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1、1,第十一章 积分变换法,在数学中，我们发现真理的主要工具 是归纳和模拟。 拉普拉斯,2,皮埃尔-西蒙拉普拉斯侯爵，法国著名的天文学家和数学家，天体力学的集大成者。 拉普拉斯用数学方法证明了行星的轨道大小只有周期性变化，这就是著名拉普拉斯定理。拉普拉斯的著名杰作天体力学，集各家之大成，书中第一次提出了“天体力学”的学科名称，是经典天体力学的代表著作。 生于： 1749 年 3 月 23 日, 法国奥格地区博蒙 逝于： 1827 年 3 月 5 日, 法国巴黎,皮埃尔-西蒙拉普拉斯,3,傅里叶积分变换法是通过积分变换简化定解问题的一种有效的求解方法。 对于多个自变量的线性偏微分方程，可以通过实施
2、积分变换来减少方程的自变量个数，直至化为常微分方程，这就使问题得到大大简化，再进行反演，就得到了原来偏微分方程的解。 当泛定方程及边界条件均为非齐次时，用经典的分离变量法求解，就显得有些烦琐和笨挫，而积分变换法为这类问题提供了一种系统的解决方法，并且显得具有固定的程序，按照解法程序进行易于求解。 利用积分变换，有时还能得到有限形式的解，而这往往是用分离变量法不能得到的,4,用傅里叶积分变换求解定解问题的步骤为：,第一：对方程取傅里叶变换，将一个含两个自变量的偏微分方程化为一个含参量的常微分方程；,第二：对定解条件取相应的变换，导出常微分方程的定解条件；,第三：求解常微分方程的解，即为原定解问题
3、的变换；,第四：对所得解取逆变换，最后得原定解问题的解,5,11.1 无界空间的有源导热问题 傅里叶变换方法,解： 由下式表示的傅里叶变换关系,对定解问题空间变量运用傅里叶变换，得,1. 一维无源导热问题和基本解,无热源细杆导热的定解问题：,6,得像函数对应常微 分方程初值问题,由初始条件得像函数对应常微分方程的初值问题的解是,由傅里叶变换导数定理,解常微分方程,得像函数,7,再由像函数的逆傅里叶变换得原函数，,交换积分次序,，得,令,本征问题的解,注意傅里叶 变换的定义,应用高斯像函数的 傅里叶变换关系,如何进一讨论?,8,把方括号内部分定义为新函数：格林函数(传播函数),则本征问题的解改写
4、为,下面证明：格林函数是下列最简单的特殊问题的解（称基本解）,对定解问题运用傅里叶变换,由初始条件,得像函数的常微分方程的初值问题的解是,(点热源),9,物理意义：,在没有持久热源的情况下，在t=0时刻，于细杆x= 处放置一个热量为Q（ ）的点热源，相当于给定初始温度分布u(x,0)=(x)= Q（x）(x- )/c (c是比热容，是密度）。结果得出任意时刻，在杆上的温度分布u(x,t)= Q（x）G(x,t,0)/c 因此，G（x,t;,0）就是在时刻t=0，于x=处放置了一个热量为c的点热源时，t时刻杆上的温度分布。因而，它是点源的“影响函数”或作用的“传播函数”。,再进行像函数的逆傅里叶
5、变换，,应用傅里叶变换：,令,得,，上式改写为,10,随着时间的增长，G（x,t;,0）曲线渐趋平坦，即热量从点源处逐渐向温度较低的两侧流动。但是，在任一时刻t，杆上的总热量保持不变。即,在t0时，G（x,t;,0）无意义，这反映了热传导的不可逆性。,另外，格林函数具有性质：,11,可以证明此格林函数是下列特殊定解问题的解,此格林函数具有性质：,引入一个初始时间参量，格林函数推广为：,也是下列定解问题的基本解,12,解： 已知傅里叶变换对,对热传导方程运用傅里叶变换，得,例11.1 求解下列一维无源导热定解问题,边界条件运用傅里叶变换，得,13,得像函数对应常微 分方程初值问题,由初始条件得像
6、函数对应常微分方程的初值问题的解是,由高斯函数的 傅里叶变换关系,解微分方程得像函数,14,再由像函数的逆傅里叶变换得原函数，,本征问题的解,注意高斯像函数的傅里叶变换,15,例11.2 求解无限长弦的自由振动定解问题,（假定：函数,及其一阶导数是有限的),解,应用傅里叶变换于u(x,t),各函数的傅氏变换:,16,于是原定解问题变换为下列常微分方程的定解问题,上述常微分方程的通解为,代入初始条件可以定出,解方程组得出,这样,17,对上式作逆傅氏变换。,18,先计算,代回原变量,定义新变量,由傅里变换逆法则,19,再计算,代回原变量,定义新变量,积分定理,这样,这正是著名的达朗贝尔公式.,20
7、,2 一维有源导热问题,对定解问题作傅氏变换，得到常微分方程的初值问题,通过此方程对应的齐次方程求通解,齐次方程通解,采用参数变易法，设非齐次方程的解为,代入非齐次方程，整理得,21,对上式进行逆傅里变换,由边界条件得,即,即,对第一项作傅里叶逆变换,22,由乘积傅里叶变换定理,注意另一傅里叶变换关系,23,最后得到定解问题的解为,利用卷积公式,即,24,解： 三维傅氏变换对,定解问题变换为,3. 三维导热问题*(自学),类似于一维热传导问题，有解,25,并注意积分,最后得到定解问题的解为,为了求出上式的逆变换，利用下面傅氏变换的卷积公式，即,26,引入格林函数,则本征问题的解改写为,G（x,
8、t;,）是下列定解问题的格林函数,27,11.2 三维无界空间的静电场问题,我们知道，静电势u(r)满足泊松方程,采用下列三维傅氏变换对求解,为方便计，记,泊松方程改写为,由傅里叶变换导数定理,原方和改写为,泊松方程,（r)是体电荷密度,28,对像函数作傅里叶逆变换得原函数,注意,原函数改写为,29,得,现在计算,(r-r),30,引入格林函数,得,显然格林函数,是r点电荷（相应电荷密度）,在r点产生的电势。,31,现在的定解问题,为了说明解的物理意义，下面把问题分解为二个定解问题：,11.3 三维无界空间的受迫振动问题 泊松公式和推迟势公式,32,解,对定解问题作傅氏变换，得到常微分方程的定解问题,解之得,考虑到傅里叶变换关系,1 自由振动问题,33,由于,利用卷积定理和上述傅里叶变换,和上述傅里叶变换,34,注意到，只有当r满足条件|r-r|=at时，此式中的被积函 数才可能不为零。这条件就是以r点为圆心，at为半径的球 面，记之为Srat。于是，上式可写成简洁的形式：,而,综合上述结果有,泊松公式,35,36,2 受迫振动问题,现在的定解问题,对定解问题作傅氏变换后得,37,解之得,由下列傅里叶变换,我们有,其中利用了,38,推迟势公式,39,定解问题,的全部解为,