第三版常微分方程答案知识点复习考点归纳总结参考.doc

资源描述

《第三版常微分方程答案知识点复习考点归纳总结参考.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第三版常微分方程答案知识点复习考点归纳总结参考.doc（86页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、习题 1.2 1 =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1 的特解。电大考试电大小抄电大复习资料dx y 解： =2xdx 两边积分有：ln|y|=x +cy2 y=e +e =cex 另外 y=0也是原方程的解，c=0 时，y=02xc2 原方程的通解为 y= cex ,x=0 y=1时 c=12 特解为 y= e .2x 2. y dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1 的特解。2 解：y dx=-(x+1)dy dy=- dx2yd1x 两边积分: - =-ln|x+1|+ln|c| y=1|)1(|lnxc 另外 y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1 时

2、c=e 特解：y= |)1(|lnxc 3 =dxy3 2 解：原方程为： =dxy 213x dy= dx y 213 两边积分：x(1+x )(1+y )=cx22 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： dy=- dxy1x1 两边积分：ln|xy|+x-y=c 另外 x=0,y=0 也是原方程的解。 5 （y+x）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为： =-dxy 令 =u 则 =u+x 代入有：xydxu - du= dx12u ln(u +1)x =c-2arctgu 即 ln(y +x )=c-2arctg .22xy 6. x -y+ =0dyy 解：原

4、 =ulnudu ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+ln =cy.y 10. =edxy 解：原方程为： =e exyy e =cey 11 =(x+y)dx2 解：令 x+y=u,则 = -1dxyu -1=uu2 du=dx21 arctgu=x+c arctg(x+y)=x+c 12. =dxy2)( 解：令 x+y=u,则 = -1dxyu -1=u21 u-arctgu=x+c y-arctg(x+y)=c. 13. =dxy12 解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dx xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0 dxy-d(y -y)-dx +

5、x=c22 xy-y +y-x -x=c 14: =dxy5 解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dx xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0 dxy-d( y +2y)-d( x +5x)=0212 y +4y+x +10x-2xy=c. 15: =(x+1) +(4y+1) +8xydx21 解：原方程为： =（x+4y） +3dx 令 x+4y=u 则 = -y4u - =u +341dxu2 =4 u +13 u= tg(6x+c)-123 tg(6x+c)= (x+4y+1). 16:证明方程 =f(xy),经变换 xy=u可化为变量分离方程，并由此求下列方程

6、：yxd 1） y(1+x y )dx=xdy2 2） =x2- 证明：令 xy=u,则 x +y=dyu 则 = - ，有：12 =f(u)+1ux du= dx)1(fx 所以原方程可化为变量分离方程。 1）令 xy=u 则 = - (1)dyu2 原方程可化为： = 1+（xy） (2)x 将 1代入 2式有： - = (1+u )12x2 u= +cxu 17.求一曲线，使它的切线坐标轴间的部分初切点分成相等的部分。解：设（x +y ）为所求曲线上任意一点，则切线方程为：y=y(x- x )+ y 则与 x轴，y 轴交点分别为： x= x - y= y - x y00 则 x=2

7、 x = x - 所以 xy=c00 18.求曲线上任意一点切线与该点的向径夹角为 0的曲线方程，其中 = 。4 解：由题意得：y= dy= dxxy1x ln|y|=ln|xc| y=cx. = 则 y=tg x 所以 c=1 y=x.4 19.证明曲线上的切线的斜率与切点的横坐标成正比的曲线是抛物线。证明：设(x,y)为所求曲线上的任意一点，则 y=kx 则：y=kx +c 即为所求。2 常微分方程习题 2.1 1. ,并求满足初始条件：x=0,y=1 的特解.xyd2 解：对原式进行变量分离得。故它的特解为代入得把即两边同时积分得：eexxyc yxcy

8、yy2 2,1 1,0,ln, 2 并求满足初始条件：x=0,y=1 的特解.,0)(.2dyx 解：对原式进行变量分离得：。故特解是时，代入式子得。当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当xy cyx xyxx 1ln ,11,00 ln,ln,12 3 yxdy3 2 解：原式可化为： xy xyc ccdxyxydx 22 223232)1( )1(),0(lnllnl11,0 ）故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然 10ln1 l, 0l)ln(:931:8.coslns

