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1、 DVD在线租赁 星期五, 四月 05, 2019数学建模课程设计 报 告课题名称：_DVD在线租赁 系 （院）： 理学院 专 业： 数学与应用数学 班 级： 08122111 学生姓名： 朱迪 学 号： 0812211143 指导教师： 许建强 开课时间： 2009-2010 学年 二 学期DVD 在线租赁摘要本论文通过对DVD 租赁问题的抽象简化，建立了一个明确的、完整的数学模型，用线性规划模型对DVD 分配进行优化，设计出一个使得会员满意度较高的分配方案。问题一是由我的组员顾双双完成的。本文通过问卷调查以及问题给出的历史数据建立了基于DVD租用次数限制的通用模型，并且我们还考虑了悲观估计
2、和乐观估计。问题二是在老师的帮助下，我自己完成的。我首先对满意度量化进行了定义，并作出相应的假设。根据假设建立01规划模型，用LINGO 软件编程求得各种DVD 的分配方案。根据实际情况，我考虑了三种做法：第一种是让一部分人分2张，其他人分3张；第二种是让所有人都分到3张DVD；第三种是让一部分人分不到，从而保证其他人分到3张。做出比较，如果会员想看10张左右DVD，网站一张也无法满足，必然会使会员产生较大抱怨，很可能转而找其他网站，即会员流失。如果先满足2张，会员可以先看起来，看过归还，一个月内还能再租一次，本月内看到5张，只比正常情况下的6张少一张，及时有一些不满意，但程度不重。三种方案相
3、比较，第一种情况比其余两种情况都好，整体满意度高。最后,我们对模型的科学性和现实性进行了阐述,并得到了对模型的整体评价,及急需改进之处.关键词：在线租赁 通用（GM）模型 Lingo程序 最大满意度 0-1 规划模型（BIP）偏爱程度一、问题重述1.1 问题产生背景随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。例如，音像制品的在线租赁就是一种可行的服务。这项服务充分发挥了网络的诸多优势，包括传播范围广泛、直达核心消费群、强烈的互动性、感官性强、成本相对低廉等，为顾客提供更为周到的服务。1.2 问题描述
4、如下是在线 DVD 租赁问题。顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD 租赁服务。会员对哪些DVD 有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD 是基于其偏爱程度排序的。网站会根据手头现有的DVD 数量和会员的订单进行分发。每个会员每个月租赁次数不得超过2 次，每次获得3 张DVD。会员看完3 张DVD 之后，只需要将DVD 放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。请考虑以下问题：1）网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000 个会员，得到了愿意观看这些DVD 的人数（表1 给出了其中5 种DVD 的
5、数据）。此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD 两次，而另外的40%只租一次。假设网站现有10 万个会员，对表1 中的每种DVD 来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD 的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD？如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD 呢？2）表2 中列出了网站手上100 种DVD 的现有张数和当前需要处理的1000 位会员的在线订单，如何对这些DVD 进行分配，才能使会员获得最大的满意度？请具体列出前30 位会员（即C0001C0030）分别获得哪些DVD。表 1 对 1000 个会员调查的部分结果DVD 名称 DVD1 DVD2 DV
6、D3 DVD4 DVD5 愿意观看的人数 200 100 50 25 10 表 2 现有 DVD 张数和当前需要处理的会员的在线订单（表格格式示例）DVD 编号 D001 D002 D003 D004 DVD 现有数量 10 40 15 20 会员在线订单 C0001 6 0 0 0 C0002 0 0 0 0 C0003 0 0 0 3 C0004 0 0 0 0 注： D001D100 表示 100 种 DVD, C0001C1000 表示 1000 个会员 , 会员的在线订单用数字 1,2, 表示，数字越小表示会员的偏爱程度越高，数字 0 表示对应的 DVD 当前不在会员的在线订单中。二
