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1、1.2 概率,从直观上来看，事件A的概率是描绘事件A发生的可能性大小的量,P（A）应具有何种性质？,* 抛一枚硬币，币值面向上的概率为多少？ * 掷一颗骰子，出现6点的概率为多少？ 出现单数点的概率为多少？ * 向目标射击，命中目标的概率有多大？,某人向目标射击，A 表示事件“命中目标”，P(A)=？,频率:(P7) 事件A在n次重复试验中出现nA次，则比值nA/n称为事件A在n次重复试验中出现的频率，记为fn(A). 即 fn(A) nA/n.,一、频率与概率,频率与概率到底有怎样的关系呢？,历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时，出现正反面的机会均等。 实验者 n nH fn(H)
2、De Morgan 2048 1061 0.5181 Buffon 4040 2048 0.5069 K. Pearson 12000 6019 0.5016 K. Pearson 24000 12012 0.5005,实践证明：当试验次数n增大时， fn(A) 逐渐趋向一个稳定值。可将此稳定值记作P(A)，作为事件A的概率,频率的性质 (1) 0 fn(A) 1； (2) fn()1； fn()=0 (3) 可加性：若AB ，则 fn(AB) fn(A) fn(B).,频率是个经验值，具有偶然性，近似地反映了事件发生可能性的大小；概率是个理论值，仅有唯一值，精确地反映出事件发生可能性的大小。
3、,二、 概率的公理化定义与性质,注意到不论是对概率的直观理解，还是频率定义方式，作为事件的概率，都应具有前述三条基本性质，在数学上，我们就可以从这些性质出发，给出概率的公理化定义,若对随机试验E所对应的样本空间中的每一事件A，均赋予一实数 P(A)，若满足条件： (1) P(A) 0； (2) P()1； (3) 可列可加性：设A1，A2，, 是一列两两互不相容的事件，即AiAj(ij), i , j1, 2, , 有 P( A1 A2 ) P(A1) P(A2)+. 则称P(A)为事件A的概率。,1.概率的定义(P11),(1) 狭义可加性：设A1，A2，An , 是n个两两互不相容的事件，
4、即AiAj (ij), i , j1, 2, , n ,则有 P( A1 A2 An) P(A1)P(A2)+ +P(An);,(3) 事件差 ：A、B是两个事件，则 P(A-B)=P(A)-P(AB),(2) 单调不减性：若事件AB，则 P(A)P(B),2.概率的性质 ( P11-12),(4) 广义加法公式：对任意两事件A、B，有 P(AB)P(A)P(B)P(AB) 该公式可推广到任意n个事件A1，A2，An的情形 (5) 互补性：P(A)1 P(A); (6) 可分性：对任意两事件A、B，有 P(A)P(AB)P(AB ) .,例：某市有甲,乙,丙三种报纸,订每种报纸的人数分别占全体
5、市民人数的30%,其中有10%的人同时定甲,乙两种报纸.没有人同时订甲丙或乙丙报纸.求从该市任选一人,他至少订有一种报纸的概率.,解:设A,B,C分别表示选择订了甲,乙,丙报的人,例 设事件A，B的概率分别为0.3和0.5，在下列情况下，求 （1）A,B互斥 （2）A B （3）P（AB）= 0.125,解： （1）A，B互斥 B ，,（2）A B,（3）,随机事件,上节内容回顾: 随机事件,随机现象,样本点,随机试验,样本空间,基本事件,复合事件,必然事件,不可能事件,随机事件 的表示,上节内容回顾: 随机事件,包含与相等,并 交 差,互斥,对立,运算律,对偶律,概率,上节内容回顾: 概率,
6、定义,公理化 定义,频率形式 定义,性质公式,加法公式,古典概型,计算,(1) 狭义可加性：若 AB ,则 P( AB) P(A)P(B);,(3) 事件差 ：A、B是两个事件，P(A-B)=P(A)-P(AB),(2) 单调不减性：若 AB，则 P(A)P(B),上节内容回顾:概率的性质公式,(4) 广义加法公式： P(AB)P(A)P(B)P(AB) (5) 互补性： P(A)1 P(A); (6) 可分性： P(A)P(AB)P(AB ) .,古典概型：(P9) 若某实验E满足： 1.有限性：样本空间e1, e 2 , , e n ; 2.等可能性：P(e1)=P(e2)=P(en).
