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1、第六编 数 列,6.1 数列的概念与简单表示法,要点梳理 1.数列的定义 按照 排列着的一列数称为数列，数列中 的每一个数叫做这个数列的项.,一定顺序,基础知识 自主学习,2.数列的分类,有限,无限,3.数列的表示法： 数列有三种表示法，它们分别是 、 和 . 4.数列的通项公式 如果数列an的第n项an与 之间的关系可 以用一个公式 来表示，那么这个公式叫 做这个数列的通项公式.,列表法,图象法,解析法,序号n,an=f(n),S1,Sn-Sn-1,an-1,an+1,an-1,an+1,基础自测 1.下列对数列的理解有四种： 数列可以看成一个定义在N*（或它的有限子集 1，2，3，n）上的
2、函数； 数列的项数是有限的； 数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立 的点； 数列的通项公式是惟一的. 其中说法正确的序号是 （ ） A. B. C. D. 解析 由数列与函数的关系知对，由数 列的分类知不对，数列的通项公式不是惟一 的，不对.,C,2.数列1， ，的一个通项公式an是（ ） A. B. C. D. 解析 1可以写成 ，分母为3，5，7，9， 即2n+1,分子可以看为13,24,35,46,故 为n(n+2)，即 . 此题也可用排除法求解，只需验证当n=1时，A 选项为 ，B选项为 ，C选项为 ，均不为1，故 排除A、B、C，从而选D.,D,3.在数列an中,a1=1,a2=
3、5,an+2=an+1-an (nN*), 则a100等于 （ ） A.1 B.-1 C.5 D.-5 解析 方法一 由a1=1,a2=5,an+2=an+1-an (nN*)可得该数列为1，5，4，-1，-5，-4， 1，5，4，. 由此可得a100=-1. 方法二 an+2=an+1-an，an+3=an+2-an+1， 两式相加可得an+3=-an，an+6=an， a100=a166+4=a4=-1.,B,4.若数列an的前n项和Sn=n2-1, 则a4等于 ( ） A.7 B.8 C.9 D.17 解析 a4=S4-S3=42-1-（32-1）=7.,A,5.数列an中， ，Sn=9
4、，则n= . 解析,99,题型一 由数列的前几项写数列的通项公式 【例1】 根据数列的前几项，写出下列各数列的一 个通项公式： （1）-1，7，-13，19， （2）0.8，0.88，0.888， （3） （4） （5）0，1，0，1，,题型分类 深度剖析,思维启迪 先观察各项的特点，然后归纳出其通项 公式，要注意项与项数之间的关系，项与前后项之 间的关系. 解 （1）符号问题可通过（-1）n或（-1）n+1表 示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝 对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an= (-1)n(6n-5). （2）将数列变形为,(3)各项的分母分别为21,22,23,24
5、,易看出第2,3, 4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为 , 原数列可化为 (4)将数列统一为 对于分子3，5， 7，9，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式 为bn=2n+1，对于分母2，5，10，17，联想到数 列1，4，9，16，即数列n2，可得分母的通项 公式为cn=n2+1 因此可得它的一个通项公式为,（1）由数列的前几项求它的一个通项 公式，要注意观察每一项的特点，可使用添项、还 原、分割等方法，转化为一些常见数列的通项公式 来求. （2）由数列的前几项写出数列的一个通项公式是 不完全归纳法，得出的结果是不可靠的，要注意代 值检验,对于正负符号变化,可用(-1)n或(-1)n
6、+1 来调整.,探究提高,知能迁移1 写出下列各数列的一个通项公式： （1）4，6，8，10，（2） （3） （4）3，33，333，3 333， 解（1）因为各项是从4开始的偶数， 所以an=2n+2. （2）由于每一项分子比分母少1，而分母可写为 21，22，23，24，25，故所求数列的一个通 项公式可写为 .,（3）由于带有正负号，故数列可以用（-1）n+1来 调整，而后去掉负号，观察可得. 将第二项-1写成 . 分母可化为3,5,7,9,11,13,为正奇数，而分子 可化为12+1,22+1,32+1,42+1,52+1,62+1，故其一 个通项公式可写为 （4）将数列各项改写为 ，
7、分 母都是3，而分子分别是10-1，102-1，103-1， 104-1，, 所以,题型二 由数列的递推公式求通项an 【例2】根据下列条件，确定数列an的通项公式. （1）a1=1，an+1=3an+2； （2）a1=1，an+1=（n+1）an； （3）a1=2，an+1=an+ （1）构造等比数列；（2）转化后 利用累乘法求解；（3）转化后利用累加法求解. 解 （1）an+1=3an+2，an+1+1=3（an+1）， 数列an+1为等比数列，公比q=3,又a1+1=2, an+1=23n-1，an=23n-1-1.,思维启迪,探究提高 已知数列的递推关系，求数列的通项 时，通常用累加、