7、、问题分析2.1 会员分类的定义A类会员：每月租赁DVD两次的会员；B类会员：每月租赁DVD一次的会员；说明：两类会员可以没有严格的区分，在不同的月份同一会员的类别也可能改变，但是从整体上看，A类会员和B类会员在总人数中的比例必须分别为60%和40%。2.2对同一张碟在一个月内允许被租借次数的两种不同理解。 我们经过查阅在线租赁网站，发现网上租赁有些是没有归还期限的（只要求保持每月交纳会员费，例如亚马逊网站的在线DVD租赁业务），即使有也是一个最后截止日期（从租赁之日起计算），没有明确要求在某一固定日期归还的。于是出现了两种不同的理解：理解一：同一张碟在一个月内最多被允许租借两次。该网站60%
8、的会员每月租赁DVD两次，另外的40%只租一次，并且该网站租赁DVD碟处于一种供不应求的状态。给出如下假设：假设，A类会员在每月一号租借的碟十五号归还，再租借其他的碟到月底归还。B类会员在一号租借，到月底归还。如下图所示： 图2.2 DVD租借归还结构图根据上述假设，可以认为一张碟在一个月内之多被租出两次。理解二：同一张碟在一个月内允许被多次租借从实际角度出发，为了充分利用现有资源，DVD碟应该被允许被多次租借，即：碟一经归还，立即可以再次租借，考虑到网站商务的连续性，在任意30天内，每天都有现有碟租出和已租碟归还的操作。2.3现有碟的分配问题现有碟的一次性分配是一个大型的线性规划（LP）问题
9、，我们建立0-1整数线性规划（Binary Integer Programming）模型（BIP），利用规划软件Lingo求解。规划目标是会员获得最大满意度。2.4有关第二问的思考 对Excel列出的网站100种DVD现有张数和1000位会员的在线订单数据作统计和分析。100种DVD现有总张数3007，1000名会员每人分配3张，共需要3000张，似乎够分，但是其中37号DVD的库存量为106，而有愿望观看该DVD的人数只有91人，考虑到网站不能把会员不想看的DVD强制分给他，故37号DVD至多分出去91人，余15张，总数3007张之多分出去2992张，如果每人分3张的话，至少欠缺8张，于是可
10、以肯定有会员分不到3张；若不考虑网站不能把会员不想看的DVD强制分给他，则每位成员分3张；综上，我们考虑了三种做法：第一种是让一部分人分2张，其他人分3张；第二种是让所有人都分到3张DVD；第三种是让一部分人分不到，从而保证其他人分到3张，究竟哪一种方法更合适、总体满意度更高呢？三、模型假设1、假设问卷调查，所得数据符合统计规律。2、假设邮寄时间可以忽略不计。3、假设不同会员对某一种DVD的喜好指数也是相互独立的。同意会员对不同种DVD的喜好指数也是相互独立的。4、假设DVD碟一经归还，立即租出。（解释：本网站租赁DVD处于一种供不应求的状态，故作此假设）5、假设A类会员在每月一号租借的碟十五
11、号归还，再租借其他的碟到月底归还。B类会员在一号租借，到月底归还。（注：本假设不适用于DVD碟在一个月内允许被多次（大于2次）租借的情况。）6、第二问中分别假设第一种是让一部分人分2张，其他人分3张；第二种是让所有人借3张；第三种是让一部分人分不到，从而保证其他人分到3张；。6、DVD光碟在流通过程中是理想的，即在流通过程中不发生丢失、损坏等情况。四、名词解释1、满意度的量化【7】p218会员的在线订单用数字1，2.表示偏爱程度，数字越小偏爱程度越高，数字0表示不订，故数字越小满意度越高，因此对订单中的数字可以采用以下几种方法进行变换：(1)设某会员对喜欢的DVD排序为x，x=1，2，10，用
12、11减去订单中的数字，在除以10，计算公式为，于是得到对应于x的满意度依次为1，0.9，0.8，,0.1;(2)取倒数，计算公式为，于是得到对应于x的满意度依次为1，1/2，1/3，1/10；(3)用模糊数学中的隶属度的概念，选取适合的隶属度函数，对满意度进行量化。无论采用哪一种方法，各会员的满意度均需要作归一化处理，使每个会员对选中的DVD的满意度之和等于1。五、变量说明1、 在每月第一批租借碟的会员中，A类会员所占比例2、 指定月内看到第i种碟的总人数3、需要采购的第i种碟片的数量（i=1,5）4、表示第i个会员得到第j种DVD时的满意度5、表示第j种DVD的现有数量6、表示DVD的分配情
13、况7、表示分到DVD的张数六、模型的建立与求解6.1第一问的求解6.1.1建立模型：基于DVD碟租用次数限制的通用（General Model）模型一个月内至少50%的会员看到DVD的模型： （6.1.1）说明：k表示在每月第一批次租借碟的会员中，A类会员所占比例，（1-k）表示B类会员所占比例，表示一个月内看到第i种碟的总人数。三个月内至少95% 的希望看到该碟的会员能够看到DVD的模型：（由于95%的比例相当大，其中的两类会员的分布应该符合整体分布情况。） （6.1.1*）此时，表示三个月内看到第i种碟的总人数，其余符号含义不变。6.1.2模型求解表6.1.2GM模型求解结果DVD名称DV
