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1、第十二章 无穷级数,1 常数项级数的概念及其性质,一、基本概念,定义,给了数列,将它们依次用加号连接起来而得的表达式,称为常数项无穷级数，,简称常数项级数，,或级数，,记为,，即,给了级数,设,为任一正整数，,定义,为级数,的前,项部分和。,部分和数列,定义,若级数,的部分和数列,的极限存在，,极限值记为,，,即,则称级数,是收敛的，,并称极限值,为级数,的和，,记为,若,的极限不存在，,则称级数,是发散的。,.,例1,讨论等比级数（又称几何级数）,的收敛性。,解,级数,的前,项部分和,，,，,讨论:,收敛，,且其和为,发散。,发散。,不存在,由(1)(2)(3)得：,收敛，,发散，,且和为,
2、，,证,级数,的前,项部分和,发散。,例2,证明级数,是发散的。,解,例3,判定级数,的收敛性。,收敛。,证,例4,证明调和级数,是发散的。,（反证）,假设,是收敛的。,设它的部分和为,则,存在，,记极限值为,，即,即,(*),另一方面，,这与(*)式矛盾！,是发散的。,二、级数的基本性质,1、,若,收敛，,设其和为,，则,也收敛，,且其和为,.,2、,若,收敛，,其和为,则,收敛，,其和为,(1),收敛，,且其和为,(2),收敛，,且其和为,3、,在级数的前面或中间,去掉、添加或改变,有限项，,所得级数与原级数的收敛性相同。,注意：,和变了,（,）,注意：,反之不然,（,）,反例：,不存在,发散,即,(,),(,),收敛,但,发散,的部分和,加括号,性质4 的逆否命题：,若一个级数加括号后所得级数发散，,则原级数也发散。,说明：,可利用这个命题，来判断一个级数是发散的。,三、,级数收敛的必要条件,定义,设,收敛，,其和为,，,设它的前,项部分和为,，,称,为,的余项，,记为,，,即,定理,若,收敛，,则,证,设,的部分和为,收敛,注意,其逆命题不对。,反例：,但,发散。,推论,若,，,则,发散。,例,发散,发散,作业：,P254, 1(1)(3)，2(3)(4), 3, 4,