优化模型动态规划.ppt

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1、第八章 动态规划问题及求解 81 多阶段决策问题 动态规划是解决这样一类最优化问题的专门计算方法，这类问题允许把它的过程（求解）分解为一系列的单级过程（步骤）。,最优化原理：达到系统某种状态的过程无论是怎样的，以这个状态为初始状态的剩余过程的求解仍是最优的规划。也就是说，当系统处于第,个状态时，只要最优,规划剩余的,个过程，便可逐步求出,时的,最优解。,为了方便讨论动态规划的求解过程，我们把动态规划,问题化分为下面几个过程：,阶段（stage）：把问题恰当的分为若干个相互联系,的阶段；,2状态（State）:它是表示某段的出发位置，是某支路,的起点，又是前一段某支路的终点。第,个阶段的状态,变

2、量,应该包含前各阶段决策过程的全部信息，且之后,作出的决策与之前的状态和决策无关。,3决策（Decision）:是指某阶段初从给定的状态出发,决策者所作出的选择，决策变量,表示第,个阶段,状态为,时对方案的选择。决策允许范围记为,，,4策略（Policy）:即决策序列。,个阶段动态规划问题,的策略可记为,，当,时，,表示从,阶段开始到最后的决策,序列。,5状态转移方程：表明后一阶段和前一阶段之间的,阶段状态和决策给定之后，第,关系。当第,阶段状态就确定了，记为,6.指标函数：阶段指标函数-对应于某一阶段状态和从该,状态出发的决策的某种指标度量。第,阶段指标函数记,为,；过程指标函数-从某阶段开

3、始到最后,过程的指标度量。记为,，最优策略值记为,7动态规划基本方程：过程指标函数是各阶段指标函数,的函数。,82 动态规划问题的解法 例1设某仓库有12人巡逻守卫，负责4个要害部位，对每个部位可分别派2到4人巡逻，由于巡逻人数不同，各部位预期在一段时间内可能造成的损失也不一样，具体数字见下表。问该卫队应往各部位分别派多少人巡逻才能使预期损失最小？,把12人派往4个部位看作4个阶段（k=1,2,3,4），每个阶段初可派遣的人数是前面阶段决策的结果，也是本阶段决策的依据。用 表示第,个阶段的状态变量，用,表示第,个阶段的决策变量（即在该阶段派出的,人数，显然,），各阶段可允许的决策集合,状态转移

4、方程为,用,表示第,个阶段派出的巡逻人数为,时，在该部位的预期损失值,过程指标函数,由于,用,表示从第,个阶段到结束时预期损失值，,（1）先考虑D部位,（2）先考虑C，D部位,由于,，所以,（3）先考虑B，C，D部位,由于,，所以,（4）先考虑A，B，C，D部位,由于,，所以,由此可见，A，B，C，D四个部位应分别派4人，2人，,2人，4人，预期损失值为97。,例5求从A点到G点的最段路线,解：从A到G分六个阶段：A-B,B-C,C-D,D-,E,E-F,F-G,（1）第六阶段F-G最短路,例2,（2）第五阶段E-G最短路,（3）第四阶段D-G最短路,（4）第三阶段C-G最短路,（5）第二阶段

5、B-G最短路,（6）第一阶段A-G最短路,所以最短路是：A-B1-C2-D1-E2-F2-G,最短路长为18。,例3求下列非线性规划问题,解：要求,的值，我们分三个阶段，,分别为第1，2，3阶段的决策变量。,设状态变量为,，显然,阶段指标函数,第三阶段,2第二阶段,3第一阶段,所以,最优值为,例4 设备平行分配 某公司根据国家计划的安排拟将某种设备5台分给甲乙丙三个厂,各厂获得这种设备每年可向国家提供的利润如下表:,解:分3个阶段,甲第3厂,乙-第2厂,丙-第1厂 设 为第 k 厂获得的台数 为 台设备分配给第 k 个厂所得利润. 表示当前 k状态下的已分的设备总数 表示当前状态下 台设备所得

6、的最大利润 第一阶段,考虑丙厂(k=1),第2阶段,考虑乙,丙厂(k=2),第3阶段,考虑甲,乙,丙厂(k=3),有两种分配方案:总最大利润21 方案1:甲0,乙2,丙3 方案2:甲2,乙2,丙1,第九章 LINGO8.0编程介绍 LINGO程序的背景及应用 美国芝加哥(Chicago)大学的Linus Schrage教授于1980年前后开发, 后来成立 LINDO系统公司（LINDO Systems Inc.）， 网址：http:/ LINDO: Linear INteractive and Discrete Optimizer (V6.1) LINGO: Linear INteractiv