14、D1DVD2DVD3DVD4DVD5一个月50%的人看到正常估计625031251563782313悲观估计9000450022501125450乐观估计500025001250625250三个月95%的人看到正常估计3959198010325161986.1.3模型分析 该模型的求解基于几个很理想化的假设，我们没有从实际角度出发，没有思考问题分析2.2理解二的情况。DVD碟应该被允许被多次租借，才能保证网站商务的连续性，同时提高碟的利用率，使碟的准备量更小。6.2第二问的求解 对会员没有选中的DVD,Excel表中用数字0表示，网站不能把它强制分给会员，故对相应的满意度统一赋值为-1。题目的
15、数据Excel文件中，我们可以充分利用Excel的替换、统计、自定义函数和计算功能，在Excel中进行数据的统计和满意度量化以及归一化处理，然后把Excel的数据传输到其他软件中。因为数据量很大，在此无法一一列出满意度的量化结果。6.2.1建立模型【7】P214现有碟的一次性分配时一个大型的线性规划(LP)问题，我们建立0-1整数线性规划（Binary Integer Programming）模型（BIP）,在0-1型整数线性规划模型（BIP）中， (1)采用每个会员至少满足两张DVD的方法，目标函数是使1000名会员的总体满意度最大，约束条件是每种DVD的库存约束和每人分配DVD的张数约束（
16、2-3张）。会员租赁 DVD 满意度的目标函数为： 租赁规则约束：每种DVD数量是有限的，题目已给出，DVD数量限制：综上所述：BIP模型编写Lingo程序如下：model: !使会员获得最大满意度的DVD的分配方案;sets:rm/1.1000/:a;！a代表rm的属性；dvd/1.100/:d;！d代表dvd的属性；link(rm,dvd):c,x;！c，x代表link的属性!link表示衍生集合；c代表第i位会员对第j张DVD的满意度;x代表有没有分配到第j张DVD，0代表没有，1带有有；endsetsdata: !这里是数据;d=OLE(c:LINGO11zd.xls,kucun);
17、!输入现有的每张DVD张数;c=OLE(c:LINGO11zd.xls,myidu); !输入满意度;OLE(c:LINGO11zd.xls,solution)=x;！目的是把x的计算结果写入文件zd.xls中enddatamax=sum(link:c*x); !目标函数;约束条件for(link:bin(x); !限制x为0或者1;for(rm(i):a(i)=sum(dvd(j):x(i,j);!每位会员借DVD数量；for(rm:bnd(2,a,3); !约束会员借DVD的数量for(dvd(j):sum(rm(i):x(i,j)=d(j);!每位会员租借DVD种类数量不超过该DVD现存
18、量；N=sum(rm:a); ！总的DVD数end程序中的函数分别说明如下：1） 语句目标函数表达式用Lingo语句表示为：max=sum(link:c*x);式中，sum是Lingo提供的内部函数，其作用是对某个集合的所有成员，求指定表达式的和，该函数需要两个参数，第一个参数是集合名称，制定对该集合的所有成员求和，如果此集合是一个初始集合，它有m个成员，则求和运算对这m个成员进行，相当于求，第二个参数是一个表达式，表示求和运算对该表达式进行。此处sum的第一个参数是link表示求和运算对衍生集合link进行，该集合的维数是2，共有1000*100个成员，运算规则是：先对1000*100个成员
19、分别求表达式c(i,j)*x(i,j)的值，然后求和，相当于求，表达式中的c和x是集合link的两个属性，他们各有1000*100个分量。 注：如果表达式中参与运算的属性属于同一个集合，则sum语句中索引（相当于矩阵或数组的下标）可以省略（隐藏），假如表达式中参与运算的属性属于不同的集合，则不用省略属性的索引。2） 语句约束条件实际上表示了100个不等式，用Lingo语言表示该约束条件，语句为：for(dvd(j):sum(rm(i):x(i,j)a=xlsread(zd.xls，sheeet1);%随后两个程序相应改成sheet2sheet3 for i=1:30find(a(i,:)end