8、累乘、构造法求解. 当出现an=an-1+m时，构造等差数列；当出现 an=xan-1+y时，构造等比数列；当出现an=an-1+f(n) 时，用累加法求解；当出现 时，用累乘 法求解.,知能迁移2 根据下列各个数列an的首项和基本 关系式，求其通项公式. （1）a1=1,an=an-1+3n-1 (n2); （2）a1=1,an= an-1 (n2). 解 （1）an=an-1+3n-1 (n2), an-1=an-2+3n-2, an-2=an-3+3n-3, a2=a1+31. 以上（n-1）个式子相加得 an=a1+31+32+3n-1 =1+3+32+3n-1= .,题型三 由Sn与
9、an的关系求通项an 【例3】（12分）已知数列an的前n项和Sn满足 an+2SnSn-1=0 (n2,n N*),a1= ,求an. 由已知条件可将an=Sn-Sn-1（n2)代 入等式，得关于Sn与Sn-1的一个等式，经变形推 得数列 具有等差数列的特征，进而求得Sn， 再得an.,思维启迪,解 当n2, nN*时，an=Sn-Sn-1,Sn-Sn-1 +2SnSn-1=0，,数列的通项an与前n项和Sn的关系是 ,此公式经常使用，应引起 足够的重视.已知an求Sn时方法千差万别，但已知Sn 求an时方法却是高度统一.当n2时求出an也适合 n=1时的情形,可直接写成an=Sn-Sn-1
10、,否则分段表示.,探究提高,知能迁移3 已知下列数列an的前n项和Sn,求an 的通项公式： （1）Sn=2n2-3n；(2)Sn=3n+b. 解 （1）a1=S1=2-3=-1， 当n2时，an=Sn-Sn-1 =（2n2-3n）-2(n-1)2-3(n-1)=4n-5， 由于a1也适合此等式，an=4n-5. （2）a1=S1=3+b, 当n2时,an=Sn-Sn-1=(3n+b)-(3n-1+b)=23n-1. 当b=-1时，a1适合此等式； 当b-1时，a1不适合此等式. 当b=-1时，an=23n-1; 当b-1时，,题型四 数列的性质 【例4】已知数列的通项公式为 . （1）0.9
11、8是不是它的项？ （2）判断此数列的增减性. （1）令an=0.98,看能否求出正整数n; （2）判断an+1-an的正负. 解 （1）假设0.98是它的项，则存在正整数n, 满足 =0.98，n2=0.98n2+0.98. n=7时等式成立，0.98是它的项.,思维启迪,此数列为递增数列. （1）看某数k是否为数列中的项，就是看关于n的方程an=k是否有正整数解. （2）判断数列的单调性就是比较an与an+1的大小.,探究提高,知能迁移4 已知数列an的前n项和Sn=-n2+24n （nN*）. （1）求an的通项公式； （2）当n为何值时,Sn达到最大?最大值是多少? 解 （1）n=1时，
12、a1=S1=23. n2时，an=Sn-Sn-1=-n2+24n+(n-1)2-24(n-1) =-2n+25. 经验证，a1=23符合an=-2n+25, an=-2n+25（nN*）.,（2）方法一 Sn=-n2+24n， n=12时，Sn最大且Sn=144. 方法二 an=-2n+25， an=-2n+250，有n . a120，a130，故S12最大，最大值为144.,方法与技巧 1.求数列通项或指定项.通常用观察法（对于交错数列一般用（-1）n或(-1)n+1来区分奇偶项的符号）；已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法. 2.强调an与S
13、n的关系:an=,思想方法 感悟提高,3.已知递推关系求通项：这类问题的要求不高，但试题难度较难把握.一般有三种常见思路： （1）算出前几项，再归纳、猜想； （2）“an+1=pan+q”这种形式通常转化为an+1+ = p(an+ ),由待定系数法求出 ，再化为等比数列； （3）逐差累加或累乘法. 4.创新内容：体现新情境，体现与其它知识的交汇.,失误与防范 1.数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列.因此，在研究函数问题时既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性. 2.根据所给数列的前几项求其通
14、项时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相邻项的联系特征；拆项后的各部分特征；符号特征，应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想.,一、选择题 1.数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，的第 100项是 （ ） A.14 B.12 C.13 D.15 解析 易知数字为n时共有n个，到数字n时，总共的数字的个数为1+2+3+n= .易得n=13时，最后一项为第91项，n=14共有14个，故第100项为14.,A,定时检测,2. 已知数列an中，a1=b (b为任意正数)，an+1= (n=1,2,3,)，能使an=b的n的数值是 （ ） A.
