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1、一 函数 二 函数的极限 三 函数的连续性,第一章 函数与极限,1.1.1 常量与变量,常量：在某一变化过程中不变化，保持一定的数值的 量叫做常量。,1.1 函 数,变量：在某一变化过程中变化，可以取不同的数值的 量叫做变量。,常量与变量的划分是相对的。,定义1：设x 和 y 为同一过程两个变量 ，若对非空数集D 中任一x （记为 ） ，在数集M中存在 y （记为 ）按一定的法则 f 有 唯一确定的 值与之对应，则称 f 是定义在D上的函数。 记作 y = f ( x ) 数集D称为该函数 的定义域， x 叫做自变量， y 叫做因变量。自变量取 时的函数值 记成 、 或,1.1.2 函数的概念
2、,全体函数值的集合 称为函数的值域。,函数的两个要素 函数的对应法则和定义域称为函数的两个要素. （）对应法则,分段函数：在定义域的不同部分内用不同的解析式 表示的函数，称为分段函数。,分段函数,符号函数,1.1.3 函数的表示方法 （1）解析法：用数学公式或方程来表示变量间的函数关系。 （2）列表法：把一系列自变量的值及其对应的函数 值列成一个表格来表示函数关系。 （3）图象法：用坐标平面内的图形（一般是曲线）表示 变量间的函数关系。,1.1.4 几种特殊的函数性质 （1）奇偶性 设函数 f ( x ) 的定义域为对称区间（-L , L）（也可以 是-L , L , （，），如果对于定义域的
3、任 一 x 都满足f ( x ) = f ( x )（f ( x ) = f ( x ) ）， 则称函数 f ( x ) 为奇函数（或偶函数）。,（2）单调性 若函数 f ( x ) 在区间 I 上有定义，如果对于区间 I 上 任意两点 及 ，当 时，有 ，则称函数 f ( x ) 在区间 I 上单调增加（单调递减）。 单调递增或单调递减函数统称为单调函数。,（3）有界性 设函数 y = f ( x ) 定义在区间 (a，b) 上，若存在 一个常 数 k ， 使得当 x (a，b) 时，恒有 成立，则称f ( x )在 (a，b)有上界（下界）。 若 f ( x )在 (a，b)既有上界又有下
4、界， 则称f (x )在 (a，b)上有界。 如果函数 f ( x ) 在其定义域内有界，则称f ( x ) 为有界函数。,（4）函数的周期性 设有函数 f ( x ) ，如果存在一个不为零的数 T， 使得对于定义域的任一实数 x ，都有 f ( x+T ) = f ( x ) 则称 f ( x ) 周期函数， T 为函数的周期。,1.1.5 反函数 设函数 y = f ( x ) 的定义域为 D ，值域为 M。 如对于任意的 y M，有x D，使得f ( x ) = y， 则变量 x 是变量 y 的函数，其对应规则记作 。 这个定义在 M 上的函数 ，称它为函数 y = f ( x )的反函
5、数，而 y = f ( x ) 称为直接函数。,1.2.1 基本初等函数,1.2 初等函数,这六种函数统称为基本初等函数，这些函数的性质、图形必须熟悉,1.2.2 复合函数,两个函数 f 与 g 构成复合函数的关键在于内函数的值域要包含在外函数的定义域中。,例2 分析下列复合函数的结构：,三、初等函数,若数列,及常数 a 有下列关系 :,当 n N 时,总有,记作,此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 .,几何解释 :,即,或,则称该数列,的极限为 a ,1.3 函 数 的 极 限,1.3.1 数列的极限,邻域,OK! N找到了！,nN,目的：,NO, 有些点在条形域外面！,数列极限的演示,N
6、,数列极限的演示,e 越来越小，N越来越大！,例如,趋势不定,收 敛,发 散,数列极限的演示,数列极限的演示,数列极限的演示,数列极限的演示,目标不惟一！,例1. 已知,证明数列,的极限为1.,证:,欲使,即,只要,因此 , 取,则当,时, 就有,故,例2. 设,证明等比数列,证:,欲使,只要,即,亦即,因此 , 取, 则当 n N 时,就有,故,的极限为 0 .,一、自变量趋于有限值时函数的极限,自变量变化过程的六种形式:,二、自变量趋于无穷大时函数的极限,本节内容 :,1.3.2 函数的极限,1.自变量趋于无穷大时函数的极限,定义2 . 设函数,大于某一正数时有定义,若,则称常数,时的极限