9、il07lnsgarcisn 1sg1,)1(,6ln)1l(21,0)()(:5 32 2 22 22cdxydxyycudxyuxydxcyydxxtgdyctgxdty cxxyudxuxdudxuyydxcxarctgududxuxdyuxyyxeee x xx 两边积分解：变量分离：。代回原变量得：则有：令解：方程可变为：解：变量分离，得两边积分得：解：变量分离，得：也是方程的解。另外，代回原来变量，得两边积分得：分离变量得：则原方程

10、化为：解：令：。两边积分得：变量分离，得：则令解： .0;ln,ln, 010)1()(4 xycxycx dyxydy故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由： cxyarctgcxartgdxtdtydxycdxydxyexy )(,11,.1 222)(代回变量得：两边积分变量分离得：原方程可变为：则解：令两边积分得：解：变量分离， 12 2)(1yxd 解 cxyarctgyx cxartgdtdtt )(1 12

11、 2，代回变量，两边积分变量分离，原方程可变为，则令变量分离，则方程可化为：令则有令的解为解：方程组 UdXUXYYyx yxyxd 21,31, 31,;012,02.13 .7)5(7217)(,1,52,14)(22 cxyxct dxttdxdxtyyxd 代回变量两边积分变量分离原方程化为：则解：令 15 18)4()1( 22xyxdy原方程的解。，是，两边积分得分离变量，所以求导得，则关于令解：方程化为 cxya

12、rctgdxu udxudyyx yxx 6)382(941 491412)(622 22 16 25 6yxdy 解：，则原方程化为，，令 uyxyd323 3232 )() ，这是齐次方程，令12 62xuxudcxyx cxyy xzdzzz yz zxzxzdzx15373 33 53722 3322)()( 02,)2(1063 )1.(66 的解为时。故原方程包含在通解中当或，又因为即（，两边积分的（时，变量分离当是方程的解。或）方程的解。即是（或，得当，，所以，则

13、17. yxdy32 解：原方程化为 123;)12(2yxdyx 令 ).(;,22 uvvuy则方程组，，）；令，的解为（ 111013 uYZ 则有 zydyz 231023）化为，，，，从而方程（令 )2.(3 2，，，所以，，则有 tdttztdztzt 当当是原方程的解或的解。得，是方程时，，即 222 )2(10 xyxytt cdzt 5)(13 两边积分的时，，分离变量得另外 xyxyxy 52222 )( 原方程的解为，包含在其通解中，故，

14、或，这也就是方程的解。，两边积分得分离变量得，则原方程化为令解）（并由此求解下列方程可化为变量分离方程，经变换证明方程 cyxdxuuuyxdyd uxyfyx 4ln142 21)2(1xy() 0.x,c2。0y,c2。, dx1u),(ux1du,xy y0sy0。:(1) u)(fx1)(fu1)(fduf(),uy yd。,dy2).( )1)(8. 42 33 2 2 19. 已知 f(x) . x xfxtf0 )(,01)( 的一般表达式试求函数解：设 f(x)=

15、y, 则原方程化为两边求导得 xydtf01)( 12ycxyycxydxy 21;2;33 所以两边积分得代入把 cx21xtf01)( xycxcxdtx 21,02)2(;0 所以得 20.求具有性质 x(t+s)= 的函数 x(t),已知 x(0)存在。)(1sxt 解：令 t=s=0 x(0)= = 若 x(0) 0 得 x =-1矛盾。)0()(22 所以 x(0)=0. x(t)= )(1)()1limlim2 2ttxttx 两边积分得 arctg x(t)=x(0)t+c 所以 x(t)=tgx(0)(1)0(2txdtxdttxd)0(1)(2 t+c 当

16、t=0时 x(0)=0 故 c=0 所以 x(t)=tgx(0)t 习题 2.2 求下列方程的解 1 =dxysin 解： y=e ( e )dxdxc =e - e ( )+c21osi =c e - ( )是原方程的解。xxcsn 2 +3x=edtt2 解：原方程可化为： =-3x+edtt2 所以：x=e ( e e ) 3tdt3c =e ( e +c)t51t =c e + e 是原方程的解。t3t2 3 =-s +dtstcotsin 解：s=e ( e )tds21dt3c =e ( )tsintsinc = e ( )tsicettsisi = 是原方程的解。1insitct

