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1、第五章 贝塞尔函数,讨论瞬时状态圆盘上的热传导问题,导出贝塞尔方程； 讨论贝塞尔(Bessel)方程的解以及解的性质。,稳恒状态圆域上热传导问题欧拉方程。,瞬时状态圆域上热传导问题贝塞尔方程。,5.1 贝塞尔方程的引入,5.1 贝塞尔方程的引入,设有半径为 R 的薄圆盘，其侧面绝缘，边界上温度始终保持为零，且初始温度已知，求圆盘的温度分布规律。,可归结为求解如下定解问题,令 ，代入方程得,进而得,齐次偏微分方程化为两个微分方程:,它的解为,(1),5.1 贝塞尔方程的引入,(2) 亥姆霍兹方程(Helmholtz),由边界条件，可知,在极坐标系下，问题可以写成,5.1 贝塞尔方程的引入,再次分
2、离变量,令 ,代入化简得,引入参数 分解,5.1 贝塞尔方程的引入,本征值 ，,将 代入另一方程得,n 阶贝塞尔方程.,结合自然周期条件，得本征值问题,本征函数,5.1 贝塞尔方程的引入,由条件 得,由温度是有限的，得,原问题就转化为求贝塞尔方程在条件 下的特征值和特征函数.,做代换 , 并记,考虑贝塞尔方程,5.1 贝塞尔方程的引入,n阶贝塞尔方程的标准形式.,方程转化为,5.1 贝塞尔方程的引入,5.2 贝塞尔方程的求解,5.2 贝塞尔方程的求解,用 x 表示自变量, y=y( x ) 表示未知函数, 则n阶贝塞尔方程为,其中n为任意实数或者复数, 我们仅讨论 的情形.,假定方程有如下形式
3、的级数解：,其中 为常数。,逐项求导, 有,代入方程确定系数 和 ：,比较系数得,5.2 贝塞尔方程的求解,取c=n,选取,因此,5.2 贝塞尔方程的求解,这样，得到方程的一个特解,称 为 阶第一类贝塞尔函数(n=0).,5.2 贝塞尔方程的求解,当 n 不为整数时, 和 线性无关,所以方程的通解可以表示为,结论：,5.2 贝塞尔方程的求解,如果选取,得到,称 为 n 阶第二类贝塞尔函数或者牛曼函数,方程的通解也可表示为,当 n 不为整数时, 和 线性无关,5.2 贝塞尔方程的求解,当m,n为整数时，有,Gamma函数的定义与性质,5.3 n为整数时贝塞尔方程的通解,5.3 n为整数时贝塞尔方
4、程的通解,（）取n=N , 在 中,由于mN时，,所以级数从m=N开始,所以，当n为整数时, 与 线性相关,此时定义第二类贝塞尔函数为,不为整数. 可以证明 和 线性无关， 通解可写为,5.3 n 为整数时贝塞尔方程的通解,其中C为欧拉常数 C = 0.577216,5.3 n 为整数时贝塞尔方程的通解,5.4 贝塞尔函数的递推公式,5.4 贝塞尔函数的递推公式,建立不同阶的贝塞尔函数之间递推公式.,首先考虑零阶和一阶贝塞尔函数之间关系.,分别令 及 得:,微分 J0 的第 2k + 2 项,（）,所以,则,又,5.4 贝塞尔函数的递推公式,一般的, 有,上面两式左边的导数求出来, 并经过化简
5、,则得,5.4 贝塞尔函数的递推公式,贝塞尔函数的递推公式,5.4 贝塞尔函数的递推公式,对于第二类贝塞尔函数, 也有相应的递推公式.,5.4 贝塞尔函数的递推公式,例,5.4 n 为整数时贝塞尔方程的通解,例 求不定积分 .,解 由 ，可得,5.4 贝塞尔函数的递推公式,5.5 函数展成贝塞尔函数的级数,5.5 函数展成贝塞尔函数的级数,在本章开始，我们从薄圆盘温度分布的定解问题中，导出了贝塞尔方程的特征值问题：,方程的通解为,由于 , 由条件 知 , 从而,为了求出特征值问题, 必须判明 的零点是否存在,分布情形如何,由 可得:,贝塞尔函数的零点的结论：,(1) Jn(x)有无穷多个单重实
6、零点, 这些零点在x 轴上关于原点对称分布, 因而Jn(x)有无穷多个正的零点;,(2) Jn(x) 的零点和 Jn+1(x) 的零点是彼此相间分布.,(3) 设 ( )为 的正零点, 则有,5.5 函数展成贝塞尔函数的级数,与这些特征值相应的特征函数为,的解为,5.5 函数展成贝塞尔函数的级数,贝塞尔函数的正交性,的正平方根称为函数 的模值.,5.5 函数展成贝塞尔函数的级数,结论2. 在区间，R上具有一阶连续导数以及分段连续的二阶导数的函数 f ( r ),如果在 r=0 处有界, 在 r=R 处等于零, 则它必可以展开为 如下形式的一致收敛的级数：,其中,5.5 函数展成贝塞尔函数的级数
7、,.6 应用举例,例1 设有半径为1 的薄均匀圆盘，其侧面绝缘，边界上的温度始终保持为零度，初始圆盘内温度分布为1-r2，其中 r 为圆盘内任一点的极半径，求圆盘的温度分布规律。,分析: 由于是在圆域内求解问题, 故采用极坐标. 考虑到定解条件和 无关, 所以温度 只能是 和 的函数.,. 应用举例,解:问题可归结为求下列定解问题:设,由于 和 无关, ,可以化简为问题,. 应用举例,由物理意义, , 且当 时,解(1)得： ,因为 时, ,(1),(2),即,. 应用举例,(2)为零阶非标准的贝塞尔方程,通解为,由 的有界性, 可以知道 ,由条件 得 , 即 是 的零点.,用 (n=1,2)表示 的正零点, 综合以上结果可得:,. 应用举例,从而,由叠加原理, 可得原问题的解为,. 应用举例,由初始边界条件得,故,. 应用举例,因为,所以,. 应用举例,从而,所求定解问题的解为,其中 是 的正零点.,. 应用举例,