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1、第三章 应变状态,物体变形 位移与应变的基本关系几何方程 应变状态分析 位移的单值连续性质,目录 3.1 变形与应变概念 3.2 主应变与主应变方向 3.3 应变协调方程,3.1 变形与应变概念,由于外部因素 物体内部各点空间位置发生变化 位移形式 刚体位移：物体内部各点位置变化，但仍保持初始状态相对位置不变。 变形位移：位移不仅使得位置改变，而且改变了物体内部各个点的相对位置。,载荷或温度变化,位移,3.1 变形2,u=x（x，y，z） x=u（x，y，z） v=y（x，y，z） y=v（x，y，z） w=z（x，y，z） z=w（x，y，z）,位移u，v，w是单值连续函数,进一步分析假定位
2、移函数具有连续的三阶导数,一点的变形通过微分六面体单元描述 微分单元体的变形，分为两部分讨论 正应变棱边的伸长和缩短 切应变棱边之间夹角（直角）改变,3.1 变形3,微分单元体的变形,3.1 变形4,正应变与位移,3.1 变形5,切应变与位移,3.1 变形6,几何方程 位移分量和应变分量之间的关系,几何方程又称柯西方程 微分线段伸长正应变大于零 微分线段夹角缩小切应变分量大于零,3.1 变形7,几何方程位移导数表示的应变 应变描述一点的变形，但还不足以完全描述弹性体的变形 原因是没有考虑单元体位置的改变 单元体的刚体转动 刚性位移可以分解为平动与转动 刚性转动变形位移的一部分，但是不产生变形。
3、,3.1 变形8,3.1 变形9,刚性转动位移,S =ui +uj +uk S =,转动分量,3.1 变形10,刚性转动与 纯变形位移,位移为坐标的函数,3.1 变形11,刚性转动与 纯变形位移,N点的位移由三部分组成： 1随同M点作平动位移。 2绕M点作刚性转动在N点产生的位移。 3由于M点及其邻近区域的变形在N点引起的位移。,微分单元体的刚性转动与协调相关,刚体转动位移增量,变形位移增量,位移增量是由两部分组成的,3.1 变形12,变形通过应变描述 坐标变换时，应变分量是随之坐标改变而变化。 应变分量的转轴公式,3.2 主应变与主应变方向,应变状态,新旧坐标轴之间的夹角的方向余弦为,3.2
4、 主应变2,3.2 主应变3,应变分量的转轴公式,应变张量,应变张量一旦确定，则任意坐标系下的应变分量均可确定。因此应变状态就完全确定。 坐标变换后各应变分量均发生改变，但作为一个整体，所描述的应变状态并未改变。 主应变与应变主轴 切应变为0的方向 应变主轴方向的正应变,应变主轴,主应变,3.2 主应变4,3.2 主应变5,主应变确定 应变主轴方向变形,3.2 主应变6,应变状态特征方程,l，m，n齐次线性方程组 非零解的条件为方程系数行列式的值为零,展开,3.2 主应变7,主应变确定,应变不变量,第一，第二和第三应变不变量,一点的应变状态与坐标系选取无关，因此坐标变换不影响应变状态是确定的。
5、 应变不变量就是应变状态性质的表现,3.2 主应变8,应力张量应变张量 应力不变量应变不变量 主应变和应变主轴与主应力和应力主轴的特性类似 各向同性材料，应力主轴和应变主轴是重合的,公式比较,3.2 主应变9,弹性体一点体积的改变量,3.2 主应变10,变形前：V=dxdydz 变形后：,体积应变,3.2 主应变11,V=dxdydz,体积应变,3.2 主应变12,0, 表示微分单元体膨胀， 0, 单元体受压缩， =0，物体变形后的体积是不变的。,体积应变,3.3 应变协调方程,数学意义： 几何方程6个应变分量通过3个位移分量描述,力学意义变形连续 弹性体任意一点的变形必须受到其相邻单元体变形
6、的约束,3.3 应变协调2,例3-1 设 ex =3x, ey =2y, gxy =xy, ez =gxz =gyz =0,求其位移。 解：,显然该应变分量没有对应的位移。 要使这一方程组不矛盾，则六个应变分量必须满足一定的条件。以下我们将着手建立这一条件。,3.3 应变协调3,要使几何方程求解位移时方程组不矛盾，则六个应变分量必须满足一定的条件。 从几何方程中消去位移分量，第一式和第二式分别对y和 x求二阶偏导数，然后相加可得,3.3 应变协调4,将几何方程的四，五，六式分别对z，x，y求一阶偏导数 前后两式相加并减去中间一式，则,对x求一阶偏导数，则,分别轮换x,y,z，则可得如下六个关系
7、式,3.3 应变协调5,将几何方程的四，五，六式分别对z，x，y求一阶偏导数 前后两式相加并减去中间一式，则,应变协调方程 圣维南 （Saint Venant）方程,3.3 应变协调6,变形协调方程的数学意义 使3个位移为未知函数的六个几何方程不相矛盾。 变形协调方程的物理意义 物体变形后每一单元体都发生形状改变，如变形不满足一定的关系，变形后的单元体将不能重新组合成连续体，其间将产生缝隙或嵌入现象。 为使变形后的物体保持连续体，应变分量必须满足一定的关系。,3.3 应变协调7,证明应变协调方程是变形连续的必要和充分条件。 变形连续的物理意义，反映在数学上则要求位移分量为单值连续函数。 目标如
8、果应变分量满足应变协调方程，则对于单连通域，就可以通过几何方程积分求得单值连续的位移分量。 单连通域物体内任一条 闭曲线可以收缩到一点 而不越出界外.,3.3 应变协调8,证明 利用位移和转动分量的全微分，则,轮换x , y, z，可得du，dv和dwy，dwz,3.3 应变协调9,如通过积分，计算出,是单值连续的，则问题可证。,保证单值连续的条件是积分与积分路径无关,3.3 应变协调10,根据格林公式,回代,3.3 应变协调11,回代到第四式,wx单值连续的必要与充分条件是,同理讨论wy，wz的单值连续条件，可得其它4式变形协调方程。 由此可证变形协调方程是单连通域位移单值连续的必要和充分条
9、件。,3.3 应变协调12,变形协调方程 单连通域位移单值连续的必要和充分条件 多连通域位移单值连续的必要条件 充分条件是位移的连续补充条件,3.3 应变协调13,位移边界条件,应变满足变形协调方程，保证弹性体内部的变形单值连续。 边界变形协调要求边界位移满足位移边界条件。 位移边界条件临近表面的位移或和变形与已知边界位移或变形相等。,3.3 应变协调14,如果物体表面的位移已知，称为位移边界 位移边界用Su表示。 如果物体表面的位移,已知 边界条件为,称为位移边界条件,3.3 应变协调15,设物体表面为S 位移已知边界Su 面力已知边界Ss,则 SSuSs,弹性体的整个边界，是由面力边界和位移边界构成的。 任意一段边界，可以是面力边界，或者位移边界。 面力边界和位移边界在一定条件下是可以转换的，例如静定问题。,3.3 应变协调16,某些问题，边界部分位移已知，另一部分面力已知，这种边界条件称为混合边界条件。 不论是面力边界条件，位移边界条件，还是混合边界条件，弹性体任意边界的边界条件数目不能超过或者少于3个，必须等于3个。,3.3 应变协调17,