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1、第三篇 近世代数,代数系统是建立在集合论基础上以代数运算为研究对象的学科。本篇共三章，第五章代数系统基础介绍代数系统的一般原理与性质， 第六章群论，主要介绍具有代表性的代数系统群，最后第七章其它代数系统，介绍除群外常见的一些代数系统，如环、域、格与布尔代数等，这三章相互配合构成了代数系统的完整的整体。,第八章 代数系统,8.1 代数系统一般概念 1代数系统中的基本概念 （1）代数系统：集合上具有封闭性的运算组成代数系统（S , ）。 （2）子代数：代数系统（S, ），（S，）满足： SS 如 a , bS，ab = a b 则称（S，）为（S, ）的子代数。,8.2 代数系统常见的一些性质 （
2、3）代数系统常见性质 1）结合律：（a b） ca （b c） 2）交换律：a bb a 3）分配律：a （bc）（a b）（a c） 4）单位元：a 1a 5）逆元：a a11 6）零元：a 00 7）生成元,8.3 同构与同态 （4）同构：（X， ）与（Y，）存在一一对应函数g : XY使得如x1 , x2X，则有：g（x1 x2）g（x1）g（x2）此时则称（X, ）与（Y，）同构。 （5）同态：（X , ）与（Y，）存在函数g : XY使得如x1 , x2X，则有：g（x1 x2）g（x1）g（x2）此时则称（X， ）与（Y，）同态。 8.4 常用代数系统 （6）代数系统的构成,第九章
3、 群论,9.1 一些群的定义 （7）半群代数系统满足交换律 （8）单元半群半群存在单位元 （9）群半群存在单位元与逆元 （10）可换群群满足交换律 （11）变换群集合A上所有的变换构成的集合E（A），对于复合变换所构成的代数系统（E（A）, ）是一个群，称变换群。 （12）循环群群有生成元。 （13）有限群：群（S, ）中S为有限集。 （14）子群：群（G，）上G的子集所构成的群。,（15）正规子群：（H，）是群（G，）的子群，如对aG都有：aH = Ha则称（H，）是（G，）的正规子群。 （16）陪集：H是G的子群，Haha | hH, aH = ah | hH 分别称H在G中的一个右陪集或
4、左陪集。 （17）商群：H是G的正规子群，对Ha，HbG/H，二元运算（Ha)(Hb)Hab构成群，则称H是G的商群。 （18）单元半群性质： 单元半群的子系统若包含单位元也是单元半群。 可列个元素的单元半群的运算组合表每行（列）均不相同。 循环单元半群是可换单元半群。 可换单元半群的所有等幂元素是一个子单元半群。,9.2 一些群的理论与半群性质： 半群的子代数也是半群。 循环半群是可换半群。 （19）关于群的基本理论 群方程可解性：a x = b（或x a = b）对x存在唯一解； 群的消去律：a b = a c（或b a = c a）必有b = c； 任一群必与变换群同构； 与一个群同构或
5、满同态的代数系统必为群； 一个代数系统有限群满足结合律及消去律则必为群；,有限群必与置换群同构； 循环群要么与（I,）同构，要么与（Zm，m）同构； 一个群子集H构成群（H,o）的充分必要条件：a,bH 则a bH ,aH 则a1 H； 一个群子集H构成子群（H,o）的充分必要条件：a,b H 则a b1 H ； 一个有限群的阶一定被它的子群的阶所等分（拉格朗日定理）； f是群（G, ）与（G，）的满同态，K是f的核，则必有：（G/k , ）与（G，）同构；,第十章 环论,10.1 环和域 （20）环：（R，, ），对的可换群，对 的半群， 对的分配律； （21）理想：（D，, ），环（R，,
6、 ）的子环，满足：aR , bD，必有：a bD , b aD； （22）整环：环（R，, ）中，运算 有单位元，无零因子； （23）域：环（P，, ）中，运算 交换律，有单位元，逆元；,（24）环的基本理论 环的基本运算性质： a 0 = 0 a = 0； a （b）=（a） b = （a b） (a) (b)a b 环中无零因子 环满足消去律； 环中子系统S是子环的充要条件是as 则必有a1S。 （25）域的基本理论 1）域是整环； 2）有限整环必是域。,第十一章 格与布尔代数,11.1 格与布尔代数 （26）格：（P，, ）中，两个运算的结合律、吸收律、交换律； （27）布尔代数：格（B，, ）中，两个运算的分配律、单位元、逆元。,（28）格的基本理论 1） 一个偏序格必是一个代数格，反之亦然； 2）格的运算性质。 aab , bab （aba , abb） ac且bc abc （ac且bccab） aba , abb （aab , bab） ca且cb cab （ca且cbcabc）,（29）布尔代数的基本理论 布尔代数（B， ）满足：（对与 ） 交换律 结合律 等幂律 吸收律 分配律 零一律 同一律 互补律 双补律 德摩根律,