7、,几何解释:,记作,直线 y = A 为曲线,的水平渐近线,A 为函数,这个运动表明： 当x沿直线趋于正无穷大时，圆周上对应的点按逆时针方向趋于顶点,这个运动表明： 当x沿直线趋于正无穷大时，圆周上对应的点按顺时针方向趋于顶点,演示表明：在直线上无论x是趋于 ，还是趋于 ，反映在圆周上显示的是，点沿着圆周分别按逆时针和顺时针都趋于一个共同的点顶点！,x趋于无穷大的演示,例 证明,证:,取,因此,注:,就有,故,欲使,即,直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线 .,两种特殊情况 :,当,时, 有,当,时, 有,几何意义 :,例如，,都有水平渐近线,都有水平渐近线,又如，,因此，
8、我们得到无穷远处函数极限的关系如右：,x趋于无穷大的演示,2.自变量趋于有限值时函数的极限,1.,时函数极限的定义,引例. 测量正方形面积.,面积为A ),边长为,(真值:,边长,面积,直接观测值,间接观测值,任给精度 ,要求,确定直接观测值精度 :,定义1 . 设函数,在点,的某去心邻域内有定义 ,当,时, 有,则称常数 A 为函数,当,时的极限,或,即,当,时, 有,若,记作,几何解释:,极限存在,函数局部有界,这表明:,函数极限的演示,d,d,目的：对任意的e0, 要找d0，使得 0|x-x0|d 时，有 |f(x)-A|e. 即 A-e f(x) A+e.,哈哈, d 找到了!,d,d
9、,这样的d 也能用,看来有一个d 符合要求,就会有无穷多个d 符合要求!,函数极限的演示,d1,d1,目的：对任意的e0, 要找d0，使得 0|x-x0|d时，有 |f(x)-A|e. 即 A-e f(x) A+e.,哈哈, d 找到了!,例1. 证明,证:,故,对任意的,当,时 ,因此,总有,例2. 证明,证:,欲使,取,则当,时 , 必有,因此,只要,左极限与右极限,左极限 :,当,时, 有,右极限 :,当,时, 有,定理 3 .,例. 设函数,讨论,时,的极限是否存在 .,解:,因为,显然,所以,不存在 .,思考与练习,1. 若极限,存在,2. 设函数,且,存在, 则,是否一定有,？,当
10、,一、 无穷小,定义1 . 若,时 , 函数,则称函数,例如 :,函数,当,时为无穷小;,函数,时为无穷小;,函数,当,为,时的无穷小量，简称无穷小 .,时为无穷小.,1.3.3 无穷小与无穷大,说明:,除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 !,因为,当,时,显然 C 只能是 0 !,C,C,时 , 函数,(或 ),则称函数,为,定义1. 若,(或 ),则,时的无穷小 .,其中 为,时的无穷小量 .,定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 ),证:,当,时,有,对自变量的其它变化过程类似可证 .,二、 无穷大,定义2 . 若任给 M 0 ,一切满足不等式,的 x , 总有,则称函数,当,时
11、为无穷大,使对,若在定义中将 式改为,则记作,(正数 X ) ,记作,总存在,注意:,1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态.,2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 !,例如, 函数,当,但,不是无穷大 !,三、无穷小与无穷大的关系,若,为无穷大,为无穷小 ;,若,为无穷小, 且,则,为无穷大.,则,据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.,定理2. 在自变量的同一变化过程中,说明:,无穷小运算法则,定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 .,说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 !,例如，,有限个无穷小之差仍为无穷小 .,定理2 . 有界函数与无穷小的
12、乘积是无穷小 .,推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 .,推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 .,时, 有,无穷小运算法则,定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 .,证: 考虑两个无穷小的和 .,设,当,时 , 有,当,时 , 有,取,则当,因此,这说明当,时,为无穷小量 .,说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 !,例如，,类似可证: 有限个无穷小之差仍为无穷小 .,定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 .,证: 设,又设,即,当,时, 有,取,则当,时 , 就有,故,即,是,时的无穷小 .,推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 .,推论 2 . 有限个无穷小的乘积是
