1-2：视频1与视频2事故时车流量达到饱和时通行能力的比较根据视频1，视频2以及以上图表可知，在视频1中，事故所占车道为2、3车道，1车道可以通行，当在事故时期车流量达到饱和时，通行能力为0.352pcu/s左右，而在视频2中事故所占车道为1、2车道，3车道可以通行，故在事故时期车流量达到饱和时，通行能力为0.367pcu/s左右，从中可以看出事故时期车流量达到饱和时，通行能力的差异并不是很大，但是由图5-2-1-2可知，视频2中车流量达饱和时的通行能力的波动很大。然而对于平均通行能力而言事故时期视频2的通行能力远大于视频1中平均通行能力，所以根据视频1、视频2饱和通行能力
15、以及平均通行能力的比较，我们可以得出交通事故所占车道的不同，对同一横断面通行能力有一定的影响。5.2.2 交通事故所占车道不同形成阻塞时间的比较根据视频1，视频2所采取的数据，我们可以知道两个视频中所形成的阻塞时间应有明显的差异，对此分别计算视频1与视频2中的阻塞时间。我们根据交通波模型知道，计算阻塞时间，即是高峰过去后，排队开始消散，但是阻塞仍要持续一段时间。因此阻塞时间应为排队形成时间（即高峰时间）与排队消散时间之和。根据视频2数的据我们可以得出排队达120m时所用时间为，在高峰后，车流量变为，为高峰期车流量，为正常时车流量，因此可以得出消散时间： 数据类型视频1视频21.0661.350
16、.7080.860.3890.453202s317s180s263s382s580s表5-2-2-1：视频1与视频2阻塞时间的比较 由表5-2-2-1知，同一横断面交通事故所占车道的不同对该路段所形成的阻塞时间有一定的差异。两个视频的堵车后的消散时间和阻塞时间也有明显的差异，当事故发生在1、2车道形成的阻塞时间远大于事故发生在2、3车道形成的阻塞时间。5.2.3 统计视频1、视频2中出现排队长度达120m时的次数 根据对视频1、视频2数据的采集整理，我们对排队长队达到120m时，两视频中出现所标记出的120m进行了统计比较： 视频数据类型视频1视频2排队长度达120m出现的次数610表5-2-
17、3-1 两视频排队长度达120m的次数表5-2-3-1告诉我们，交通事故所占车道的不同，排队长度达120m出现的次数也有所不同，在视频1中，交通事故是发生在2、3车道，而视频2中交通事故是发生在1、2车道，然而根据上表统计的数据，可以看出交通事故发生在1、2车道时，排队长度达120m所出现的次数明显高于视频1中所出现的次数，而影响排队长度达120m出现次数的因素又跟通行能力有关，因此，我们可以得出交通事故所占车道的不同，对同一横断面的实际通行能力有一定的影响。5.2.4 视频1、视频2上游车流量跟时间的关系视频1与视频2的交通事故所处是同一路段的同一横断面，但是交通是故发生的时间却有所不同，因
18、此分别对视频1、视频2在时间不同的情况下上游车流量的多少进行了统计与比较：时间小型车辆(辆)大型车辆(辆)摩托车(辆)pcupcu/s16：43:49181522.50.37516:44:49170720.50.34216:45:49161319.50.32516:51:00231527.50.45816:52:00152119.50.32516:53:00192324.50.40816:54:00171522.50.375表5-2-4-1 视频1每隔2min上游量数据统计时间小型车辆(辆)大型车辆(辆)摩托车(辆)pcupcu/s17:41:45281532.50.54117:50:0427
19、14300.517:50:48281532.50.54217:51:5025110310.51717:54:51272734.50.57517:55:5312412260.43317:58:51203528.50.47518:00:042014240.418:02:061520190.317表5-2-4-2 视频2上游量数据的统计 根据以上两表的数据统计我们明显可以发现，在视频2中上游车流量的通行能力明显要高于视频1中上游车流量的通行能力，对此，我们可以这样推断：视频1上游的的车流量不是属于上下班高峰期的车流量，而在视频2中，此时交通事故所发生的时间处于下班高峰期，上游车流量明显高于一般时期的
20、车流量，所以这也是影响同一横断面的实际通行能力的因素。我们为了分析说明视频1与视频2交通事故所占车道的不同对同一横断面实际通行能力影响的差异进行了4个方面的分析说明：1、 通过对视频1、视频2饱和通行能力以及平均通行能力的计算比较，发现交通事故所占车道的不同对同一横断面的实际通行能力有一定差异；2、 计算两视频的阻塞时间，发现交通事故所占车道的不同对同一横断面的实际通行能力有一定影响；3、 统计两个视频中所出现的排队长度达120m的次数，发现交通事故所占车道的不同对同一横断面的实际通行能力有一定影响；4、 统计、计算两个视频上游的通行能力与时间的关系，发现下班高峰期上游的车流量明显高于非下班高
21、峰期的上游车流量； 因此，我们可以简单的说明，时间的不同对车流量有着一定程度上的影响，但是我们还是可以看出交通事故所占车道的不同对同一横断面的实际通行能力是有着一定的差异程度的。5.3 问题3：排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、上游车流量间的关系 5.3.1 信号交通路口机动车的通行能力的计算模型交叉口德通行能力是指各相交道路进口处通行能力之和（以进口车道的停车线作为基准面，凡是通过该段面的车辆被认为已通过交叉口），而每个进口处通行能力分为直行、右转、左转，然而在本题类，在进口均禁止左转，所以在以下计算中，不考虑左转车辆。（1）一条直行车道的通行能力： 为信号灯的周期，为60s，