17、 4 ， n 为常数.dxyxen 解：原方程可化为： dynxe )(cd xxn 是原方程的解.)ce 5 + =dxy120 解：原方程可化为： =-dxy12 ( ) dxe2cdx2)1(ln1lnx = 是原方程的解.2xce 6 dxy2 34 解： 2 34y = +2 3x 令则 =uyuydxu 因此： =dx2 1u 2 cx3 （*）u 将带入（*）中得：是原方程的解.xy343cxy 332() 21()227.(1),() )1()dxPxd PxddyxQeeQc(x)d23解：方程的通解为： y=+*+ (x) 2321)1,()()dy

18、cdyxxyQeQydc 24P(y) Py)d() x = 即： c+为方程的通解。8.解：则 = 方程的通解为： x= 2331*2ycy 即 x=+c是方程的通解，且 =0也是方程的解。 () ()()19.,() )01adxPxPxdxdadyxQeeQca为常数解：（方程的通解为： y=+1 当时，方程的通解为 yxln/c 当时，方程0a的通解为 =+l/-1当，时，方程的通解为x yc- 331() ()()310.,() )*dxPxdPxdPxddyxx

19、QeeQccxc3解：方程的通解为： y=1 4方程的通解为： y= 2232332331.()(),()pxxdpxpxdyxyxydyzPQeedQce -解：两边除以令方程的通解为： z= 221),0xcyy 故方程的通解为： (且也是方程的解。 22121 ()()222 ln112.(ln)4lnl2lnl, )ln1( PxdPxdxx cxyxdxyydxyzdxxQzecx 解：两边除以令方程的通解为： 22ln)l14ln1:(),4xdcccxy方程的通解为且 =

20、0也是解。 13 2()1xddyyx 这是 n=-1时的伯努利方程。两边同除以，y21dx 令 2yzdyx1dx P(x)= Q(x)=-12 由一阶线性方程的求解公式 22()dxdxzec = 2cyx 14 23de 两边同乘以 y 2()3yydexx 令 yezy 这是 n=2时的伯努利方程。 223dxz 两边同除以令2213dzx1Tz 2dTxzT P（x）= Q(x)=32x 由一阶线性方程的求解公式 3321()dxdxTec = 3 = 132xc()z13yexc2y3xec 15 31dyx 3y 这是 n=3时的伯努利方程。两边同除以 3x3321

21、dxy 令 2z3y = P(y)=-2y Q(y)=32dyx32z 32y 由一阶线性方程的求解公式 223()ydydzeec = 22 = 21yce22()x222yyece2(1)xx 16 y= +xe0()ytdxyed P(x)=1 Q(x)= 由一阶线性方程的求解公式x11()dxdyec = = ()xec0()xecd c=1 y= ()xec 17 设函数 (t)于 t 上连续， (0)存在且满足关系式 (t+s)= (t) (s) 试求此函数。令 t=s=0 得 (0+0)= (0) (0) 即 (0)= 故或2(0)()0()1 （1）当时即 (0)()

22、ttt , )t (2) 当时 =(0)1 0()()limtt0()()litt = =0()1)tt0()(0)t tt = () 于是变量分离得积分 (0)dtt(0)dt(0)tce 由于，即 t=0时 1= c=111ce 故 (0)tte 20.试证：（1）一阶非齐线性方程（2 .28）的任两解之差必为相应的齐线性方程（2.3）之解；（2）若是（2.3）的非零解，而是（2.28）的解，则方程（2.28）的通解可表为()yx()yx : ，其中为任意常数.()c :c （3）方程（2.3）任一解的常数倍或任两解之和（或差）仍是方程（2.3）的解. 证明：（2.28

23、）()dyPxQ （2.3）（1）设，是（2.28）的任意两个解1y2 则（1）1()()dPxyQ （2）22x （1）-（2）得 1212()dyPyx 即是满足方程（2.3 ）12 所以，命题成立。（2）由题意得：（3）()dyxPy （4）()()xQx : 1）先证是（2.28）的一个解。yc : 于是得34()()cdycPxyQxx:()(): 故是（2.28）的一个解。yc : 2）现证方程（4）的任一解都可写成的形式cy : 设是(2.28)的一个解1y 则（4 ）1()()dPxyQ 于是（4 ）-（4）得11()()xyd: 从而 ()1P

