第章信号与系统.ppt

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1、信号与系统,信号与系统是理工科学生一门重要的专业基础课，是后续专业课（数字信号处理、自动控制原理、通信原理等）的基础，也是我们将来从事专业技术工作的重要理论基础，同时也是许多专业考研的考试课程。,课程地位,高等教育出版社，吴大正、杨林耀、张永瑞编写的信号与线性系统分析（第四版）该书基本概念清楚，数学推导严谨，理论系统性强，例题具有代表性，图解说明性强，习题丰富，文字简洁。 便于自学。,信号与系统选用教材,信号与系统，郑君里，第二版. 高等教育出版社 信号与系统，陈后金 ，北京交通大学出版社 信号与线性系统分析辅导与习题详解，宋琪编，华中科技大学出版社 信号与线性系统学习指导书张永瑞、王松林，高

2、等教育出版社,参考书目录,通信,控制,计算机等,信号处理,信号检测,非电类:,社科领域：,电 类,机械、热力、光学、生物医学等,股市分析、人口统计等,信号与系统的应用领域,滤波以前干扰严重,滤波以后干扰祛除,滤波以前干扰严重,滤波以后干扰去除,生物医学信号处理应用举例,掌握基本概念 掌握常用分析问题的方法及思想 培养逻辑分析能力,学习目的,基本信号及其响应 信号的分解与组合 LTI系统分析方法,三个关键问题,3.加强实践环节， 通过实验加深对理论与概念的理解。,1.着重掌握信号与系统分析的物理含义， 将数学概念、物理概念及其工程概念相结合。,2.注意提出问题，分析问题与解决问题的方法。,4.通

3、过多做习题，复习和加深所学的基本概念， 掌握解决问题的方法。,学习方法和要求,5.考核方法：最终成绩构成为平时（作业、点名等） （30%）考试（70%）.,第一章 信号与系统,1.1 绪 言 一、信号的概念 二、系统的概念 1.2 信号的描述与分类 一、信号的描述 二、信号的分类 1.3 信号的基本运算 一、加法和乘法 二、时间变换 1.4 阶跃函数和冲激函数 一、阶跃函数 二、冲激函数,三、冲激函数的性质 四、序列(k)和(k) 1.5 系统的性质及分类 一、系统的定义 二、系统的分类及性质 1.6 系统的描述 一、连续系统 二、离散系统 1.7 LTI系统分析方法概 述,点击目录 ，进入相

4、关章节,思考问题：什么是信号？什么是系统？为什么把这两个概念联系在一起？,一、信号的概念,1. 消息(message):,人们常常把来自外界的各种报道统称为消息。 消息：反映知识状态的改变。,2. 信息(information):,通常把消息中有意义的内容称为信息。 信息量=收到消息前对某事件的无知程度 收到消息后对某事件的无知程度,1.1 绪言,第一章 信号与系统,它是信息论中的一个术语。,1.1 绪论,3. 信号(signal):,信号是信息的载体。通过信号传递信息。,信号我们并不陌生，如刚才铃声声信号，表示该上课了； 十字路口的红绿灯光信号，指挥交通； 电视机天线接受的电视信息电信号；

5、日常生活中的文字信号、图像信号、生物电信号等等，都是信号。,为了有效地传播和利用信息，常常需要将信息转换成便于传输和处理的信号。,语音信号：空气压力随时间变化的函数,语音信号“你好”的波形,1.1 绪论,静止的单色图象： 亮度随空间位置变化的信号f(x,y)。,1.1 绪论,静止的彩色图象： 三基色红(R)、绿(G)、蓝(B)随空间位置变化的信号。,1.1 绪论,二、系统的概念,一般而言，系统(system)是指若干相互关联的事物组合而成具有特定功能的整体。,如手机、电视机、通信网、计算机网等都可以看成系统。它们所传送的语音、音乐、图像、文字等都可以看成信号。信号的概念与系统的概念常常紧密地联

