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1、第九章 数列,第1讲,数列的基本概念,1数列的定义,一定顺序排列的一列数,按照_称为数列，数列中的每个数称 为该数列的项数列可以看作是定义域为 N*的非空子集的函数， 其图象是一群孤立的点,2数列的表示方法,解析法,递推法,_、_、_、_,图象法,列举法,3数列的分类 (1)数列按项数的多少分为：有穷数列，无穷数列 (2)数列按前后项的大小来分： 递增数列：对于任何 nN*，均有_； 递减数列：对于任何 nN*，均有_； 摆动数列：例如：1,1，1,1，1，； 常数数列：例如：6,6,6,6，.,4通项公式,序号,如果数列an的第 n 项与_之间可以用一个式子表示，那 么这个公式叫做这个数列的
2、通项公式，即anf(n)并不是每个数 列都有通项公式，有通项公式的数列，其通项公式也不一定唯一,an1an,an1an,5递推公式,6数列的前 n 项和与通项的公式,(1)Sn_. (2)an_.,如果已知数列an的第一项(或前几项)，且任何一项an与它的前一项an1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，即anf(an1)或anf(an1，an2)，那么这个式子叫做数列an的递推公式如数列an中，a11，an2an11，其中an2an11是数列an的递推公式,a1a2an,1数列 1,2,4,8,16,32，的一个通项公式是(,),B,B,Aan2n1 Ban2n1 Can2n Dan2n
3、1,3已知数列an的前六项为 1,12,16,112,120，,则该数列的一个通项公式(,),C,A1n(n1) C1n(n1),B12n D以上都不是,4下列对数列的理解有四种： 数列可以看成一个定义在 N*(或它的有限子集1,2,3，n) 上的函数； 数列的项数是有限的； 数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点； 数列的通项公式是唯一的,其中说法正确的是_(填序号),5如图911，第一个图中有1个，第二个图中有3个，第三个图中有7个.按照此规律，第5个图中的数目是_.,图911,21,考点1 由数列的前几项写数列的通项公式 例1：分别写出下列数列的一个通项公式，数列的前 4 项已给
4、出,对于一个公式能否成为一个给出的前 n 项的数列的,通项公式，需逐项加以验证，缺一不可,根据数列an的前n 项求其通项公式，一般不唯一，我们常常 取其形式上较简便的一个即可另外，求通项公式，一般可通过 观察数列中各项的特点，进行分析、概括，然后得出结论，必要 时可加以验证,已知数列的前几项求通项公式，主要从以下几个方面来考虑：,负号用(1)n与(1)n1(或(1)n1)来调节，这是因为n与n1奇偶交错；,分数形式的数列，分子找通项，分母找通项，要充分借助,分子、分母的关系；,对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列，等比数列(后,面专门学习)和其他方法解决；,此类问题虽无固定模式，但也有其规
5、律可循，主要靠观察(观 察规律)、比较(比较已知的数列)、归纳、转化(转化为等差或等比 数列)等方法,【互动探究】 1已知数列的an的前四项分别为 1,0,1,0，则下列各式可作,为数列an的通项公式的个数有(,),答案：C,解析：对于，将n3代入，a331，故不是an的通项公式；由三角公式知；和实质上是一样的，不难验证，它们是已知数列1,0,1,0的通项公式；对于，易看出，它不是数列an的通项公式；显然是数列an的通项公式综上可知，数列an的通项公式有三个，即有三种表示形式,2古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，如,图 912：,图 912,他们研究过图 912(1)中的 1,3
6、,6,10，由于这些数能够 表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图 912(2)中 的 1,4,9,16这样的数成为正方形数下列数中既是三角形数又是,),正方形数的是( A289 C1 225,B1 024 D1 378,C,考点2,由递推关系式求数列的通项公式,例2：已知数列an满足an12an1，nN*. (1)若a11，写出此数列的前4项，并推测数列的通项公式； (2)若a11，写出此数列的前4项，并推测数列的通项公式,解析：(1)a1a2a3a41， 可推测数列an的通项公式an1. (2)a11， a22113， a32317， a427115. 可推测数列an的通项公式为an
7、2n1.,数列的递推公式是由递推关系式( 递推) 和首项 (基础)两个因素所确定的，即便递推关系完全一样，而首项不同就 可得到两个不同的数列；适当配凑是本题进行归纳的前提，加强 类比是探索某些规律的常用方法之一,【互动探究】,15,3数列an的构成法则如下：a11，如果an2为自然数且该自然数之前未出现过，则用递推公式an1an2，否则用递推公式an13an，则a6_.,解析：a121 N*，a23a13.a221a1， a33a29.a327，a47.a425，a55.a523a2，a63a515.,考点3 利用an 与Sn 的关系式求通项公式,例3：已知数列an的前 n 项和为 Sn.按照
8、下列条件求数列的,通项公式,(1)若 Sn2n2n，求数列an的通项公式； (2)若 Snn2n1，求数列an的通项公式,解析：(1)当n1时，a1S11. 当n2时，an2n2n2(n1)2(n1)4n3. 经检验n1时，a11也适合an4n3. 所以数列an的通项公式是an4n3.,已知an求Sn时方法多种多样，但已知Sn求an的方法却是高度统一，化简关系式用Sn表示出an是关键 当n2时，若由anSnSn1求出的an对n1也成立， 则anSnSn1，否则就分段表示,【互动探究】,A,4(2011年四川)数列an的前n项和为Sn，若a11，an13Sn(n1)，则a6( ) A344 B3
9、4 C44 D45,解析：由an13Sn，得an3Sn1(n2)，相减得an1an3(SnSn1)3an，则an14an(n2)a11，a23.则a6a244344，选A.注意：本题是从第二项起为等比数列,思想与方法,12用函数的思想探讨数列的单调性,例题：已知单调数列an中，ann2kn(nN*)，求 k 的取值,范围,解析：ann2kn(nN*)， an1an(n1)2k(n1)n2kn2n1k. 数列an单调递增， an1an0，即2n1k0恒成立 k2n1，则k3.,其定义域为正整数集，若数列an递增，则必有1，故k2.,k 2,函数的单调性与数列的单调性既有联系又有区别，即数列所对应
10、的函数单调，则数列一定单调，反之，若数列单调，其所对应的函数不一定单调，关键是数列是定义域为正整数集的特殊函数所以，数列的单调性一般要通过比较an1与an的大小来判断，若an1an，则数列为递增数列，若an1an，则数列为递减数列解本题易出现的错误是由an是关于n的二次函数，,1根据数列的前几项，用归纳法写出一个通项公式，体现了 由特殊到一般的思想方法，考查了基本的数学分析能力和观察能 力熟知一些常见数列的通项公式可起到事半功倍的效果一般 步骤为：,(1)分数中的分子与分母的特点； (2)相邻项的变化规律； (3)各项的符号特征；,(4)拆项后的变化规律，并对此进行归纳、化归、展开联想,在根据数列的前几项写数列的通项公式时，要注意有些数列 的通项公式并不是唯一的；在利用 Sn 求 an 时，一定要验证 n1 与 n2 时能否统一到一个式子中；数列是特殊的函数(自变量为正 整数)，其单调性的判断与函数单调性的判断并不完全相同,