7、则称E为古典概型也叫等可能概型。,二、古典概型,记 事件A中所含样本点个数N(A) ， 样本空间中样本点总数N() ， 则,P(A)具有如下性质(P8),(1) 0 P(A) 1； (2) P()1； P( )=0 (3) AB，则 P( AB ) P(A) P(B),古典概型事件概率的计算公式(P9):,例:有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概率 相等,则至少有一个男孩的概率是多少?,=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT,A=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,解:设A至少有一个男孩, H某个孩子是男孩,古典概型的几类基本问题,乘法公式：设
8、完成一件事需分两步， 第一步有n1种方法,第二步有n2种方法，则完成 这件事共有n1n2种方法。（可推广到若干步）,复习：排列与组合的基本概念,加法公式：设完成一件事有两种途径，第一种途径有n1种方法，第二种途径有n2种方法，则完成这件事共有n1+n2种方法。 （可推广到若干途径）,这两个公式的思想贯穿着整个概率问题的求解,可重复排列：从含有n 个元素的集合中随机 抽取k 次，每次取一个，记录其结果后放回， 将记录结果排成一列,n,n,n,n,共有nk 种不同排列方式,无重复排列：从含有n 个元素的集合中随机抽 取k 次，每次取一个，取后不放回，将所取元 素排成一列,共有Pnk=n(n-1)(
9、n-k+1)种排列方式,n,n-1,n-2,n-k+1,组合：从含有n 个元素的集合中随机抽取k 个， 共有,种不同取法,1、抽球问题 例1:设盒中有3个白球，2个红球，现从盒中任抽2个球，求取到一红一白球的概率。 解: 设 A“取到一红一白球”,答: 取到一红一白球的概率为3/5,一般地，设盒中有N 个球，其中有M 个白球，现从中任抽n 个球，则这n 个球中恰有k个白球的概率是,在实际中，产品的检验、疾病的抽查、农作物的选种等问题均可化为随机抽球问题。我们选择抽球模型的目的在于是问题的数学意义更加突出，而不必过多的交代实际背景。,例 在1500个产品中有400个次品，任取200个，问 （1）
10、恰有90个次品的概率 （2）至少有2个次品的概率,解: 设 A“200个产品中恰有90个次品” ， B“200个产品中至少有2个次品”,2、分球入盒问题 例2：将3个球随机的放入3个盒子中去，问： （1）每盒恰有一球的概率是多少？ （2）空一盒的概率是多少？,解: 设A每盒恰有一球, B空一盒,一般地，把n个球随机地分配到m个盒子中去(nm)，则每盒至多有一球的概率是：,某班级有n 个人(n365)，问至少有两个人的生日在同一天的概率有多大？,例 两封信随机的投入四个邮筒，求 （1）前两个邮筒没有信的概率 （2）第二个邮筒恰好投入一封信的概率,解: 设 A“前两个邮筒没有信” ， B“第二个邮
11、筒恰好投入一封信”,例 一学生宿舍有6名学生，问 （1）6人生日都在星期天的概率 （2）6人生日都不在星期天的概率 （3）6人生日不都在星期天的概率,解: 设 A“6人生日都在星期天” ，B“6人生日都不在星期天” C“6人生日不都在星期天”,3、分组问题 例3 : 30名学生中有3名运动员，将这30 名学生平均分 成3组，求: （1）每组有1名运动员的概率； （2）3名运动员集中在一个组的概率。 解:设A每组有1名运动员; B3名运动员集中在一组,4、 随机取数问题,例4：从1到200这200个自然数中任取一个, (1)求取到的数能被6整除的概率 (2)求取到的数能被8整除的概率 (3)求取到的数既能被6整除也能被8整除的概率,解: N()=200,N(3)=200/24=8,N(1)=200/6=33,N(2)=200/8=25,(1),(2),(3)的概率分别为:33/200,1/8,1/25,例.在110这10个自然数中任取一数，求 （1）取到的数能被2或3整除的概率， （2）取到的数即不能被2也不能被3整除的概率， （3）取到的数能被2整除而不能被3整除的概率。,解:设A取到的数能被2整除;B-取到的数能被3整除,故,填空题,解：,解：,作 业,P6 习题1-1 第2题 P12 习题1-2 第7题、第8题,