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1、第二章 应力状态,研究对象三维弹性体 微分单元体入手 超静定问题 静力平衡、几何变形和本构关系等三方面的条件 本章从静力学观点出发，讨论一点的应力状态，建立平衡微分方程和边界条件。,目录 2.1 体力和面力 2.2 应力与应力张量 2.3 二维应力状态与平衡微分方程 2.4 应力状态的描述 2.5 边界条件 2.6 主应力与应力主方向 2.7 应力球张量和球应力偏张量,2.1 体力和面力,物体外力 分为两类 体力 面力 体力和面力分别为物体单位体积或者单位面积的载荷。,2.2 应力与应力张量,内力外界因素作用下，物体内部各个部分之间的相互作用力。 附加内力 应力 应力矢量 pn随截面的法线方向
2、n的方向改变而变化 ,又受S方位变化的影响。,应力状态一点所有截面应力矢量的集合。 显然，弹性体内某确定点各个截面的应力矢量 应力状态必然存在一定的关系。 应力状态分析讨论一点截面方位改变引起的应力变化趋势。 应力状态对于结构强度是十分重要的。 准确描述应力状态，合理的应力参数。 为了探讨各个截面应力的变化趋势，确定可以描述应力状态的参数，通常将应力矢量分解。,2.2 应力2,应力矢量Pn的分解方法: 直角坐标轴分解,pn=px i + py j+ pz k,2.2 应力3,没有工程意义,法线 n方向的正应力n,垂直法线 n方向的切应力n,应力矢量 pn与正应力和切应力的关系,2.2 应力4,
3、应力矢量Pn的分解方法: 沿微分面S 的法线和切线方向分解,与结构强度关系密切 根据截面方位不能完全确定切应力,应力分量应力矢量在3个坐标轴上的投影 应力张量可以描述一点应力状态,2.2 应力5,应力张量,应该注意 应力分量是标量 箭头仅是说明方向,2.2 应力6,2.3 平衡微分方程,平衡 物体整体平衡，内部任何部分也是平衡的。 对于弹性体，必须讨论一点的平衡。 微分平行六面体单元,x截面,应力分量 x xy xz x+dx截面,应力分量,2.5 平衡方程2,平衡微分方程,切应力互等定理,2.5 平衡方程3,Fx=0,Mi=0,2.4 应力状态,如果应力张量能够描述一点的应力状态，则 应力张
4、量可以描述其它应力参数； 坐标变换与应力张量关系； 最大应力及其方位的确定。,2.4 应力状态2,斜截面上的应力,斜截面的法线方向矢量为n，它的三个方向余弦分别为l，m和n。,pn = pxi+ py j+ pz k,Fb = Fbxi+ Fby j+ Fbz k,n = l i+m j + n k,设ABC的面积为S，则OBC= lS OCA= mS OAB= nS,斜截面上的应力,2.4 应力状态3,公式表明：已知应力张量，可以确定任意方位微分面的应力矢量。 当然可以确定正应力s n与切应力t n。,斜截面上的应力,2.4 应力状态4,应力不仅随位置改变而变化，而且随截面方位改变而变化。
5、同一点由于截面的法线方向不同，截面上的应力也不同。 讨论应力分量在坐标变换时的变化规律。,2.4 应力状态5,应力分量在坐标变换时的变化规律。 坐标系仅作平移变换时,同一点的 应力不会改变。 考虑坐标系旋转的情况.,2.4 应力状态6,应力分量在坐标变换时的变化规律。 斜截面ABC与 x 轴垂直，其应力矢量为pn,2.4 应力状态7,应力分量在坐标变换时的变化规律。 将 pn ，即px向x 、y、 z轴投影,2.4 应力状态7,应力分量在坐标变换时的变化规律。 应力分量转轴表达式,2.4 应力状态7,应力分量转轴表达式,2.4 应力状态7,应力变换公式表明:当坐标轴作转轴变换时,应力分量遵循张
6、量的变换规律.坐标轴旋转后,应力分量的九个分量均有改变,但作为整体所描述的应力状态是不变的. 应力张量为二阶对称张量 转轴公式表明：新坐标系下的六个应力分量可通过原坐标系的应力分量确定。,平面应力状态转轴公式 弹性力学以坐标系定义应力分量； 材料力学以变形效应定义应力分量。 正应力二者定义没有差异 而切应力定义方向不同,2.4 应力状态5,2.5 边界条件,弹性体的表面，应力分量必须与表面力满足面力边界条件，维持弹性体表面的平衡。 边界面力已知面力边界Ss,面力边界条件确定的是弹性体表面外力与弹性体内部趋近于边界的应力分量的关系。,面力边界条件,2.5 边界条件2,2.5 边界条件3,面力边界
7、条件描述弹性体表面的平衡， 平衡微分方程描述弹性体内部的平衡。 这种平衡只是静力学可能的平衡。 真正处于平衡状态的弹性体，还必须满足变形连续条件。,2.5 边界条件4,位移边界条件 边界位移已知位移边界Su 位移边界条件就是弹性体表面的变形协调 弹性体临近表面的位移与已知边界位移相等,2.5 边界条件5,混合边界条件 弹性体边界 SSsSu 部分边界位移已知位移边界Su 部分边界面力已知面力边界Ss 不论是面力边界条件，位移边界条件，还是混合边界条件，任意边界的边界条件数必须等于3个。,2.6 主应力与应力主方向,转轴公式描述了应力随坐标转动的变化规律 结构强度分析需要简化和有效的参数 最大正