6、系在一起。,信号的产生、传输和处理需要一定的物理装置，这样的物理装置常称为系统。,系统的基本作用是对输入信号进行加工和处理，将其转换为所需要的输出信号。,输入信号,激励,输出信号,响应,1.1 绪论,演示,1.1 绪论,本课程重点讨论通信、信号处理和控制等领域中的电子信息系统。举例说明: *. 通信系统 *. 控制系统,1.1 绪论,系统与电路的关系,1. 通常把系统看成比电路更为复杂、规模更大的组合,2. 处理问题的观点不同：,电路：着重在电路中各支路或回路的电流 及各节点的电压上,系统：着重在输入输出之间的关系上， 即系统能实现何种功能。,1.1 绪论,信号与系统是相互依存的整体。,信号与

7、系统之间的关系,1. 信号必定是由系统产生、发送、传输与接收， 离开系统没有孤立存在的信号；,2. 系统的重要功能就是对信号进行加工、变换与处理， 没有信号的系统就没有存在的意义。,1.1 绪论,1.2 信号的描述和分类,第一章 信号与系统,一、信号的描述,信号是信息的一种物理体现。它一般是随时间或位置变化的物理量。,信号按物理属性分：电信号和非电信号。它们可以相互转换。电信号容易产生，便于控制，易于处理。本课程讨论电信号-简称“信号”。,电信号的基本形式：随时间变化的电压或电流。,描述信号的常用方法（1）表示为时间的函数 （2）信号的图形表示-波形 “信号”与“函数”两词常相互通用。,1.2

8、 信号的描述和分类,二、信号的分类,1. 确定信号和随机信号,可以用确定时间函数表示的信号，称为确定信号或规则信号。如正弦信号。 若信号不能用确切的函数描述，它在任意时刻的取值都具有不确定性，只可能知道它的统计特性，如在某时刻取某一数值的概率，这类信号称为随机信号或不确定信号。电子系统中的起伏热噪声、雷电干扰信号就是两种典型的随机信号。 研究确定信号是研究随机信号的基础。本课程只讨论确定信号。,1.2 信号的描述和分类,2. 连续信号和离散信号,根据信号自变量为连续/离散的特点进行区分。,在连续的时间范围内(-t）有定义的信号称为连续时间信号，简称连续信号。函数值为连续时常称为模拟信号。 这里

9、连续信号中“连续”指函数的定义域时间是连续的，但可含间断点，至于值域可连续也可不连续。,值域连续,值域不连续,（1）连续时间信号：,1.2 信号的描述和分类,仅在一些离散的瞬间才有定义的信号称为离散时间信号，简称离散信号。取值为规定数值时常称为数字信号。 这里的“离散”指信号的定义域时间是离散的，它只在某些规定的离散瞬间给出函数值，其余时间无定义。,如右图的f(t)仅在一些离散时刻tk(k = 0,1,2,)才有定义，其余时间无定义。 相邻离散点的间隔Tk=tk+1-tk可以相等也可不等。通常取等间隔T，离散信号可表示为f(kT)，简写为f(k)，这种等间隔的离散信号也常称为序列。其中k称为序

10、号。,离散时间信号：,1.2 信号的描述和分类,上述离散信号可简画为,用表达式可写为,或写为,通常将对应某序号m的序列值称为第m个样点的“样值”。,1.2 信号的描述和分类,3. 周期信号和非周期信号,周期信号(period signal)是定义在(-，)区间，每隔一定时间T (或整数N），按相同规律重复变化的信号。,连续周期信号f(t)满足 f(t) = f(t + mT)，m = 0,1,2,离散周期信号f(k)满足 f(k) = f(k + mN)，m = 0,1,2,满足上述关系的最小T(或整数N)称为该信号的周期。,不具有周期性的信号称为非周期信号。,演示,1.2 信号的描述和分类,