7、e General Optimizer (V8.0) LINDO API: LINDO Application Programming Interface (V2.0) Whats Best!: (SpreadSheet e.g. EXCEL) (V7.0) 目前的产品有：演示(试用)版、学生版、高级版、超级版、工业版、扩展版 （求解问题规模和选件不同）,LINDO和LINGO软件能求解的优化模型,LINGO模型的优点 包含了LINDO的全部功能 提供了灵活的编程语言（矩阵生成器） LINGO模型的构成：4个段 目标与约束段（MODEL： END） 集合段（SETS： ENDSETS） 数据段

8、（DATA： ENDDATA） 初始段（INIT： ENDINIT）,例1：编一个LINGO程序求解下列线性规划问题的最优解,程序 model: max =1.15*x41+1.4*x23+1.25*x32+1.06*x54; x11+x14=10000; -1.06*x14+x21+x23+x24=0; -1.15*x11-1.06*x24+x31+x32+x34=0; -1.15*x21-1.06*x34+x41+x44=0; -1.15*x31-1.06*x44+x54=0; x23=30000; x32=40000; End 运行结果： Global optimal solution

9、found at iteration: 2 Objective value: 14840.00,Variable Value Reduced Cost X41 0.000000 0.6739130E-01 X23 10600.00 0.000000 X32 0.000000 0.4043478E-01 X54 0.000000 0.000000 X11 0.000000 0.000000 X14 10000.00 0.000000 X21 0.000000 0.000000 X24 0.000000 0.3213913E-01 X31 0.000000 0.7143478E-01 X34 0.

10、000000 0.000000 X44 0.000000 0.9379130E-01 Row Slack or Surplus Dual Price 1 14840.00 1.000000 2 0.000000 1.484000,3 0.000000 1.400000 4 0.000000 1.290435 5 0.000000 1.217391 6 0.000000 1.060000 7 19400.00 0.000000 8 40000.00 0.000000,例2：编一个LINGO程序求解下列线性规划问题的最优解,程序一 model: max =120*x1+108*x2+150*x3+

11、190*x4+160*x5+200*x6+98*x7; 100*x1+98*x2+130*x3+160*x4+130*x5+170*x6+88*x7=1; x6+x7=1; bin(x1); bin(x2); bin(x3); bin(x4); bin(x5); bin(x6); bin(x7); End,程序二 model: sets: AA/17/:x,b,c; endsets data: b=120,108,150,190,160,200,98; c=100,98,130,160,130,170,88; enddata max =sum(AA(j):b(j)*x(j); sum(AA(j

12、):c(j)*x(j)=1; x(6)+x(7)=1; bin(x(1); bin(x(2); bin(x(3); bin(x(4); bin(x(5); bin(x(6); bin(x(7); End,运行结果： Global optimal solution found at teration: 0 Objective value: 918.0000 Variable Value Reduced Cost X1 1.000000 -120.0000 X2 0.000000 -108.0000 X3 1.000000 -150.0000 X4 1.000000 -190.0000 X5 1.

13、000000 -160.0000 X6 1.000000 -200.0000 X7 1.000000 -98.00000,Row Slack or Surplus Dual Price 1 918.0000 1.000000 2 822.0000 0.000000 3 0.000000 0.000000 4 1.000000 0.000000 5 1.000000 0.000000,例3：编一个LINGO程序求解下列线性规划问题的最优解,目标函数,约束条件,程序 model: SETS: T/A1,A2/: tt; Endsets init: x11=10;x21=13; endinit mi

14、n =max(T(j):tt(j); x11+x21=50; x12+x22=30; x13+x23=45; tt(1)=4*x11+10*x12+10*x13; tt(2)=6*x21+8*x22+20*x23; End,运行结果： Global optimal solution found at iteration: 1 Objective value: 486.0000 Variable Value Reduced Cost X11 9.000008 0.1886861E-08 X21 40.99999 0.000000 X12 0.000000 4.666667 X22 30.0000

15、0 0.000000 X13 45.00000 0.000000 X23 0.000000 3.333333 TT( A1) 486.0000 0.000000 TT( A2) 486.0000 0.000000,91 函数的应用 在LINGO编程中，为了使程序更加简明，可阅读性，LINGO中提供了一类函数的命令集，主要有if, sum, max, min, for, bin, gin, bnd,free等，应用这些函数可以使程序变得很简明，下面介绍这些函数的应用。 if：-用于分段函数的编程 格式：if（A，B，C） 含义：条件A成立时，取B，否则取C,例1,LINGO的编程如下： F=if