13、无穷小 .,例. 求,解:,利用定理 2 可知,说明 : y = 0 是,的渐近线 .,第一章,都是无穷小,引例 .,但,可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 .,无穷小的比较,定义.,若,则称 是比 高阶的无穷小,若,若,若,若,或,记作,则称 是比 低阶的无穷小;,则称 是 的同阶无穷小;,则称 是关于 的 k 阶无穷小;,则称 是 的等价无穷小,记作,例如 , 当,时,又如 ，,故,时,是关于 x 的二阶无穷小,且,例1. 证明: 当,时,证:,内容小结,1. 无穷小的比较,设 , 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且, 是 的高阶无穷小, 是 的低阶无穷小, 是 的同阶无穷小, 是 的等
14、价无穷小, 是 的 k 阶无穷小,1.4 极限运算法则,1.4.1 函数的极限运算法则,则有,定理 1 . （1）若,（2） 若,则有,说明: 可推广到有限个函数相乘的情形 .,推论 1 .,( C 为常数 ),推论 2 .,( n 为正整数 ),（3） 若,且 B0 , 则有,1.4.1 函数的极限运算法则,则有,证: 因,则有,(其中,为无穷小),于是,由定理 1 可知,也是无穷小,再利用极限与无穷小,的关系定理 , 知定理结论成立 .,定理 1 . （1）若,说明: 可推广到有限个函数相加、减的情形 .,（2） 若,则有,说明: 可推广到有限个函数相乘的情形 .,推论 1 .,( C 为
15、常数 ),推论 2 .,( n 为正整数 ),为无穷小,(详见P44),（3） 若,且 B0 , 则有,证: 因,有,其中,设,无穷小,有界,因此,由极限与无穷小关系定理 , 得,为无穷小,例1,这是因为分子、分母都包含着在 x =2时为零的因子 x2 。此时为求极限应设法先消去零因子，然后求极限。,解 原式=,例2 求,注 此题中若将 x =2代入分子、分母，则得到无意义的式子 ，,例3,解 当 时， ， 的分母都趋于零，原 式 出现“ ”的形式，两项均不存在极限，故不能直接使用极限运算法则，此时需先通分，变换一下形式。,原式 =,（消去零因子）,解 原式=,解 当 时，分母极限为0，不能直
16、接使用极限运算法则，若将分子有理化,例4 求,例5 . 求,解: x = 1 时,分母 = 0 , 分子0 ,但因,例6 . 求,解:,时,分子,分子分母同除以,则,分母,“ 抓大头”,原式,一般有如下结果：,为非负常数 ),例7. 求,解,原式 =,定理. 设,且 x 满足,时,又,则有,说明: 若定理中,则类似可得,例7. 求,解: 令,已知, 原式 =,思考及练习,1.,是否存在 ? 为什么 ?,答: 不存在 .,否则由,利用极限四则运算法则可知,存在 ,与已知条件,矛盾.,解:,原式,2.,问,1. 函数极限存在的夹逼准则,且,1.4.3 两个重要极限,2. 单调有界数列必有极限,圆扇
17、形AOB的面积,二、 两个重要极限,证: 当,即,亦即,时，,显然有,AOB 的面积,AOD的面积,故有,注,当,时,注,例1. 求,解:,例2. 求,解: 原式 =,2.,例1. 求,解：原式,例2. 求,解: 原式 =,两个重要极限,或,思考与练习,填空题 ( 14 ),二、 函数的间断点,一、 函数连续性的定义,第一章,1.5 函数的连续性,对自变量的增量,有函数的增量,可见 , 函数,在点,一、 函数连续性的定义,定义:,在,的某邻域内有定义 ,则称函数,(1),在点,即,(2) 极限,(3),设函数,连续必须具备下列条件:,存在 ;,且,有定义 ,存在 ;,若,在某区间上每一点都连续
18、 ,则称它在该区间上,连续 ,或称它为该区间上的连续函数 .,对自变量的增量,有函数的增量,左连续,右连续,当,时, 有,函数,在点,连续有下列等价命题:,在其定义域内连续,定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 ,( 利用极限的四则运算法则证明),商(分母不为 0) 运算,结果仍是一个在该点连续的函数 .,例如,1.5.3 初等函数的连续性,定理2. 连续函数的复合函数是连续的.,证: 设函数,于是,故复合函数,且,即,初等函数的连续性,基本初等函数在定义区间内连续,连续函数经四则运算仍连续,连续函数的复合函数连续,一切初等函数在定义区间内连续,例如,的连续区间为,(端点