11、4能量信号与功率信号,将信号f (t)施加于1电阻上，它所消耗的瞬时功率为| f (t) |2，在区间( , )的能量和平均功率定义为,（1）信号的能量E,（2）信号的功率P,若信号f (t)的能量有界，即 E ,则称其为能量有限信号，简称能量信号。此时 P = 0,若信号f (t)的功率有界，即 P ,则称其为功率有限信号，简称功率信号。此时 E = ,1.2 信号的描述和分类,5一维信号与多维信号,从数学表达式来看，信号可以表示为一个或多个变量的函数，称为一维或多维函数。 语音信号可表示为声压随时间变化的函数，这是一维信号。而一张黑白图像每个点(像素) 是二维平面坐标中两个变量的函数，这是

12、二维信号。还有更多维变量的函数的信号。 本课程只研究一维信号，且自变量多为时间。,6因果信号与反因果信号,常将 t = 0时接入系统的信号f(t) 即在t 0， f(t) =0称为因果信号或有始信号。阶跃信号是典型的一个。 而将t 0， f(t) =0的信号称为反因果信号。,1.3 信号的基本运算,1.3 信号的基本运算,一、信号的加减乘运算,两信号f1() 和f2 ()的相加减乘，指同一瞬时两信号之值对应相加减乘 。如,1.3 信号的基本运算,二、信号的时间变换运算,1. 反转,将 f (t) f ( t) ， f (k) f ( k) 称为对信号f ()的反转或反折。从图形上看是将f ()

13、以纵坐标为轴反转180o。如,演示,1.3 信号的基本运算,2. 平移,将 f (t) f (t t0) ， f (k) f (k k0)称为对信号f ()的平移或移位。若t0 (或k0) 0，则将f ()右移；否则左移。 如,1.3 信号的基本运算,平移与反转相结合,法一：先平移f (t) f (t +2),再反转 f (t +2) f ( t +2),法二：先反转 f (t) f ( t),画出 f (2 t)。,再平移 f ( t) f ( t +2),左移,右移,= f (t 2),注意：是对t 的变换！,1.3 信号的基本运算,3. 尺度变换（横坐标展缩）,将 f (t) f (a

14、t) ， 称为对信号f (t)的尺度变换。 若a 1 ，则波形沿横坐标压缩；若0 a 1 ，则展开 。如,对于离散信号，由于 f (a k) 仅在为a k 为整数时才有意义， 进行尺度变换时可能会使部分信号丢失。因此一般不作波形的尺度变换。,演示,1.3 信号的基本运算,平移、反转、尺度变换相结合,例1 已知f (t)，画出 f ( 4 2t)。,三种运算的次序可任意。但一定要注意始终对时间 t 进行。,1.3 信号的基本运算,也可以先压缩、再平移、最后反转。,1.3 信号的基本运算,若已知f ( 4 2t) ，画出 f (t) 。,A: 振幅 w0:角频率 j:初始相位,一、典型普通函数,1

15、.4 阶跃函数和冲激函数,1 正弦函数,1.4 阶跃函数和冲激函数,2 指数函数实指数函数,1.4 阶跃函数和冲激函数,重要特性：其对时间的微分和积分仍然是指数形式。,虚指数信号的周期：,虚指数信号的周期：,欧拉（尤拉）Euler公式：,2 指数函数虚指数函数,1.4 阶跃函数和冲激函数,2 指数函数虚指数函数,1.4 阶跃函数和冲激函数,欧拉（尤拉）Euler公式：,2 指数函数复指数函数,1.4 阶跃函数和冲激函数,抽样函数具有以下性质：,与Sa(t)函数类似的是sinc(t) 函数，其定义为,3.抽样函数,1.4 阶跃函数和冲激函数,1.4 阶跃函数和冲激函数,注意：0点无定义或为1/2