20、就得到前30个会员分配到DVD情况，例如： ans = 8 41 98 %第一位会员租赁到的DVD编号(2)采用每位会员都分3张的方法，目标函数是使1000名会员的总体满意度最大。约束条件是每种DVD的库存约束和每人分配DVD的张数约束（3张）。会员租赁 DVD 满意度的目标函数为： 租赁规则约束：每种DVD数量是有限的，题目已给出，DVD数量限制：综上所述：BIP模型编写Lingo程序如下：model:sets:rm/1.1000/:a;dvd/1.100/:d;link(rm,dvd):c,x;endsetsdata:d=OLE(d:zd1.xls,kucun);c=OLE(d:zd1.x
21、ls,myidu);OLE(d:zd1.xls,solution)=x;enddatamax=sum(link:c*x);for(link:bin(x);for(rm(i):a(i)=sum(dvd(j):x(i,j);for(rm:bnd(3,a,3);for(dvd(j):sum(rm(i):x(i,j)=d(j);N=sum(rm:a);end求解得到目标函数值（即总满意度）为2464.1,合计分出3000张，除DVD37余7张，其他99种库存现有DVD全部分出。1000个人中每人分到3张.前30名会员的分配方案见下表。（优化数据程序如上个程序）表6.2.1（2）前30 个会员租到DVD
22、 的情况如下表：会员号C0001C0002C0003C0004C0005C0006C0007C0008C0009C0010分配DVD的种类号1863271119263153412414450186653663578553986280416866817110085会员号C0011C0012C0013C0014C0015C0016C0017C0018C0019C0020分配DVDD的种类号15922123134847416645263317852528451608461366419689859767788689会员号C0021C0022C0023C0024C0025C0026C0027C0028C
23、0029C0030分配DVDD的种类号1453829379225082637250558141696858343062353579576819578825598相对于第一种情况，总满意度稍偏低一点，从2474.5减小到2464.1，前30名会员有两位会员不同，第25位会员原先租借DVD9,DVD69,DVD81，现在租借DVD9,DVD69,DVD81；第16位会员原先租借DVD10,DVD84,DVD97,现在租借DVD48,DVD84,DVD97；(3)采用要么分3张，要么不分的方法，目标函数是使1000名会员的总体满意度最大。为了实现分配DVD的张数约束（3或0张），再引入一个0-1变量
24、， 建立0-1规划模型如下：编写Lingo程序（与前面大体相同）如下：model:sets:rm/1.30/:y;dvd/1.20/:b;link(rm,dvd):c,x;endsetsdata:b=OLE(c:LINGO11zd.xls,kucun);c=OLE(c:LINGO11zd.xls,myidu);OLE(c:LINGO11zd.xls,solution)=x;enddatamax=sum(link:c*x);for(link:bin(x);for(rm:bin(y);for(rm(i):sum(dvd(j):x(i,j)=3*y(i);for(dvd(j):sum(rm(i):x
25、(i,j)=b(j);N=sum(rm:a);end求解得结果：目标函数值（即总满意度）为2472，合计分出2982张，除DVD37余25张外，其他99种库存现有DVD全部分出。1000名会员中994人每人分到3张，没有分到DVD的会员是8,271,384,417,727,862号。前30名会员的分配方案见下表。（优化数据程序如上个程序）表6.2.1（3）前30 个会员租到DVD 的情况如下表：会员号C0001C0002C0003C0004C0005C0006C0007C0008C0009C0010分配DVD的种类号186327111926534124144501866536678553986
26、2804168668110085会员号C0011C0012C0013C0014C0015C0016C0017C0018C0019C0020分配DVDD的种类号15922123131047416645263317852528451608461366419689859767788689会员号C0021C0022C0023C0024C0025C0026C0027C0028C0029C0030分配DVDD的种类号1453829379225082637250558141696858343062353579576949578825598与第一种分配方案相比，总体满意度超低一点点，有2474.5减小到247