22、为每个周期内绿灯的时间，为30s，而=v/2a，其中v为直行车辆通过交叉口的车速，一般取4.16m/s，由于我们将所有的车辆都进行了标准车当量的转换，所以a=0.6m/，为2.5s。（2）右转车道的通行能力其中，为前后两右转车辆连续行驶过停车线的时间间隔，为3.3s。由以上式子我们可以得出上游理论车辆数Q1的值：数据类型数据值636.721090.912364.35 表5-3-1-1 上游理论车辆数5.3.2 排队长队与三因素之间的关系根据交通波模型的原理，我们通过视频1了解到事故发生时堵塞了两条车道，一条车道可以通行，该路段通行能力下降到了，也就是视频1中，在事故时期车流量达到饱和时的通行能
23、力，相应的密度上升为，根据5.2问中所求得的阻塞时间可以知道交通事故的持续时间为，经过对视频1数据的采集和整理，可以得到此时的速度为16km/h，而事故解除后，该路段的通行能力恢复至，也就是视频1正常行驶下车流量达到饱和时的通行能力，而经视频1可得出为40km/h，此时相应的密度为，根据查找资料，在城市道路上车辆行驶速度为50km/h，为了找出阻塞密度，我们要知道总车辆数与车道数的比值N，以及长度L。在交通波模型中，首先假设两波（集结波和消散波）相遇之前，该路段需求流量始终为，两波的相遇时间为，集结波波速为，消散波波速为，则根据两波相遇时波传动的距离相等这一关系可知： 其中： 则：若，则说明在
24、车队消散之前该路段上游需求流量发生了变化，需求流量变到了，波速变为，相应的密度变为，所以式子变为： 其中：所以根据以上式子，可以得出排队长度的关系式： 其中： 为了求解视频1中排队长度的关系式，首先要求出并比较与的大小关系：（s）（s）388.04258.69表5-3-2-1 时间数据比较表5-3-2-1中的数据，我们可以看出，因为上游路口有红、绿信号灯，一个周期为60s，而只有绿灯时，两条道的直行车辆才能通行，而上游路口的右转车辆不受信号灯的影响，设每条车道的车流量相同，在红灯时期，只有右转车辆可以通行，所以我们可以将车流量等价于上游来车量的持续时间，也就是。因此，我们可以计算出以下数据：
25、(pcu/h)1249.2(pcu/h)2548.8(pcu)7.0050(km/h)16(km/h)40(m)120382(pcu/km)78.075(pcu/km)63.7258.33388.04表5-3-2-2 计算关系的统计量 根据以上数据，我们可以得出排队长队的关系式： 5.4 问题4：达到上游路口时所需时间 由于在问题4中，排队长度以及上游车流量均发生了变化，但在问题3中，我们可以看出是保持不变的，因此在问题三所得出的排队长度的关系式： 下，进行反推计算得出了排队长度达上游路口时所需时间： 根据上式，所求=361.70s，也就是从事故发生开始，经过361.70s，车辆排队的长度将到
26、达上游路口。6、 模型评价模型优势：1、 在问题1中不需要过于复杂的计算，通过人工的方法即可获得视频数据；2、 对问题2我们使用了排队论模型以及交通波模型，从四个方面对视频1以及视频2中交通事故所占车道的不同对同一横断面的实际通行能力有一定的差异，较为全面，没有复杂的模型和公式。3、 通过简化交通波模型来刻画视频1中交通事故所影响的路段车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间以及路段上游车流量之间的关系，简单明了；4、 运用Excel软件即可对数据进行处理，没有繁杂的编程过程；模型缺点：1、人工观察过于繁多，易有误差；2、所考虑因素不完全，易对结果造成误差。7、 参考文献1孔惠惠、秦
27、超，交通事故引起的排队长度及消散时间的估算，铁道运输与经济，27卷第5期，P65-P672中国人民共和国行业标准，城市道路工程设计规范 CJJ37-20123贾晓敏，城市道路通行能力影响因素研究，分类号49 10710-20059019 P21-P304李喜华 城市占道施工对路段交通影响的研究 U491 1000409121330 P31-P40附录运用excel软件进行平均值以及调和平均值的计算平均值：AVERAGE（）调和平均值：HARMEAN（） 数据：视频1中发生事故后到事故解除之间每分钟通过同一横截面车流量时间（min）小型车辆大型车辆摩托车pcupcu/s1203327.50.45821922240.431608200.3334141517.50.29251704190.3176171520.50.3427171722.50.3758230525.50.4259200321.50.352101704190.317111422190.317121610180.3131814220.367调和平均值20.865760.347432视频一的阻塞密度达到120米时的次数123456平均值N4.674788.679.677.001667K0.0389170.0333330.0583330.0666670.072250.0805830.058347 17