16、。,二、奇异函数,函数本身有不连续点（跳变点）或其导数与积分有不连续点，这类函数称为奇异函数。,1. 阶跃函数,阶跃函数和冲激函数就是两种典型的奇异函数。,有延迟的阶跃函数,1.4 阶跃函数和冲激函数,？,下列常用函数怎样用阶跃函数表示？,斜变函数,1.4 阶跃函数和冲激函数,门函数（窗函数）,1.4 阶跃函数和冲激函数,符号函数,1.4 阶跃函数和冲激函数,阶跃函数性质：,（1）可以方便地表示某些信号,f(t) = 2(t)- 3(t-1) +(t-2),（2）用阶跃函数表示信号的作用区间,（3）积分,与阶跃信号之间的关系：,定义：,2. 斜变函数,1.4 阶跃函数和冲激函数,1.4 阶跃函

17、数和冲激函数,冲激函数是个奇异函数，它是对强度极大，作用时间极短一种物理量的理想化模型。,高度无穷大，宽度无穷小，面积为1的对称窄脉冲。,演示,3. 冲激函数,矩形面积不变，宽趋于0时的极限,S=1,定义一：规则信号取极限,若面积为k，则强度为k。,1.4 阶跃函数和冲激函数,冲激函数的表示,定义二：狄拉克(Dirac)函数,函数值只在t = 0时不为零，积分面积为1。,1.4 阶跃函数和冲激函数,1.4 阶跃函数和冲激函数,冲激函数与阶跃函数关系：,可见，引入冲激函数之后，间断点的导数也存在。如,f(t) = 2(t +1)-2(t -1),f(t) = 2(t +1)-2(t -1),冲激

18、函数的图形表示,说明： (1)冲激函数可以延时至任意时刻t0，以符号(t-t0)表示， 其波形如图所示。(t-t0)的定义式为：,1.4 阶跃函数和冲激函数,(3)冲激函数的物理意义： 表征作用时间极短，作用值很大的物理现象的数学模型,(4)冲激函数的作用：,(2)冲激函数具有强度，其强度就是冲激函数对时间的 定积分值（面积）。在图中用括号注明，以区分信号的幅值。,A. 表示其他任意信号,B. 表示信号间断点的导数,1.4 阶跃函数和冲激函数,(1)筛选特性,(2)取样特性,1.4 阶跃函数和冲激函数,冲激函数性质,(3)展缩特性,推论：冲激函数是偶函数。,取a= -1 即可得 d(t)=d(

19、-t),1.4 阶跃函数和冲激函数,冲激函数性质,1.4 阶跃函数和冲激函数,0,(t),冲激函数性质应用,1.4 阶跃函数和冲激函数,已知f(t)，画出g(t) = f (t)和 g(2t),1.4 阶跃函数和冲激函数,4. 冲激函数的导数(t) （也称冲激偶）,冲激函数的导数为一对呈正负极性的冲激，且它们的强度为无穷大，这就是冲激偶信号，用(t) 表示。,1.4 阶跃函数和冲激函数,三角脉冲求导后再求极限,O,t,奇函数,积分,筛选特性,冲激偶函数性质,1.4 阶跃函数和冲激函数,斜变信号、阶跃信号和冲激信号之间的关系,奇异信号,1.4 阶跃函数和冲激函数,1.4 阶跃函数和冲激函数,这两

20、个序列是普通序列。,（1）单位(样值)序列(k)的定义,取样性质：,f(k)(k) = f(0)(k),f(k)(k k0) = f(k0)(k k0),例,三、序列(k)和(k),1.4 阶跃函数和冲激函数,（2）单位阶跃序列(k)的定义,（3）(k)与(k)的关系,(k) = (k) (k 1),或,(k) = (k)+ (k 1)+,1.5 系统的描述,1.5 系统的描述,描述连续动态系统的数学模型是微分方程，描述离散动态系统的数学模型是差分方程。,一、连续系统,1. 解析描述建立数学模型,图示RLC电路，以uS(t)作激励，以uC(t)作为响应，由KVL列方程，并整理得,二阶常系数线性