19、为单侧连续),例1. 求,解:,原式,连续与间断,特点:,极限计算转化为函数值计算,函数值表示转化为极限表示,在x0有定义,1.在x0附近定义; 2.极限存在,间断=不连续,1.在x0 及其附近定义; 2.极限存在,间断的演示,间断的演示,间断的演示,注意到： 这种间断点称为可去间断点.,G,间断的演示,注意到： 这种间断点称为可去间断点.,G,间断的演示,注意到： 这种间断点称为可去间断点.,G,间断的演示,注意到： 这种间断点称为可去间断点.,G,间断的演示,注意到： 这种间断点称为跳跃间断点.,G,间断的演示,哎，小红点，你跑哪去了？,快救救我，我要跑到未知世界去了！,这种间断点称为无穷
20、间断点,G,间断的演示,：Hi, 小红点，你能不能停住？我怎么也停不住，那可怎么连上啊？,：Hi, 小蓝点，你停不住，我也停不住啊。还想连上，你可真逗！,这种间断点称为震荡间断点。,G,一、最值定理,二、介值定理,1.5.4 闭区间上连续函数的性质,第一章,一、最值定理,定理1.在闭区间上连续的函数,即: 设,则,使,值和最小值.,在该区间上一定有最大,(证明略),例如,无最大值和最小值,推论.,由定理 1 可知有,证: 设,上有界 .,二、介值定理,定理2. ( 零点定理 ),至少有一点,且,使,( 证明略 ),在闭区间上连续的函数在该区间上有界.,定理3. ( 介值定理 ),设,且,则对
21、A 与 B 之间的任一数 C ,一点,使,至少有,二、 连续与间断,一、 函数,三、 极限,习题课,函数与极限,第一章,一、 函数,1. 函数的概念,定义:,定义域,值域,图形:,( 一般为曲线 ),设,函数为特殊的映射:,其中,2. 函数的特性,有界性 ,单调性 ,奇偶性 ,周期性,3. 反函数,设函数,为单射,反函数为其逆映射,4. 复合函数,给定函数链,则复合函数为,5. 初等函数,有限个常数及基本初等函数,经有限次四则运算与复,复合而成的一个表达式的函数.,例1. 设函数,求,解:,解:,利用函数表示与变量字母的无关的特性 .,代入原方程得,代入上式得,设,其中,求,令,即,即,令,即
22、,画线三式联立,即,例2.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,1. 下列各组函数是否相同 ? 为什么?,相同,相同,相同,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 下列各种关系式表示的 y 是否为 x 的函数? 为什么?,不是,是,不是,提示: (2),机动 目录 上页 下页 返回 结束,3. 下列函数是否为初等函数 ? 为什么 ?,以上各函数都是初等函数 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4. 设,求,及其定义域 .,5. 已知, 求,6. 设,求,由,得,4. 解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,5. 已知, 求,解:,6. 设,求,解:,机动 目录 上页 下页
23、返回 结束,二、 连续与间断,1. 函数连续的等价形式,有,有界定理 ;,最值定理 ;,零点定理 ;,介值定理 .,3. 闭区间上连续函数的性质,例3. 设函数,在 x = 0 连续 , 则 a = , b = .,提示:,三、 极限,1. 极限定义的等价形式,(以 为例 ),(即 为无穷小),有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 极限存在准则及极限运算法则,3. 无穷小,无穷小的性质 ;,无穷小的比较 ;,4. 两个重要极限,5. 求极限的基本方法,例6. 求下列极限：,提示:,例7. 确定常数 a , b , 使,解:,原式,故,于是,而,2. 求,解:,原式 = 1,1当,时，,较,等价无穷小量 (B) 同阶无穷小量 (C) 低阶无穷小量 (D) 高阶无穷小量,是 （ ）,课堂测验,2下列各式中正确的是 （ ）,B,C,D,A,3无穷小量是（ ） A 比零稍大一点的一个数 B 一个很小很小的数 C 以零为极限的一个变量 D 数零,4. 已知,，则a=_。,5. 计算,