24、dyce : 即所以，命题成立。（3）设，是（2.3 ）的任意两个解3y4 则（5）3()dPxy （6）44 于是（5）得 c33()dcPxy 即其中为任意常数33()(dyx 也就是满足方程（2.3）3c （5）（6）得 3434()()dyPxyx 即 ( 也就是满足方程（2.3）34y 所以命题成立。 21.试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程并求解。（5）曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方；（6）曲线上任一点的切线的纵截距是切点横坐标和纵坐标的等差中项；解：设为曲线上的任一点，则过点曲线的切线方程为(,)pxyp()YyXx

25、从而此切线与两坐标轴的交点坐标为 ,0)()yxy 即横截距为，yx 纵截距为。由题意得：（5） 2yx 方程变形为 2d 1yx 于是 1()(ddxec lnlnx 1()dc x: ()c 2x 所以，方程的通解为。2yxc （6） 2xyy 方程变形为 dx 12y 于是 1()2(dxdxeec 11lnln22()xx 1122()xdxc 1122(): 12xc 所以，方程的通解为。 12yxc 22求解下列方程。（1） 0)(2xy 解： 122 )(12122cexey dxdx = /2122 = /1232cxdx =c/2 （2） 3sinosin0

26、yxyx 2sinsicodyxx P(x)= Q(x)=1ix 2icosx 由一阶线性方程的求解公式 112sincosincoi()dxdxyee = i)s = in(cox = sitg 习题 2.3 1、验证下列方程是恰当方程，并求出方程的解。 1. 0)2()(2dyxyx 解：， =1 .1MN 则 xy 所以此方程是恰当方程。凑微分， 0)(2xdyyd 得： Cx31 2 )4()(2yy 解：， .1MxN 则 .y 所以此方程为恰当方程。凑微分， 0432ydxdyx 得 C3 3 0)(1)( 22 dyxydxy 解： 34)(2)()1yxM342)()

27、(2yxyxxN 则 . 因此此方程是恰当方程。（1）xyxu1)(2 （2）2)( 对（1）做的积分，则x )(1)(2ydxyxu = （3）)(ln 对（3）做的积分，则y dyyxyu)()(21 2 = d)(2 = 2)(1yx 则 1)(1)()(1)( 2 222 yxyxdydln)( yxyxyxyu lnll 222 故此方程的通解为 Cln 4、 0)2(3)3(22dyxdxy 解：， .yM1N1 .xy 则此方程为恰当方程。凑微分， 036462232 dyxd0)()(3xyd 得： Cy324 5.( sin - cos +1)dx+( cos -

28、 sin + )dy=0y1x2x1y2yx21 解： M= sin - cos +1 N= cos - sin +2xyx22 =- sin - cos - cos + sinyM21y3x21y3 =- sin - cos - cos + sinxN232x3x 所以， = ，故原方程为恰当方程yx 因为 sin dx- cos dx+dx+ cos dy- sin dy+ dy=012yx1y2xy21 d(-cos )+d (sin )+dx+d(- )=0yxy 所以，d(sin -cos +x - )=0x1 故所求的解为 sin -cos +x - =Cyxy 求下列方程的解：

29、62x(y -1)dx+ dy=02xe2x 解： = 2x , =2xyM2xexN2xe 所以， = ，故原方程为恰当方程x 又 2xy dx-2xdx+ dy=02e2xe 所以，d(y -x )=02x 故所求的解为 y -x =C2e 7.(e +3y )dx+2xydy=0x2 解：e dx+3y dx+2xydy=0 e x dx+3x y dx+2x ydy=03 所以，d e ( x -2x+2)+d( x y )=022 即 d e ( x -2x+2)+ x y =0 故方程的解为 e ( x -2x+2)+ x y =C3 8. 2xydx+( x +1)dy=02 解