21、微分方程。,1.6 系统的描述,抽去具有的物理含义，微分方程写成,这个方程也可以描述下面的一个二阶机械减振系统。,其中，k为弹簧常数，M为物体质量，C为减振液体的阻尼系数，x为物体偏离其平衡位置的位移，f(t)为初始外力。其运动方程为,能用相同方程描述的系统称相似系统。,1.5 系统的描述,2. 系统的框图描述,上述方程从数学角度来说代表了某些运算关系：相乘、微分、相加运算。将这些基本运算用一些理想部件符号表示出来并相互联接表征上述方程的运算关系，这样画出的图称为模拟框图，简称框图。基本部件单元有：,积分器：,加法器：,数乘器：,积分器的抗干扰性比微分器好。,1.5 系统的描述,系统模拟：,实

22、际系统方程模拟框图 实验室实现（模拟系统）指导实际系统设计,例1：已知y”(t) + ay(t)+ by(t) = f(t)，画出框图。,解：将方程写为 y”(t) = f(t) ay(t) by(t),1.5 系统的描述,例2：已知y”(t) + 3y(t)+ 2y(t) = 4f(t) + f(t)，画框图。,解：该方程含f(t)的导数，可引入辅助函数画出框图。 设辅助函数x(t)满足 x”(t) + 3x(t)+ 2x(t) = f(t) 可推导出 y(t) = 4x(t) + x(t)，它满足原方程。,例3：已知框图，写出系统的微分方程。,1.5 系统的描述,解：设辅助变量x(t)如图

23、,x(t),x(t),x”(t),x”(t) = f(t) 2x(t) 3x(t) ,即x”(t) + 2x(t) + 3x(t) = f(t),y(t) = 4x(t)+ 3x(t),根据前面，逆过程，得,y”(t) + 2y(t) + 3y(t) = 4f(t)+ 3f(t),1.5 系统的描述,二、离散系统,1. 解析描述建立差分方程,某人每月初在银行存入一定数量的款，月息为元/月，求第k个月初存折上的款数。 设第k个月初的款数为y(k),这个月初的存款为f(k),上个月初的款数为y(k-1)，利息为y(k-1),则 y(k)=y(k-1)+ y(k-1)+f(k) 即 y(k)-(1+

24、)y(k-1) = f(k) 若设开始存款月为k=0，则有y(0)= f(0)。 上述方程就称为y(k)与f(k)之间所满足的差分方程。所谓差分方程是指由输出序列项与输入序列项构成的方程。输出序列项变量最高序号与最低序号的差数，称为差分方程的阶数。上述为一阶差分方程。,1.5 系统的描述,由n阶差分方程描述的系统称为n阶系统。 描述LTI离散系统的是线性常系数差分方程。,2. 差分方程的模拟框图,基本部件单元有： 数乘器 加法器 迟延单元（移位器）,1.5 系统的描述,例：已知框图，写出系统的差分方程。,解：设辅助变量x(k)如图,x(k),x(k-1),x(k-2),即 x(k) +2x(k

25、-1) +3x(k-2) = f(k) y(k) = 4x(k-1) + 5x(k-2) 消去x(k) ，得 y(k) +2y(k-1) +3y(k-2) = 4f(k-1) + 5f(k-2),x(k)= f(k) 2x(k-1) 3x(k-2),1.6 系统的性质及分析方法,1.6 系统的性质及分析方法,一、系统的定义,若干相互作用、相互联系的事物按一定规律组成具有特定功能的整体称为系统。 电子系统是电子元器件的集合体。电路侧重于局部，系统侧重于全部。,二、系统的分类及性质,可以从多种角度来观察、分析研究系统的特征，提出对系统进行分类的方法。下面讨论几种常用的分类法。,1.6 系统的性质及