27、2,前30名会员只有一个会员不同：8号会员暂时不分；与第二种分配方案相比，总满意度稍偏高一点，从2462.4增加到2472，前30名会员有三位会员不同：第25位会员原先租借DVD9,DVD69,DVD81，现在租借DVD9,DVD69,DVD94；第16位会员原先租借DVD48,DVD84,DVD97,现在租借DVD10,DVD84,DVD97；第8位会员暂时不分。6.2.2 分析模型6.2.2.1第一种情况与第二种情况比较相对于第一种情况，第二种情况的总满意度稍偏低一点，从2474.5减小到2464.1，因为在第二种情况下我们把全本会员不愿租借的DVD也分配给了他们使得他们的满意度下降，如果
28、先满足会员两张，会员可以先看起来，看过归还，一个月内还能再租借一次，本月内看到5张，之比正常情况下的6张少1张，即使有一些不满意，但程度不重。并且在前30名会员有两位会员不同，第25位会员原先租借DVD9,DVD69,DVD81，现在租借DVD9,DVD69,DVD94；第16位会员原先租借DVD10,DVD84,DVD97,现在租借DVD48,DVD84,DVD97；6.2.2.2第一种情况与第三种情况比较相对于第一种情况，第三种情况的满意度稍偏低一点，从2474.5减到2472，因为如果会员看10张左右DVD，网站一张也无法满足，必然会使会员产生较大抱怨，很可能转而找其他网站，即会员流失。
29、如果先满足两张，则情况与6.2.2.1分析的情况一致，程度不重。并且在前30名会员只有一个会员不同：8号会员暂时不分；6.2.2.3第二种情况与第三种情况比较相对于第二种情况，第三种情况的满意度稍偏高一点，从2464.1增加到2472因为在第二种情况下我们把全本会员不愿租借的DVD也分配给了他们使得他们的满意度下降，而在第三种分配中我们没有把他们不愿看的DVD分配给他们，虽然最终有些会员无法借到DVD，但对DVD的满意度只有稍许的影响，没有第二种情况那么明显。并且在前30名会员中有三位会员不同：第25位会员原先租借DVD9,DVD69,DVD84，现在租借DVD9,DVD69,DVD81；第1
30、6位会员原先租借DVD48,DVD84,DVD97,现在租借DVD10,DVD84,DVD97；在第三种情况下第8位会员暂时不分。6.2.2.4三种情况作比较三种方案相比较，第一种情况比第二、第三种情况都好，因为如果先满足两张，则情况与6.2.2.1份的情况一致，程度不重，整体满意度高。七、模型的评价与推广1）在解决第一个问题上，我们虽然考虑了正常估计、悲观估计、乐观估计，但是我们设立的模型在求解中基于几个很理想化的假设，虽然简单，但是得到的值偏大，使得网站的经营成本过高。2）在解决第二个问题上，我们对电子表格中的数据进行了合理的替换，这样简化了目标函数。并且我们也通过用matlab编写了一个
31、对数据处理优化的程序，减轻了在处理数据上的困难，不过此模型中有10 万个0-1 变量，规模相当大，在模型求解过程中速度缓慢。本文建立的模型，不仅能够解决本文的问题。在超市物品的需求预测，货物的购买和各个连锁网点的货物分配，都能运用本文的模型进行解决，本文的模型，但在精确性上还有待改进。八、参考文献1田铮 肖华勇，随机数学基础，北京：高等教育出版社，2005年；2刘金兰 朱晓杨,顾客满意度指标重要性测量的主成分分析与多元回归方法，天津大学学报，16卷，2期，P159-163，2004年4月；3姜启源 谢金星 叶俊，数学模型，北京：高等教育出版社，2004年；4吴祈宗，运筹学与最优化方法 北京：机
32、械工业出版社，2003年；5李继成，数学实验，西安：西安交通大学出版社，2003年；6麻志毅（译），C语言解析教程，北京：机械工业出版社，2000年7袁新生 邵大宏 郁时炼，Lingo和Excel在数学建模中的应用，北京：科学出版社，2007年8 数学建模编程培训 - docin_com豆丁网.htm9 DVD在线租赁_百度文库http:/ 10DVD在线租赁的解决方案 - 学士论文 - 道客巴巴http:/ DVD在线租赁满意度算法探讨 _ 毕业论文_职称论文_发表论文_论文发表全科论文中心http:/ 数模实验室,商业数学建模,数学建模论文http:/ 第十一节 DVD在线租赁的模拟 - 视频 - 优酷视频 - 在线观看http:/ 在本篇论文设计中，对DVD租赁问题抽象简化，建立了较完整的数学模型，用线性规划模型对DVD 分配进行优化，设计出一个使得会员满意度较高的分配方案，进一步用LINGO 软件编程求得各种DVD 的分配方案。特别在问题二中对电子表格中的数据进行了合理的替换，简化目标函数，并为了减轻处理数据上的困难，运用matlab编写了优化程序。不过此模型数据量相当大，在模型求解过程中速度缓慢。论文格式书写规范，条理清晰，程序编写可读性高。答辩过程中，能很好的表达出对本题目的理解，见解。望今后能进一步提高分析能力及灵活度，相信会有更好的表现！成绩：优15