30、：2xydx+ x dy+dy=0 d( x y)+dy=0 即 d(x y+y)=02 故方程的解为 x y+y=C2 9、 dxydy2 解：两边同除以得 dxy2 即， dxyarctgd 故方程的通解为 ctr 10、 03dyxy 解：方程可化为： dyx2 即， yd 故方程的通解为：即：cyx21cyx2 同时，y=0 也是方程的解。 11、 01xdyy 解：方程可化为： dxy1 即：dxyxd1 故方程的通解为： cxln 12、 02xdyy 解：方程可化为： x2dxy 故方程的通解为：即：xcxcy 13、 02xdyx 解：这里，NM,xNyM 方程有积分

31、因子xy1 edx1 两边乘以得：方程是恰当方程022ydx 故方程的通解为： cdyx 22cyx3 即： 23 14、 0cossinco dyxdyxyx 解：这里 NM,i 因为 yxyxNysincos 故方程的通解为：即：cdyxyxyxdxyyx sincocossincoxsin 15、 odyxydxy cssinsico 解：这里 NMi,ixNM 方程有积分因子：两边乘以得：1x Ny yde 方程为恰当方程0cossinsincoxyedxey 故通解为： cdyxyeNy sinci 即： cxexeyy os1sin 16、 05324dyd 解：两边

32、同乘以得：yx352423 yxyx0534d 故方程的通解为： cyx5324 17、试导出方程具有形为和的积分因子的充要条件。0),(),(dYXNM)(xy) 解：若方程具有为积分因子，yx （是连续可导）y)()( )(yxNM)(xyxNy 令 )1(z ， .dzxzy ，)(MNzdM ，)()(yx ， NMddzxdz)( 方程有积分因子的充要条件是：是的函数，)(yxNMyx 此时，积分因子为 .dze)( 令)2(yxz ，dz dzxyz)(MxNydzMx)()( yNyMxd 此时的积分因子为 dzyxMe)( 18. 设及连续,试证方程为线

33、性方程的充要条件是它有仅依赖于的积分因子.),(yxff0),(xf x 证:必要性若该方程为线性方程,则有 ,)(xQyPd 此方程有积分因子 , 只与有关 .dxPe)()(x 充分性若该方程有只与有关的积分因子 .)( 则为恰当方程 ,0),()(dxyfdyx 从而 , ,)(xyf .)()()()( xQyPxQdyxf 其中 .于是方程可化为)(P 0)(dd 即方程为一阶线性方程. 20.设函数 f(u)，g(u)连续、可微且 f(u) g(u),，试证方程 yf(xy)dx+xg(xy)dy=0 有积分因子 u=(xyf(xy)-g(xy) 1 证：在方程 yf(

34、xy)dx+xg(xy)dy=0两边同乘以 u得： uyf(xy)dx+uxg(xy)dy=0 则 =uf+uy +yf = + -yfyuffyu)(gfx)(fxy22)( )(gfyxyxf = =2)(gfxy2)(fx f = 2)(f 而 =ug+ux +xg = + - xgxugxu)(gfy)(fxy22)( )(gfyxxyf = =2)(gfxy ff2)(f 故 = ，所以 u是方程得一个积分因子u 21假设方程（2.43）中得函数 M（x,y）N(x,y)满足关系 =xNyM Nf(x)-Mg(y),其中 f(x),g(y)分别为 x和 y得连续函数，试证方程（2.4

35、3）有积分因子 u=exp( + )dxf)(g( 证明：M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 即证 u +M =u +NxNyuM)()(yxNu u( - )=N - M u( - )=Ne f(x) dygxf)()( -M e g(y) u( - )=e (Nf(x)-Mg(y)dygxf)()( yxNdygxf)()( 由已知条件上式恒成立，故原命题得证。 22、求出伯努利方程的积分因子. 解：已知伯努利方程为： ;,oyxQyPdxn 两边同乘以，令，nynz 线性方程有积分因子：,11dxz ，故原方程的积分因子为：dxPndxPnee ，证毕！11 23、设是方程的积分因子，从而求得可微函数，yx, 0,dyxNyxMyxU, 使得试证也是方程的积分因子的充要条件是.ddU0,dyxNyxM 其中是的可微函数。,yxt 证明：若，则u Nuy yuy 又 yMuNyMxx 即为的一个积分因子。0,dyxx 24、设是方程的两个积分因子，且常数，求证y,210,dyx 21 （任意常数）是方程的通解。c2 ,NyM 证明：因为是方程的积分因子21,xdx

展开阅读全文