26、分析方法,1. 连续系统与离散系统,若系统的输入信号是连续信号，系统的输出信号也是连续信号，则称该系统为连续时间系统，简称为连续系统。,若系统的输入信号和输出信号均是离散信号，则称该系统为离散时间系统，简称为离散系统。,2. 动态系统与即时系统,若系统在任一时刻的响应不仅与该时刻的激励有关，而且与它过去的历史状况有关，则称为动态系统 或记忆系统。含有记忆元件(电容、电感等)的系统是动态系统。否则称即时系统或无记忆系统。,3. 单输入单输出系统与多输入多输出系统,1.6 系统的性质及分析方法,4. 线性系统与非线性系统,满足线性性质的系统称为线性系统。,（1）线性性质,系统的激励f ()所引起的

27、响应y() 可简记为 y() = T f (),线性性质包括两方面：齐次性和可加性。,齐次性（均匀性） 若系统的激励f ()增大a倍时，其响应y()也增大a倍，即 T af () = a T f (),1.6 系统的性质及分析方法,4. 线性系统与非线性系统,可加性：若系统对于激励f1()与f2()之和的响应等于各个激励所引起的响应之和，即 T f1()+ f2() = T f1()+T f2(),线性：系统既是齐次的又是可加的 即 Ta f1() + bf2() = a T f1() + bT f2(),1.6 系统的性质及分析方法,线性系统,非线性系统,非线性系统,线性系统,例 判断下列输

28、出响应所对应的系统是否为线性系统？（其中f(t)为系统的输入激励，y(t)为系统的输出响应）。,线性系统,线性系统,1.6 系统的性质及分析方法,（2）动态系统是线性系统的条件,动态系统不仅与激励 f () 有关，而且与系统的初始状态x(0)有关。 初始状态也称“内部激励”。,零状态响应为 yf() = T 0, f () 零输入响应为 yx() = T x(0), 0 完全响应为 y () = T x(0), f (),零状态响应 yf()可写为yzs() 零输入响应 yx()可写为yzi(),1.6 系统的性质及分析方法,当动态系统满足下列三个条件时该系统为线性系统：,零状态线性： yf(

29、) 对f () 具有线性，即系统的零状态响应必须对所有的输入信号呈现线性特性。,零输入线性： yx()对x(0)具有线性，即系统的零输入响应必须对所有的初始状态呈现线性特性。,可分解性： y () = yf() + yx(),1.6 系统的性质及分析方法,线性系统,非线性系统,非线性系统,线性系统,例 判断下列输出响应所对应的系统是否为线性系统？（其中x(0)为系统的初始状态，f(t)为系统的输入激励，y(t)为系统的输出响应）。,1在判断可分解性时，应考察系统的完全响应y(t)是否可以表示为两部分之和，其中一部分只与系统的初始状态有关，而另一部分只与系统的输入激励有关。 2在判断系统的零输入

30、响应yx(t)是否具有线性时，应以系统的初始状态为自变量（如上述例题中x(0)，而不能以其它的变量（如t等）作为自变量。 3在判断系统的零状态响应yf(t)是否具有线性时，应以系统的输入激励为自变量（如上述例题中f(t)），而不能以其它的变量（如t等）作为自变量。,判断系统是否线性注意问题,1.6 系统的性质及分析方法,1.6 系统的性质及分析方法,5. 时不变系统与时变系统,满足时不变性质的系统称为时不变系统。,（1）时不变性质,若系统满足输入延迟多少时间，其零状态响应也延迟多少时间,系统的这种性质称为时不变（或移位不变性）。,1.6 系统的性质及分析方法,（1）时不变性质,1.6 系统的性