16、(x1#GE#0#and#x1#LE#70,-505,124);,例2,引入决策0-1变量,则,LINGO的编程如下： g11=if(x1#GT#0#AND#x1#LE#70,1,0); g12=if(x1#GT#70#AND#x1#LE#120,1,0); g13=if(x1#GT#120#AND#x1#LE#150,1,0); g14=if(x1#GT#150#AND#x1#LE#190,1,0); f1=-g11*505+124*g12+252*g13+489*g14;,sum：-用于循环求和函数的编程 格式：sum（A:B） 含义：A表示求和的变量及范围，B表示单项表达式。,例3,LI

17、NGO的编程如下： Model: Sets: Var/120/:c,x; Endset w=sum(Var(I): c(I)*x(I); end,例4,LINGO的编程如下： Model: Sets: Var1/120/:a; Var2/115/:b; Var(Var1,Var2):c,x;,Endset w=sum(Var(I,J): c(I，J)*x(I,J); end,for：-用于循环函数的编程 格式：for(A:B） 含义：A表示循环的变量及范围，B表示单项表达式。,例5,其中,均为0或1,LINGO的编程如下： Model: Sets: Var1/120/:a; Var2/115/

18、:b; Var(Var1,Var2):c,x; Endset w=sum(Var(I,J): c(I，J)*x(I,J); for(Var(I,J): BIN(x(I,J); end,例6,求,LINGO的编程如下： Model: Sets: Var1/15/:II; Var2/14/:JJ; Var3/13/:KK; Link1(Var2,Var1):A; Link2(Var1,Var3):B; Link3(Var2,Var3):C; Endsets Data: A=1,1,1,2,0,2.3,3.4,4.5,2.3,2.1,1.5,1.8,2.5,2.7,3.7,2.6,2.9,2.5,3

19、.1,1.1; B=2,2.6,2.5,2,3.5,2.9,2,2.3,2.7,2,3.1,2.1,2,5.2,3.2; Enddata,for(Link3(I,J):C(I,J)=sum(Var1(K):A(I,K)*B(K,J); end,max, min：-用于求最大，最小函数的编程 格式：max(A:B), min(A:B） 含义：A表示循环的变量及范围，B表示单项表达式。,例7,求C中最大和最小的元素。,LINGO的编程如下： Model: Sets: Var1/15/:II; Var2/14/:JJ; Var3/13/:KK; Link1(Var2,Var1):A; Link2(V

20、ar1,Var3):B; Link3(Var2,Var3):C; Endsets Data: A=1,1,1,2,0,2.3,3.4,4.5,2.3,2.1,1.5,1.8,2.5,2.7,3.7,2.6,2.9,2.5,3.1,1.1; B=2,2.6,2.5,2,3.5,2.9,2,2.3,2.7,2,3.1,2.1,2,5.2,3.2; Enddata M=max(Link3(I,J):sum(Var1(K):A(I,K)*B(K,J); N=min(Link3(I,J):sum(Var1(K):A(I,K)*B(K,J); end,bnd：-用于边界限制函数的编程 格式：bnd(A1,

21、B,A2) 含义：A1,A2表示边界1，边界2，B表示变量。,例8,例9用LINGO编写“求下列各点到T的最短路”的程序,model: SETS: ! CITIES表示由19组成的集合，是一个基本集合; CITIES /19/: L; !属性L(i)表示城市i到城市1的最优行驶路线的路长; ROADS(CITIES, CITIES)/ ! ROADS表示网络中的弧，是由CITIES派生的集合; 9,6 9,7 9,8 !由于并非所有城市间都有道路直接连接，所以将弧具体列出; 6,4 6,5 7,4 7,5 8,4 8,5 4,2 4,3 5,2 5,3 2,1 3,1/: D; !属性D( i

22、, j) 是城市i到j的直接距离（已知）; ENDSETS,DATA: D = ! D赋值的顺序对应于ROADS中的弧的顺序; 6 3 3 6 5 8 6 7 4 6 7 8 9,5 6; ENDDATA L(1) = 0; !边界条件; FOR( CITIES( i)| i #GT# 1: !集合循环语句, #GT#表示逻辑关系“大于“; L( i) = MIN( ROADS( i, j): D( i, j) + L( j) !这就是动态规划基本方程; ); end,Feasible solution found at iteration: 0 Variable Value L( 1) 0.000000 L( 2) 5.000000 L( 3) 6.000000 L( 4) 11.00000 L( 5) 13.00000 L( 6) 17.00000 L( 7) 19.00000 L( 8) 17.00000 L( 9) 20.00000,