8、应力、最大切应力以及方位 主应力和主平面应力状态分析重要参数 应力不变量进一步探讨应力状态,主应力和主平面,2.6 主应力2,切应力为零的微分面称为主微分平面，简称主平面。 主平面的法线称为应力主轴或者称为应力主方向。 主平面上的正应力称为主应力。,主应力分析,2.6 主应力3,ABC为主平面,方向余弦为(l,m,n) 主应力 Pn=n= px = l, py = m, pz = n。,主应力分析,关于l，m，n的齐次线性方程组， 非零解的条件为方程组的系数行列式等于零，即,2.6 主应力4,展开,其中：,主元之和,代数主子式之和,应力张量元素构成的行列式,主应力特征方程,2.6 主应力5,应
9、力状态特征方程 确定弹性体内部任意一点主应力和应力主轴方向。 主应力和应力主轴方向取决于载荷、形状和边界条件等，与坐标轴的选取无关。 因此，特征方程的根是确定的，即I1、I2、I3的值是不随坐标轴的改变而变化的。 I1、I2、I3 分别称为应力张量的第一、第二和第三不变量。,2.6 主应力6,特征方程有三个实数根 s1，s2，s3分别表示这三个根，代表某点三个主应力。 对于应力主方向，将s1，s2，s3分别代入,和 l2+m2+n2=1 则可求应力主方向。,2.6 主应力7,主应力和应力主方向取决于结构外力和约束条件，与坐标系无关。 因此特征方程的三个根是确定的。,特征方程的三个根，即一点的三
10、个主应力均为实数。 根据三次方程性质可以证明。,任意一点三个应力主方向是相互垂直的三个应力主轴正交的。,应力不变量性质,坐标系的改变导致应力张量各分量变化，但应力状态不变。 应力不变量正是对应力状态性质的描述。,2.6 主应力8,不变性 实数性 正交性,主应力正交性证明：,下面证明下述结论： 1. 若s1s2s3，特征方程无重根； 应力主轴必然相互垂直； 2. 若s1s2s3，特征方程有两重根； s1和s2的方向必然垂直于s3的方向。而s1和s2的方向可以是垂直的，也可以不垂直； 3. 若s1=s2=s3，特征方程有三重根； 三个应力主轴可以垂直，也可以不垂直，任何方向都是应力主轴。,2.6
11、主应力9,设s1，s2，s3 的方向分别为（l1，m1，n1），（l2，m2，n2）和（l3，m3，n3），则,分别乘以l2，m2，n2,分别乘以-l1,-m1,-n1,六式相加，可得,2.6 主应力10,如果 s1s2s3,3个应力主方向相互垂直,如果 s1=s2s3,可以等于零，也可以不等于零。,s3与s1和s2的方向垂直， 而s1和s2的方向可以垂直或不垂直。 s3的垂直方向都是s1和s2的应力主向。,2.6 主应力11,如果 s1=s2=s3,则 l1l2+m1m2+n1n2 l2l3+m2m3+n2n3 l1l3+m1m3+n1n3 均可为零或者不为零。 任何方向都是应力主方向。,因
12、此问题可证。 1.若s1s2s3，应力主轴必然相互垂直； 2.若s1s2s3，s1和s2必然垂直于s3。而s1和s2可以是垂直的，也可以不垂直； 3. 若s1=s2=s3，任何方向都是应力主轴。,2.6 主应力12,主应力是一点所有微分面上最大或最小的正应力。 主应力和主平面分析确定最大正应力及其作用方位； 最大切应力的确定。 讨论任意截面正应力和切应力的变化趋势应力圆。 最大切应力以及方位的确定。,2.6 主应力13,正应力和切应力,2.6 主应力14,正应力和切应力,2.6 主应力15,主应力与方向余弦表达式,应力圆,2.6 主应力16,主应力与方向余弦表达式,设123,应力圆,2.6 主
13、应力17,应力圆,2.6 主应力18,最大正应力 最大切应力,最大切应力方位,2.6 主应力19,l2 = 0.5 m2 = 0 n2 = 0.5,八面体单元,2.6 主应力20,方向余弦表达式,由于,所以,正应力,切应力,八面体单元,2.6 主应力21,八面体单元 八面体切应力是一个与第四强度理论等效应力有关的一个量,因此也是一个与塑性材料的失稳有关的物理量. 八面体单元的正应力和切应力均是不变量.,2.6 主应力22,2.7 应力球张量和应力偏张量,应力张量的分解,应力张量的分解 应力球量改变单元体体积， 应力偏量改变单元体形状。,2.7 应力张量2,应力偏张量的计算 应力偏张量sij与应力张量ij的应力主方向相同，而且其主应力仅相差一个平均应力。因此可用正应力特征方程计算。,2.7 应力张量3,体力与面力,体力:,分布在物体整个体积内部各个质点上的力，又称为质量力。,体力分量的方向规定与坐标轴方向一致为正，反之为负。,体力沿三个坐标轴的分量用Fbi( i = 1,2,3)或者Fbx, Fby, Fbz表示，称为体力分量。,体力与面力,面力:,分布在物体表面上的力 。,面力的方向规定以与坐标轴方向一致为正，反之为负。,面力矢量用Fs表示，其分量用Fsi（i=1，2，3）或者Fsx、Fsy和Fsz表示，称为面力分量。,