31、质及分析方法,(1) yf(t)=sinf(t) (2) yf(t)=costf(t) (3) yf(t)=4f 2(t) +3f(t) (4) yf(t)=2tf(t),时不变系统,时变系统,时不变系统,时变系统,分析： 判断系统是否为时不变系统，只需判断当输入激励f(t) 变为f(t-t0)时，相应的输出响应yf(t)是否变为 y(t-t0)。,注意：时不变特性只考虑系统的零状态响应，因此在判断系统的时不变特性时，不涉及系统的初始状态。,例 试判断下列系统是否为时不变系统,1.6 系统的性质及分析方法,（2）LTI连续系统的微分特性和积分特性,微分性：,积分性：,利用线性证明，可推广至高阶

32、。,1.6 系统的性质及分析方法,6. 因果系统与非因果系统,零状态响应不会出现在激励之前的系统，称为因果系统。,即对因果系统，当t t0 ，f(t) = 0时，有t t0 ，yf(t) = 0。,如下列系统均为因果系统：,yf(t) = 3f(t 1),而下列系统为非因果系统：,(1) yf(t) = f(t + 1),(2) yf(t) = f(2t),1.6 系统的性质及分析方法,7. 稳定系统与不稳定系统,一个系统，若对有界的激励f(.)所产生的零状态响应yf(.)也是有界时，则称该系统为有界输入有界输出稳定，简称稳定。即 若f(.)，其yf(.) 则称系统是稳定的。,如yf(k) =

33、 f(k) + f(k-1)是稳定系统；而,是不稳定系统。,因为，当f(t) =(t)有界，,当t 时，它也，无界。,系统分析研究的主要问题：对给定的具体系统，求出它对给定激励的响应。 具体地说：系统分析就是建立表征系统的数学方程并求出解答。,系统的分析方法：,输入输出法（外部法）,状态变量法（内部法）（chp.8),外部法,时域分析（chp.2,chp.3),变换域法,连续系统频域法(4)和复频域法(5),离散系统z域法（chp6),系统特性：系统函数（chp.7),三、LTI系统的分析方法,1.6 系统的性质及分析方法,（1）把零输入响应和零状态响应分开求。 （2）把复杂信号分解为众多基本

34、信号之和，根据线性系统的可加性：多个基本信号作用于线性系统所引起的响应等于各个基本信号所引起的响应之和。,求解的基本思路：,采用的数学工具：,（1）卷积积分与卷积和 （2）傅里叶变换 （3）拉普拉斯变换 （4）Z变换,1.6 系统的性质及分析方法,例1 计算下列各题。,第一章补充例题,解：,第一章补充例题,解：,第一章补充例题,解：,第一章补充例题,解：,第一章补充例题,第一章补充例题,例2：下列差分方程描述的系统，是否线性？是否时不变？ 并写出方程的阶数。 （1）y(k) + (k 1)y(k 1) = f(k) （2） y(k) + y(k+1) y(k 1) = f2(k) （3） y(

35、k) + 2 y(k 1) = f(1 k)+1,解：判断方法：方程中均为输出、输入序列的一次关系项，则是线性的。输入输出序列前的系数为常数，且无反转、展缩变换，则为时不变的。,线性、时变，一阶,非线性、时不变，二阶,线性、时变，一阶,例3,第一章补充例题,第一章补充例题,1.6 系统的性质及分析方法,例 某LTI因果连续系统，起始状态为x(0)。已知，当x(0) =1，输入因果信号f1(t)时，全响应 y1(t) = e t + cos(t)，t0； 当x(0-) =2，输入信号f2(t)=3f1(t)时，全响应 y2(t) = 2e t +3 cos(t)，t0； 求输入f3(t) = +

36、2f1(t-1)时，系统的零状态响应yf3(t) 。,解 设当x(0) =1，输入因果信号f1(t)时，系统的零输入响应和零状态响应分别为y1x(t)、y1f(t)。当x(0-) =2，输入信号f2(t)=3f1(t)时，系统的零输入响应和零状态响应分别为y2x(t)、y2f(t)。,1.6 系统的性质及分析方法,由题中条件，有 y1(t) =y1x(t) + y1f(t) = e t + cos(t)，t0 （1） y2(t) = y2x(t) + y2f(t) = 2e t +3 cos(t)，t0 （2） 根据线性系统的齐次性，y2x(t) = 2y1x(t)，y2f(t) =3y1f(