15、14 B.15 C.16 D.17 解析 a1=b,a2= ,a3= ,a4=b, 此数列的周期为3, 能使an=b的n的数值满足n=3k-2 (kN*).,C,3.在数列an中，a1=1,anan-1=an-1+ (-1)n(n2,nN*), 则 的值是 （ ） A. B. C. D. 解析 由已知得a2=1+(-1)2=2, a3a2=a2+(-1)3,a3= , a4= +(-1)4,a4=3, 3a5=3+(-1)5,a5= , ,C,4.已知数列an的前n项和Sn=n3，则a5+a6的值为 （ ） A.91 B.152 C.218 D.279 解析 a5+a6=S6-S4=63-43
16、=152.,B,5.已知数列an满足a1=0,an+1= (nN*)， 则a20等于 （ ） A.0 B. C. D. 解析 a2= a4= =0,数列an是周期为3的一个循环数 列, a20=a36+2=a2= .,B,6.已知数列an的前n项和Sn=n2-9n，第k项满足5ak 8,则k等于 （ ） A.9 B.8 C.7 D.6 解析 Sn=n2-9n n2时，an=Sn-Sn-1=2n-10 a1=S1=-8适合上式，an=2n-10 （nN*） 52k-108,得7.5k9.k=8.,B,二、填空题 7.已知an的前n项和为Sn，满足log2(Sn+1)=n+1,则 an= . 解析
17、 由已知条件可得Sn+1=2n+1. Sn=2n+1-1， 当n=1时，a1=S1=3, 当n2时，an=Sn-Sn-1=2n+1-1-2n+1=2n， n=1时不适合an，an=,3（n=1） 2n（n2）,3（n=1） 2n（n2）,8.（2008四川文，16）设数列an中，a1=2,an+1=an+n+1,则通项an= . 解析 由an+1-an=n+1可得， an-an-1=n， an-1-an-2=n-1, an-2-an-3=n-2， a3-a2=3， a2-a1=2， 以上n-1个式子左右两边分别相加得， an-a1=2+3+n， an=1+（1+2+3+n）= +1.,9.(2
18、009北京理,14)已知数列an满足：a4n-3=1, a4n-1=0,a2n=an,nN*,则a2 009= , a2 014= . 解析 a2 009=a4503-3=1,a2 014=a1 007=a2524-1=0.,1,0,三、解答题 10.已知数列an的通项an=(n+1) (nN*)， 试问该数列an有没有最大项？若有，求最大项的项数；若没有，说明理由. 解 an+1-an=（n+2） 当n9时，an+1-an0,即an+1an； 当n=9时，an+1-an=0，即an+1=an； 当n9时，an+1-an0,即an+1an. 故a1a2a3a9=a10a11a12, 所以数列中
19、有最大项为第9、10项.,11.已知数列an中，an= (nN*,aR, 且a0). （1）若a=-7，求数列an中的最大项和最小项的值； （2）若对任意的nN*，都有ana6成立，求a的取值范围. 解 （1）an= （nN*，aR，且 a0）， a=-7,an= (nN*). 结合函数f(x)= 的单调性.,可知1a1a2a3a4; a5a6a7an1 (nN*). 数列an中的最大项为a5=2,最小项为a4=0. （2）an=1+ 对任意的nN*,都有ana6成立， 并结合函数f(x)=1+ 的单调性， 5 6,-10a-8.,12.已知二次函数f(x)=x2-ax+a(xR)同时满足：
20、不等式f(x)0的解集有且只有一个元素； 在定义域内存在0x1x2,使得不等式f(x1) f(x2)成立.设数列an的前n项和Sn=f（n）. （1）求函数f(x)的表达式； （2）求数列an的通项公式. 解 （1）f(x)0的解集有且只有一个元素， =a2-4a=0a=0或a=4， 当a=4时，函数f(x)=x2-4x+4在（0，2）上递减， 故存在0x1x2,使得不等式f(x1)f(x2)成立，,当a=0时，函数f(x)=x2在（0,+）上递增， 故不存在0x1x2,使得不等式f(x1)f(x2)成立， 综上，得a=4,f(x)=x2-4x+4. （2）由（1）可知Sn=n2-4n+4, 当n=1时，a1=S1=1, 当n2时，an=Sn-Sn-1 =(n2-4n+4)-(n-1)2-4(n-1)+4=2n-5, 1 (n=1) 2n-5 (n2).,an=,返回,