37、t)，代入式（2）得 y2(t) = 2y1x(t) +3 y1f(t) = 2e t +3 cos(t)，t0 （3） 式(3) 2式(1)，得 y1f(t) = 4e-t + cos(t)，t0 由于y1f(t) 是因果系统对因果输入信号f1(t)的零状态响应，故当t0，y1f(t)=0；因此y1f(t)可改写成 y1f(t) = 4e-t + cos(t)(t) (4),1.6 系统的性质及分析方法,f1(t) y1f(t) = 4e-t + cos(t)(t),根据LTI系统的微分特性,= 3(t) + 4e-t sin(t)(t),根据LTI系统的时不变特性,f1(t1) y1f(t

38、 1) = 4 e-(t-1)+ cos(t1)(t1),由线性性质，得：当输入f3(t) = +2f1(t1)时，,y3f(t) = + 2y1(t1) = 3(t) + 4e-tsin(t)(t) + 24 e-(t-1)+ cos(t1)(t1),例题 计算下列各式的值,解,1.6 系统的性质及分析方法,例1：判断下列系统是否为线性系统？ （1） y (t) = 3 x(0) + 2 f (t) + x(0) f (t) + 1 （2） y (t) = 2 x(0) + | f (t)| （3） y (t) = x2(0) + 2 f (t),解：（1） yf(t) = 2 f (t)

39、+1， yx(t) = 3 x(0) 显然， y (t) yf(t) yx(t) 不满足可分解性，故为非线性 （2） yf(t) = | f (t)|， yx(t) = 2 x(0) y (t) = yf(t) + yx(t) 满足可分解性； 由于 Ta f (t) , 0 = | af (t)| a yf(t) 不满足零状态线性。故为非线性系统。 （3） yf(t) = 2 f (t) , yx(t) = x2(0) ，显然满足可分解性； 由于T 0,a x(0) =a x(0)2 a yx(t)不满足零输入线性。故为非线性系统。,1.6 系统的性质及分析方法,例2：判断下列系统是否为线性系

40、统？,解：,y (t) = yf(t) + yx(t) ， 满足可分解性；,Ta f1(t)+ b f2(t) , 0,= aTf1(t), 0 +bT f2(t) , 0，满足零状态线性；,T0,ax1(0) + bx2(0) = e-tax1(0) +bx2(0) = ae-tx1(0)+ be-tx2(0) = aT0,x1(0) +bT0,x2(0), 满足零输入线性；,所以，该系统为线性系统。,1.6 系统的性质及分析方法,例：判断下列系统是否为时不变系统？ （1） yf (k) = f (k) f (k 1) （2） yf (t) = t f (t) （3） y f(t) = f

41、( t),解(1)令g (k) = f(k kd) T0， g (k) = g(k) g (k 1) = f (k kd) f (kkd 1 ) 而 yf (k kd) = f (k kd) f (kkd 1) 显然 T0，f(k kd) = yf (k kd) 故该系统是时不变的。 (2) 令g (t) = f(t td) T0， g (t) = t g (t) = t f (t td) 而 yf (t td)= (t td) f (t td) 显然T0，f(t td) yf (t td) 故该系统为时变系统。,(3) 令g (t) = f(t td) , T0，g (t) = g ( t) = f( t td) 而 yf (t td) = f ( t td)，显然 T0，f(t td) yf (t td) 故该系统为时变系统。,直观判断方法： 若f ()前出现变系数，或有反转、展缩变换，则系统为时变系统。,1.6 系统的性质及分析方法,第一章,